1、第三章 力系的平衡静定与超静定的概念,第一节 平衡方程的解析形式,一、空间任意力系的平衡方程,平衡的必要、充分条件。,空间任意物体有六个平衡方程；可解六个未知量。,例3-1：有一匀质矩形等厚的板，重力P =200N，角A为球铰，另一端B用铰链（沿轴y向无约束力）与墙壁相连，再用一索EC使板维持于水平位置。若=j =30，试求索内的拉力及A,B两处的约束力。,解,设ADCB=b，则,得: F =P = 200N,由:,得:,FAy=（3/4）F=150N,FBz=P/2-F/2=0,FAz=P -F/2=100N,FBx =0,从而得到以下规律：（1）可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的
2、平衡方程的投影式，即有36个力矩投影式，也就是说力矩投影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个。（2）力的投影轴与矩轴不一定重合，但投影轴及矩轴必须受到如下限制：不全相平行；不全在同一平面内。（3）六力矩形式的矩轴不交于同一点。据此，我们可以选择合适的力投影轴和矩轴，使每个方程所包含的未知量为最少，从而简化计算。,例3-2：重力为P的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑，在水平力F的作用下保持静止。杆与水平面的夹角均为j =45 ， 试求各杆的力。,设板边长为l ,用多力矩形式求解。,解,（压）,（压）,特例1. 空间汇交力系,空间汇交力系平衡方程,合力偶矩恒为零，即,例3-3：结构如
3、图所示，杆重不计，已知力P，试求两杆的内力和绳BD的拉力。,解：研究铰链B,例3-4：重力P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定在同一墙上，试求：杆AD、绳DB，DC的约束力。,解：这是空间汇交力系，取D点为汇交点，,BE=CE,DB=DC,则：FDB=FDC,FDB=FDC=289N,特例2. 空间平行力系,空间平行力系平衡方程,若各力平行轴z，则,例3-6：三轮平板车放光滑地面上，自重为：W，货重为F，已知：F=10kN,W=8kN，试求各轮约束力的值。,解：这是空间平行力系。,Fiz=0 ，,(20080)W200FA =0；FA=4.8kN，,FA +FB+FCWF=0；,Miy
4、 =0，,60W+(6020)F60FA260FB =0；,FB=4.93kN,FC=8.27kN,Mix =0，,特例3. 空间力偶系,空间力偶力系平衡方程,合力恒为零，即,例3-7：边长为a 的等边三角形水平板上作用着力偶M，並用六根二力杆支撑，板自重不计，试求各杆的力。,MAD =0, F5cos300acos300+M=0;,MFB =0, F6cos300acos300+M=0; ,MEC =0, F4cos300acos300+M=0;,MCA =0, F2 asin600 F5 sin300asin600=0;,MAB =0, F3 asin600 F6 sin300asin60
5、0=0;,MBC =0, F1 asin600 F4 sin300asin600=0;,二、平面任意力系(也是空间力系的特例),，,设平面为Oxy平面，则各力在轴z上的投影及对轴x,y的力矩都恒等于零，即,平面任意力系平衡方程,平面任意力系平衡方程的基本形式的三个独立的平衡方程，可求解三个未知量,多力矩形式,二力矩式：,三力矩式：,A,B连线不垂直x轴。,A,B,C 三点不能同线。,例3-8：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500N/m，其它尺寸如图示，试求约束A，B处的约束力。,解：,Fix=0, FAx+FB=0,Fiy=0, FAy FQ=0,FQ=1.4q=2.1kN,F
6、B=2.8kN, FAx= 2.8kN。,MAi=0, FB550(14000.5+40)FQ=0,FAy=FQ=2.1kN，,如：二力矩 MBi=0， FAx 550+ (14000.5+40)FQ=0,FAx= 2.8kN。,如校核方程： MCi=0， 应满足。,c,例3-9：图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化为平面结构，自重不计，已知有力F作用，试求三根支撑杆的约束力。,解：,试用三力矩方程,如校核方程： Fix=0， 应满足。,特例1、平面汇交力系,，,当平面中的各力的作用线均汇交于一点或利用三力平衡汇交原理得到一交点，设该点为点O，显然，各力对汇交点的矩恒为零， 即 独立平衡方程个数
7、减少到两个，为,例3-10：圆柱物为确定圆心位置，置于光滑的燕尾槽内，已知：P=500N,试求：A、B点约束力。,解:,特例2、平面平行力系,，,当平面内的各力相互平行，设均平行于轴y，则各力在轴x上的投影恒等于零，即 独立的平衡方程式个数减到两个，为,固定端有三个约束力,例3-11：图示悬臂梁，上侧作用三角形均布载荷，试求固定端A处的约束力。,特例3、平面力偶系,，,平面力系的主矢为零，即 独立的平衡方程只有一个，即,例3-12：图示杆BC上固定销子可在杆AD的光滑直槽中滑动，已知：L=0.2m，M1=200Nm，a=300，试求平衡时M2。,解：BC: Mi=0, FCLsin300M1=
8、0,得:FC=FB=2000N再取AD: Mi=0, M2FCL/sin300=0,得：M2=800Nm。,第二节 物体系统的平衡问题,一、静定与超静定的概念,静定：未知量数=独立的平衡方程数；,静不定(超静定)：未知量数独立的平衡方程数。,超:,1次,2次,3次,二、物体系统的平衡问题,未知量：N=3n 方程数,n,物体数,几个原则：,1）尽量选取整体为研究对象。,2）从受力情形最简单的某一刚体或分系统入手。尽可能 满足一个平衡方程求解一个未知力。,3）分清内力和外力、施力体与受力体、作用力与反作用力。,4）注意二力平衡条件和三力平衡汇交原理。,例4-13：图示三铰拱结构，已知：单边拱重为：
9、P，试求：A,B的约束力。,解：整体,P,A,MA=0, P3P9+FBy12=0,FBy=P,Fiy=0, FAy+FBy-2P=0,FAy=P,Fix=0, FAxFBx=0,MC=0, FAx6FAy6+P3=0,FAx=P/2,FBx=P/2。,左AC,例4-14：多跨桥梁简图如图示，巳知：F=500N,q=250N/m,M=500Nm，试求：A,B,E 处的支座约束力。,MC=0, FE4MFQ11=0,整体,Fix=0, FAx=0,Fiy=0, FAy+FB+FEFFQ=0,MA=0, F1+FB2FQ4M+FE8=0,FE=250N,CE,FQ=4q,FQ1=2q,FB=150
10、0N,FAy=250N,解,AC,例4-15：三根自重不计的杆组成构件如图示，巳知：F=600N,q=300N/m。试求B处约束力。,解：整体,MA=0, 6F+10FC7FQ=0,AC,MA=0, 4FBy+10FC=0,DB,MD=0, 4FQ+3FBx=0,FC=990N,FBy=2475N,FBx=1200N，,取与B有关的物体分析,FQ=3006/2=900,例4-16：组合托架组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知：F=1kN, M=600Nm, 试求：A 处约束力。,解：,BD,得：F3= 500N,C,得：F1= 400N，,得： MA=3.4kNm，,得： FAx= 400N,整体,MA=0, MA4F M3F1=0,Fix=0, FAxF 1=0,Fiy=0, FAyF =0,得：FAy= 1000N,例4-17：折叠凳子的简图如图示，在水平凳面有F力作用，试求E处约束力。,解：整体,MC=0, Fa3a FD=0,FD=F/3,Fiy=0, F+ FD+FC=0,FC=2F/3,AD,CB,
