相似三角形的性质典型例题3--辅助线的作法.doc

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1、旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 1旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技 有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc.相似三角形的性质-添加辅助线的方法二. 与相似三角形有关的辅助线(一)主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线(二)其他辅助线的做法举例例 1: 已知:如图,ABC 中,ABAC,BDAC 于 D求证: BC22CDAC分析:欲证 BC22CDAC,只需证 但因为

2、结BCA2论中有“2 ”,无法直接找到它们所在的相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似由“2 ”所放的位置不同,证法也不同证法一(构造 2CD):如图,在 AC 截取 DEDC ,BD AC 于 D,BD 是线段 CE 的垂直平分线,BC=BE,C=BEC ,又 ABAC,C=ABC BCEACB , BCAEBCAD2BC 22CDAC证法二(构造 2AC):如图,在 CA 的延长线上截取 AEAC ,连结 BE, ABAC, ABAC=AEEBC=90,又BD ACEBC=BDC=EDB=90,E= DB

3、C,EBCBDC 即BCEDA2BC 22CDAC证法三(构造 ) :如图,取 BC 的中点 E,连结 AE,则1 EC=1又AB=AC ,AEBC,ACE=CAEC=BDC=90 ACE BCDAB CDEAB CDEAB CDEAB CD旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 2旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技 有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc. 即 BCADE21BC

4、 22CDAC证法四(构造 ):如图,取 BC 中点 E,连结 DE,则 CE= BC21BD AC,BE=EC=EB,EDC=C又AB=AC ,ABC=C,ABC EDC J 即 EADBB21BC 22CDAC说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧在解题中方法要灵活,思路要开阔例 2已知梯形 中, , , 是腰 上的一点,连结ACD/ADC3EBCE(1 )如果 , , ,求 的度数;ABCECDAEB3B(2 )设 和四边形 的面积分别为 和 ,且 ,试求 的值1S2213SAEB(1 )设 ,则kk3解法 1 如图,延长 、 交于点 F, , , 为 的中点BCAD/A

5、D3AFB3k2EBF又 ,又 为等边三角形 故FECC60解法 2 如图作 分别交 、 于点 、ABDF/CEBGFAB CDE旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 3旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技 有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc.则 ,得平行四边形DFCEABFD同解法 1 可证得 为等边三角形故 60B解法 3 如图作 交 于 ,交 的延长线于ECAF/DGBC

6、F作 ,分别交 、 于点 、BI HI则 ,得矩形A,/3E又 ,故 为 、 的中点3FDA以下同解法 1 可得 是等边三角形CGI故 60B解法 4 如图,作 ,交 于 ,作 ,交 于 ,得平行四边形 ,且CDAF/BFCEG/ABAFCDG读者可自行证得 是等边三角形,故60解法 5 如图延长 、 交于点 ,作 ,分别交 、 于点 、 ,得平行四边形CEDAFCDG/BCEGHAG可证得 为 的中点,则 ,故kH2601得 为等边三角形,故BB解法 6 如图(补形法) ,旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘

7、区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 4旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技 有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc.读者可自行证明 是等边三角形,CDF得 60B(注:此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等)(2 )设 ,则SCE3SAECD2四 边 形解法 1(补形法)如图补成平行四边形 ,连结 ,则ABCFADF2设 ,则 ,xSACDxSE2xC由 得, ,FBs3s45xsACE423SACEB解法 2 (补形法)如图,延长 、 交于点 ,DF91ABCDSsSFADABCF5

8、81梯 形, ,又SFD sFE821 sSEBC387BEC设 ,则 , ,mm15BAF,2A4A解法 3(补形法)如图旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 5旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技 有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc.连结 ,作 交 延长线于点ACDF/BAF连结则 ,故 (1)3,ACFDSFECADS四 边 形2AEBFEB四 边 形故 (2)3)(32

9、由(1) 、 (2 )两式得 即44解法 4(割补法)如图连结 与 的中点 并延长交 延长线于点 ,如图,过 、 分别作高 、 ,ACDFBCGEA1h2则 且 ,GAEGAES四 边 形四 边 形 sSABCDA5梯 形,又2153hBSAGC43, ,故421h5EA说明 本题综合考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形. 例 3如图 4-1,已知平行四边 ABCD 中,E 是 AB 的中点,ADF31,连 E、F 交 AC 于G求 AG:AC 的值旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 62760

10、38地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 6旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技 有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc.解法 1: 延长 FE 交 CB 的延长线于 H, 四边形 ABCD 是平行四边形, BCAD/, H=AFE,DAB= HBE又 AE=EB, AEFBEH,即 AF=BH, ADF31, F31,即F41 ADCH, AGF=CGH,AFG=BHE , AFG CGH AG:GC=AF:CH , AG:GC=1:4, AG:AC=1 :5解法 2: 如图 42

11、,延长 EF 与 CD 的延长线交于 M,由平行四边形 ABCD 可知, DCAB/,即 AB MC, AF:FD=AE:MD ,AG:GC=AE:MC ADF31, AF:FD=1 :2, AE:MD=1:2 DCABE1 AE:MC=1:4,即 AG:GC=1:4 , AG:AC=1:5例 4、如图 45,B 为 AC 的中点,E 为 BD 的中点,则 AF:AE=_.旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 7旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科

12、 技 有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc.解析:取 CF 的中点 G,连接 BG B 为 AC 的中点, BG:AF=1 :2,且 BGAF,又 E 为 BD 的中点, F 为 DG 的中点 EF:BG=1:2 故 EF:AF=1:4, AF:AE=4:3 例 5、如图 4-7,已知平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于 O 点,E 为 AB 延长线上一点,OE 交 BC 于 F,若 AB=a,BC=b,BE=c,求 BF 的长解法 1: 过 O 点作 OMCB 交 AB 于 M, O 是 AC 中点,OMCB,

13、M 是 AB 的中点,即aB21, OM 是ABC 的中位线,bCO,且 OMBC ,EFB=EOM,EBF=EMO BEF MOE, EMBF,即cabBF21, cab2.解法 2: 如图 4-8,延长 EO 与 AD 交于点 G,则可得AOGCOF, AG=FC=b-BF, BFAG, AEBGF即 caFb, cabBF2 cab2.旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 8旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技 有 限 公 司FlagEd

14、ucation (Beijing) Tutoring Service Inc.解法 3: 延长 EO 与 CD 的延长线相交于 N,则BEF 与CNF 的对应边成比例,即CNBEF解得 cab2.例 6、已知在ABC 中,AD 是BAC 的平分线求证: CDBA分析 1 比例线段常由平行线而产生,因而研究比例线段问题,常应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中 AD 为ABC 内角 A 的平分线,这里不存在平行线,于是可考虑过定点作某定直线的平行线,添加了这样的辅助线后,就可以利用平行关系找出相应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去探求问题的

15、解决证法 1: 如图 49,过 C 点作 CEAD ,交 BA 的延长线于 E在BCE 中, DACE, AEBDC又 CEAD, 1= 3,2=4,且 AD 平分BAC, 1=2 ,于是3=4, AC=AE代入式得分析 2 由于 BD、CD 是点 D 分 BC 而得,故可过分点 D 作平行线证法 2: 如图 410,过 D 作 DEAC 交 AB 于 E,则 2=3旗帜金榜(北京)教育科技有限公司烟台分公司电话:0535 6276039 传真:0535 6276038地址:烟台市芝罘区西盛街 28 号第一大道 1402 邮编: 264000 9旗 帜 金 榜 ( 北 京 ) 教 育 科 技

16、有 限 公 司FlagEducation (Beijing) Tutoring Service Inc. 1=2 , 1=3于是 EA=ED又 DCBEA, EABD, CD.分析 3 欲证式子左边为 AB:AC ,而 AB、AC 不在同一直线上,又不平行,故考虑将 AB 转移到与 AC 平行的位置证法 3: 如图 411,过 B 作 BEAC ,交 AD 的延长线于 E,则2=E 1=2 , 1=E,AB=BE 又 ACBD, DB.分析 4 由于 AD 是BAC 的平分线,故可过 D 分别作 AB、AC 的平行线,构造相似三角形求证证法 4 如图 412,过 D 点作 DEAC 交 AB 于 E,DF AB 交 AC 于 F易证四边形 AEDF 是菱形则 DE=DF由BDEDFC,得 DEBFC又 ABDE, .

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