1、,华师版2005年数学中考复习专题A,方程与几何综合题选讲,复习要点例题精析考题演练,复习要点,1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等知识解决有关几何问题；,2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化.,例题精析,【例2】已知AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交O于D，DE切O于D，BEDE，垂足是E，BD=10，DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DEBE)，求AC的长.,【解析】已知半径，一般先构造90的圆周角，故可以连AD，由此可容易推得RtBDARtBACRtBED，由一元二次方程根与系数关系
2、和勾股定理建立关于DE、BE、m的方程组，解之，于是RtBED可解.欲求AC，只要先求出AB，而这通过相似三角形易求得.,解：DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DEBE)且BEDE，BD=10连接AD，AB是直径ADB=90DE是O的切线EDB=DABRtBDERtBADABC=DBE， AB=AC切O于ACAB=90RtCABRtDEB AC=,【例3】已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.(1)k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时，ABC是等腰
3、三角形?并求ABC的周长.,【分析】AB、AC是方程的两根，则根据根与系数的关系以及ABC是以BC为斜边的直角三角形联立关于k的方程，即可求得k的值；而ABC为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定k值，从而求得等腰三角形的周长.,解：(1)AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根AB+AC=2k+3，ABAC=k2+3k+2又ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5AB2+AC2=BC2(AB+AC)2-2ABAC=25即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25k2+3k-10=0k1=-5或k2=2当k=-5时，方程为x2+7
4、x+12=0解得x1=-3，x2=-4(舍去)当k=2时，方程为x2-7x+12=0解得x1=3，x2=4当k=2时，ABC是以BC为斜边的直角三角形.,(2)若ABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况.=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=10ABAC，故第一种情况不成立；当AB=BC，或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根即25-5(2k+3)+k2+3k+2=0k2-7k+12=0k1=3或k2=4当k=3时，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5等腰三角形的三边长分别是5、5、4，周长是14.当k=4时，x2-11x+30=0
5、x1=5，x2=6等腰三角形的三边长分别是5、5、6，周长为16，故当k=3或k=4时，ABC为等腰三角形，周长分别为14或16.,【例4】已知，在RtABC中，C=90，a、b、c分别是A、B、C的对边，tan A、tan B是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根，求：(1)求k的值；(2)若c=10，且ab，求a、b的值.,【分析】利用根与系数的关系列方程即可求k的值；再利用三角函数知识可求出a、b的边长.,解：(1)tan Atan B=12k2-37k+26则由C=90知A+B=90即tan Atan B=112k2-37k+26=1(12k-25)(
6、k-1)=0k=25/12或k=1当k=1时 ，方程变为x2-x+1=0因0不合题意舍去当k=25/12，方程变为x2-25/12x+1=0因0成立k的值为25/12.,(2)又tan A+tan B=ktan A+(tanA)2- (tan A)+1=012(tan A)2-25(tan A)+12=0tan A=3/4或tan A=4/3又abtan A=a/b1tan A=4/3,【例5】如图所示，锐角三角形ABC内接于O，高AD、BE交于点H，过点A引圆的切线与直线BE交于点P，直线BE交O于另一点F，AB12的长是关于x的方程x2- x+ (sin2C- sin C+1)=0的一个实
7、数根.(1)求C的度数与AB的长；(2)设BH=x，BP=y，求y与x间的函数关系式；当y=3 时，试判断ABC的形状，并说明理由.,【分析】(1)利用根的判别式0可迅速求得；,(2)要寻找y与x的关系式，就要寻找y、x所在的两个三角形相似，故即证PBAABH；再利用y与x的关系式，已知y值即可求出x的值.在RtAHE和RtABE中运用勾股定理及三角函数知识求出HE、BE的长度，最后计算出BAC=60=C即可.,解：(1)方程有实根=(-1/2)2-411/4(sin2C-3sin C+1)0即-(sin C- )20sin C= ，C=60由=0知x1=x2，而x1+x2=2x1=1/2x1
8、=1/4即AB12=14AB=3.(2)ADBC，BEACP+PAC=BAD+ABC=90又PA切O于APAC=ABCP=ABHPBAABHx即y=,当y= 时，即 在RtDAC中，C=60DAC=30在RtAHE中，设HE=m，则AH=2m，AE= m在RtAEB中，AE2+BE2=AB2 =32m=- (舍)m=BE=HE+HB=sin BAE=BAE=60BAE=C=60ABC为等边三角形.,考题演练,1.斜边长为13的直角三角形的两直角边长为方程x2-(m- 1)x+3(m+2)=0的两根，求其内切圆的半径r.,解：设两直角边长为a、b，则a2+b2=(a+b)2-2ab=(m-1)2
9、-6(m+2)=132m=18或m=-10又a+b=m-10m1m=-10舍去a+b=m-1=18-1=17r= (a+b-13)= (17-13)=2.,2.(2002年北京东城区)在RtABC中，C=90，斜边c=5，两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求RtABC中较小锐角的正弦值.,解：a、b是方程x2-mx+2m-2=0的两个根a+b=m，ab=2m-2.在RtABC中，由勾股定理得a2+b2=c2即(a+b)2-2ab=25.m2-2(2m-2)=25m=7或m=-3(舍)当m=7时 ，原方程x2-7x+12=0x=3或x=4.假设a=3则si
10、n A=ac=RtABC中较小锐角的正弦值为 .,3.(2002年济南卷)在等腰三角形ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a=3，b、c是关于x的方程x2+mx+2- m=0的两个实数根，求ABC的周长.,解：=m2-4(2-12m)=m2+2m-8方程有两个实数根0m2+2m-80m-4或m2又b、c是x2+mx+2- m=0的两个实数根b+c=-mbc=2- m当b、c为腰时即b=c 而此时m-4有意义.周长=a+b+c=3+2+2=7.,当b、c中只有一个为腰时，不妨设b为腰，则有b=a=3而此时m=225有意义.周长=a+b+c=3+3+75=375.综上所述，周长为7或375.,欢迎交流！,
