小学奥数平面几何五大定律.doc

1、金钥匙小学六年级奥数复习资料第 1 页 共 26 页小学奥数平面几何五大定律教学目标：1 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它 们的高之比；如右图 12:Sab夹在一 组平行 线之间的等积变形，如右 图 ；ACDBS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDB 等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面 积 等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四 边形底相等

2、，面 积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边 的乘积之比如图在 中， 分别是 上的点如图 (或 在 的延长线上， 在 上)，ABC ,DE,ABCDBAEAC则 :():()SE EDCBAEDCBA图 图三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 或者 1243:SS1324S1243:AOSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则 四边形的面积关系与四边形内的三角形相 联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形

3、中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： 213:Sab ；24:ab 的 对应份数 为 四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBAAB CDObaS3S2 S1S4金钥匙小学六年级奥数复习资料第 2 页 共 26 页GF EAB CDAB CDE FG ；AA 2:DEBCSF ：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改 变，不 论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且 这个比例等于它 们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点

4、的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之 间的边与面积关系相互 转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因 为两条平行线而出现 的相似三角形五、燕尾定理在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，那ABCDECFO么 :OS上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 和 的形ABCO状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理 该定理在 许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形 AB

5、CD 的边长为 6， 1.5， 2长方形 EFGH 的AEF面积为 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B _C_D_E_F_G_H【解析】 连接 DE，DF，则长 方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形 EFGH 面积为 3361.562624.5216.5DEFS【巩固】如图 所 示 ， 正 方 形 的 边 长 为 厘 米 ， 长 方 形 的 长 为 厘 米 ， 那 么 长 方 形 的 宽 为 几 厘 米 ？ABCD8EBGF0_A _B_G _C_E_F_D_A _B_G _C_E_F_D【解析】 本

6、题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面 积等于与它等底等高的平行四 边形面积的一半证明：连接 (我们通过 把这两个长方形和正方形 联系在一起)AGABOFED CBA金钥匙小学六年级奥数复习资料第 3 页 共 26 页在正方形 中， 边上的高，ABCDG12ABSAB (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)12GSA同理， BEFGBS正方形 与长方形 面积相等 长方形的宽 (厘米)CD8106.4【例 2】 长方形 的面积为 36 ， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积A2cmEFGHAD是多少

7、？HGFEDCBA【 解法一：寻找可利用的条件， 连接 、 ，如下图：HC HGFEDCBA可得： 、 、 ，而12EHBAHBS12FCHS12DGDHS 36ABDAHBCHDSS即 ；()3618FDGABC而 ， EHBHEFSSS阴 影 1 1()()364.52228EF所以阴影部分的面积是： 184.5.B阴 影解法二：特殊点法找 的特殊点，把 点与 点重合，D那么图形就可变成右图：GAB CDEF(H)这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有：DF111363636361.5222ABCDAEBCDSSS阴 影【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 内任取一点 ，将正方形

8、的一组对边二等分，另一组对边三等分，分P别与 点连接,求阴影部分面积P金钥匙小学六年级奥数复习资料第 4 页 共 26 页PDCBAAB CD(P)PDCBA【 （法 1）特殊点法由于 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假 设 点与 点重合， 则阴影部分A变为如上中图所示， 图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面 积的 和 ，所以阴影部分的面 积为146平方厘米26()54（法 2）连接 、 PAC由于 与 的面积之和等于正方形 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面 积之和DBABCD等于正方形 面积的 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面 积之和等于正方形 面积的 ，14 ABCD1

9、6所以阴影部分的面积为 平方厘米26()5【例 3】 如图所示，长方形 内的阴影部分的面积之和为 70， ， ，四边形 的面积ABCD8AB15EFGO为 OGFEDCBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 、 和四边形 的面积之和，以及三角形ADEFGO和 的面积之和， 进 而求出四边形 的面积AOEDG由于长方形 的面积为 ，所以三角形 的面积为 ，所以三角形 和BC15820B12034AOE的面积之和为 ；32074又三角形 、 和四边 形 的面积之和为 ，所以四边形 的面积为AEEFGO120304FG3021另解：从整体上来看，四边形 的面积 三角形 面积 三角形 面积

10、 白色部分的面积，而AFCBD三角形 面积 三角形 面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面 积等于长方形面积减去FCBD阴影部分的面积，即 ，所以四 边形的面积为 20756051【巩固】如图，长方形 的面积是 36， 是 的三等分点， ，则阴影部分的面积为 AE2EOAB CDENMOAB CDE【 如图，连接 OE金钥匙小学六年级奥数复习资料第 5 页 共 26 页根据蝴蝶定理， ，所以 ；1:1:2COEDCAEDNSS12OENOEDS，所以 1:42BOEABMS 5OEMA又 ， ，所以阴影部分面积为： 1334OEDCD矩 形 6OEAOEDS1362.75【例 4】 已

11、知 为等边三角形，面积为 400， 、 、 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为AF143，求阴影五边形的面积(丙是三角形 )HBC【HNMJI FEDCBA【 因为 、 、 分别为三边的中点，所以 、 、 是三角形 的中位线，也就与 对应的边平行，DEFFAB根据面积比例模型，三角形 和三角形 的面积都等于三角形 的一半，即为 200AN根据图形的容斥关系，有 ，BCABNAMCHNSSS丙即 ，所以 40 20AMHNS丙 H丙又 ，所以 ADF乙甲阴 影143043ADF乙甲 丙阴 影【例 5】 如图，已知 ， ， ， ，线段 将图形分成两部分，左边部分面积是5C7E15F6GB38

12、，右边部分面积是 65，那么三角形 的面积是 ADGFEDCBAABC D E F G【 连接 ， AF根据题意可知， ； ；5712715628所以， ， ， ， ，2BECBFFSSECBFCSAEGADGS728EADGS于是： ； ；16587ADG 382827DCBF可得 故三角形 的面积是 4040SA【例 6】 如图在 中， 分别是 上的点，且 ， ， 平方BC ,E,B:2:5A:4:7AEC16ADES厘米，求 的面积A金钥匙小学六年级奥数复习资料第 6 页 共 26 页EDCBAEDCBA【解析】 连接 ， ，E:2:5(4):ADESA ，所以 ，设 份，则:47()A

13、BC :(24):75ADEBCS 8ADES份， 平方厘米，所以 份是 平方厘米， 份就是 平方厘米， 的面积是35 16 1350B平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互70补角)两夹边的乘积之比 【巩固】如图，三角形 中， 是 的 5 倍， 是 的 3 倍，如果三角形 的面积等于 1，那么ABADCAEAE三角形 的面积是多少？CEDCBAAB CD E【解析】 连接 E 3CA BS又 5D ， 15AEABCS15ABCADES【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， ， ， ，乙部分面积4BC3BE6A是甲部分

14、面积的几倍？【ED CBAAB CDE【 【解析】 连接 AD ，3E6 ， 3ABESA又 ，4C ， ， 2ABDCBDS5S乙 甲【例 7】 如图在 中， 在 的延长线上， 在 上，且 ， EAC:5:2BAD， 平方厘米，求 的面积:3:E12AE BEDCBAEDCBA金钥匙小学六年级奥数复习资料第 7 页 共 26 页【解析】 连接 ， BE:2:5(3):ADBESA ，:3()5AC 所以 ，设 份， 则 份， 平方厘米，:6: 6ADES 25ABCS 12ADES所以 份是 平方厘米， 份就是 平方厘米， 的面 积是 平方厘米由此我们得到一个重要1250BC 0的定理，共角

15、定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互 补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形 ， ， ， ， ，平行四边形 的ABDE2F3G4HBC面积是 ， 求平行四边形 与四边形 的面积比CHHG A BCD EF HG A BCD EF【 连接 、 根据共角定理ACB在 和 中， 与 互补， E ABE 13FBES又 ，所以 AC FBES同理可得 ， ， 8G 5DHG 8AEHS所以 815+326EFHACBFACDS 所以 2136ABCDG【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA13 13121213 131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形

16、也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形 绕顶点 逆时针旋转，使 长为 的两条边重合，此时三角形 将旋转到三角形 OAB13OOCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为 的正方形，且 这个正方形的面积就是原来四2边形的面积.因此，原来四边形的面积为 .(也可以用勾股定理 )124【例 10】 如图所示， 中， ， ， ，以 为一边向 外作正方形 ，ABC903AB5CABCAE中心为 ，求 的面积O金钥匙小学六年级奥数复习资料第 8 页 共 26 页53OAB CDEF53OAB CDE【解析】 如图，将 沿着 点顺时针旋转 ，到达

17、的位置O90OF由于 ， ，所以 而 ，90AC180AOAB所以 ，那么 、 、 三点在一条直线上18F由于 ， ，所以 是等腰直角三角形，且斜边 为 ，所以它的B 538面积为 2864根据面积比例模型， 的面积为 OBC51608【例 11】 如图，以正方形的边 为斜边在正方形内作直角三角形 ， ， 、 交于 已AABE90ACBDO知 、 的长分别为 、 ，求三角形 的面积AE3cmOABCDOEFABCDOE【解析】 如图，连接 ，以 点为中心，将 顺时针旋转 到 的位置90B那么 ，而 也是 ，所以四 边形 是直角梯形，AFBFEBA90AFBE且 ，3E所以梯形 的面积为：( )

18、1352cm又因为 是直角三角形，根据勾股定理， ，所以AB222354ABE( )27DS2那么 ( )，17BEADBEADABFESSS2cm所以 ( )1.52O2cm【例 12】 如下图，六边形 中， ， ， ，且有 平行于 ， 平行于CFCDBFABEDAF， 平行于 ，对角线 垂直于 ，已知 厘米， 厘米，请问六边形CBE2418的面积是多少平方厘米？ADF金钥匙小学六年级奥数复习资料第 9 页 共 26 页FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我 们将 平移使得 与 重合，将 平移使得 与 重合，这样 、 都重合BCAFEABEFBC到图中的 了 这样就组成了一个 长方形

19、，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形AGBG的面积为 平方厘米，所以六 边 形 的面积为 平方厘米F24183AC432【例 13】 如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于ED:1:DA点 则四边形 的面积等于 DF FED CBA33321F ED CBAAB CDEFF ED CBA【解析】 方法一：连接 ，根据燕尾定理， ， , 2AFCS 1AFCBSE设 份， 则 份， 份， 份，如 图所标1BDFS 2DCFS 3B 3EEFC 所以 52CEAB方法二：连接 ，由题目条件可得到 ，13ABDABCS ，所以 ，123ADEADCABCS 1DA

20、ESF，112232FEBEBCSS 而 所以 则四边形 的面积等于 33CDEAC F51【巩固】如图，长方形 的面积是 平方厘米， ， 是 的中点阴影部分的面积是多少平CDG方厘米?x yyxAB CDEFGGF EDCBA3 3GF EDCBA213【解析】 设 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 平方厘米.1DEFS551212BCDS阴 影【例 14】 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示)如果三角形 的面积等于三角形 的AADOABCD面积的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_倍32O3C金钥匙小学六年级奥数复习资料第 10 页 共 26 页AB CDOH GAB CDO【

21、 在本题中，四边形 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，AD向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四 边形 看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又 观察题目中给出的已知条件:1:3ABDCS是面积的关系， 转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形” ，于是可以作 垂直 于 ， 垂直 于 ，面 积比转化为高之比再应用结论：三角形HBCGBD高相同，则面积之比等于底边 之比，得出结果 请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的 优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决

22、问题解法一： ， ， :1:3ABDCOS236O:6:321CO解法二：作 于 ， 于 ， ， ，13ABDBCSHGADCS ， ， 236:6:321【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 的面积； ？: AB CDG32 1【解析】 根据蝴蝶定理， ，那么 ；123BGCSA 6BGSA根据蝴蝶定理， :61:【例 15】 如图，平行四边形 的对角线交于 点， 、 、 、 的面积依次是DOEF O DF BOE2、4、4 和 6求：求 的面积；求 的面积F COG FEDCBA【解析】 根据题意可知， 的面积为 ，那么 和 的面积都是 ，所以CD 2461B DO1628的面积为 ；OCF 84由于 的面积为 8， 的面积为 6，所以 的面积为 ，B O O 862根据蝴蝶定理， ，所以 ，:2CEFGS :GCEFSG那么 11223CEFS