1、 一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB 于H，过点 E 作 EFAC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1 ）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2 ）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值2.如图，在ABC 中， ABC90 ，AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的
2、速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1 ） 当 t=2.5s 时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2 ）在 P，Q 移动的过程中，当 CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 RtABC 中， ACB90，AC6， BC8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E，EMBD ，垂足为 M，ENCD ，垂足为 N（1 ）当 ADCD 时，求证：DE AC；（2
3、）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？4.如图所示，在ABC 中，BA BC20cm，AC 30cm，点 P 从 A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为x（1 ）当 x 为何值时， PQBC？（2 ） APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm ，点 P沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q沿 DA 边从点 D 开始向
4、点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0 t6） 。（1 ）当 t 为何值时， QAP 为等腰直角三角形？（2 ）当 t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式7.在 ABC 中，AB= ，AC=4，BC=2，以 AB 为边在 C点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长8.在 ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 M 是 AC 上的
5、一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3 ） ，将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点E那么 D 点的坐标为（）A. B.C. D.10.已知，如图，直线y=2x2 与坐标轴交于A、B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为 12。求 C、D 两点的坐标。三、构造相似辅助线 A、X 字型 11.如图： ABC 中，D 是 A
6、B 上一点，AD=AC ，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证：12.四边形 ABCD 中，AC 为 AB、AD 的比例中项，且AC 平分DAB。求证：13.在梯形 ABCD 中，ABCD，AB b，CDa ， E 为 AD 边上的任意一点，EFAB，且 EF 交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当 时，EF= ； (2)当 时，EF= ；(3)当 时，EF= 当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是BC 上的两点，且 BEEFFC。求 BN：NQ
7、：QM15.证明：（ 1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三条中线的交点） （2 ）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点，D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的延长线分别交AC、AB 于点 E、F 求证： 17.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线AC、BD 交于 O，过 O 作 EF/AB 分别交 AD、BC 于E、F。求证： 18.如图，在 ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH
8、的四个顶点分别在 ABC 上。求证： 19.已知，在 ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a求证： 五、相似之共线线段的比例问题 20.（ 1）如图 1，点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD上，一直线过点 P 分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 于点 求证：（2 ）如图 2，图 3，当点 在平行四边形 ABCD 的对角线 或 的延长线上时， 是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明） ；21.已知：如图，ABC 中，ABAC，AD 是中线，P 是AD 上一点，过 C 作 CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 C
9、F于 F求证：BP 2PEPF 22.如图，已知ABC 中， AD，BF 分别为BC， AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交BF 于 G，交 AC 延长线于 H。求证： DE2=EGEH 23.已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、 G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC 中， ADBC 于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点） ；在 AD 上有一点 P，且BPC为直角求证：PD 2ADDH 。六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD 是 RtABC 斜
10、边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。求证：26 如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M在 CD 上，DH BM 且与 AC 的延长线交于点 E.求证：（1）AEDCBM；（2）27.如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E是 AC 的中点， ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F.（1 ）求证： .（2 ）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、 CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证：
11、 29.如图，BD 、CE 分别是ABC 的两边上的高，过 D作 DGBC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H 。求证：（1）DG 2BGCG；（2）BGCGGFGH 七、 相似基本模型应用 30.ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形， A=D=90，DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上（1 ）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点N，求证：BEMCNE；（2 ）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1 ）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论3
12、1.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、 CD 于点 P、Q（1 ）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ；（2 ）求 BP：PQ：QR32.如图，在ABC 中，AD BC 于 D，DE AB 于E，DFAC 于 F。求证：答案：1.答案：解：（1） ACB=90，AC=3 ，BC=4AB=5又 AD=AB， AD=5tt=1，此时 CE=3，DE=3+3-5=1（ 2）如图当点 D 在点 E 左侧，即： 0t 时，DE=3t+3-5t=3-2t若 DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEG ACB，此时 ，即：
13、，求得：t= ；DEG BCA，此时 ，即： ，求得：t= ；如图，当点 D 在点 E 右侧，即： t 时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若 DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEG ACB，此时 ，即： ，求得：t= ；DEG BCA，此时 ，即： ，求得：t= 综上，t 的值为 或 或 或 3.答案：解：（1）证明： AD=CD A=ACDDE 平分 CDB 交边 BC 于点 E CDE=BDE CDB 为CDB 的一个外角 CDB=A+ACD=2ACD CDB=CDE+BDE=2CDE ACD=CDEDEAC（ 2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如图 NCE=MB
14、EBD=CD又 NCE+ACD=MBE+A=90 ACD=AAD=CDAD=BD= AB在 RtABC 中， ACB90，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如图 NCE=MEBEMCDCDAB在 RtABC 中， ACB90，AC6，BC8AB=10 A=A，ADC=ACBACDABC综上：AD=5 或 时，BME 与CNE 相似4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当 PQBC 时， ，即：解得：（ 2）能，AP= cm 或 AP=20cmAPQCBQ，则 ，即解得： 或 （舍）此时：AP= cmAPQCQB，则 ，
15、即解得： （符合题意）此时：AP= cm故 AP= cm 或 20cm 时， APQ 与CQB 能相似5.答案：解：设运动时间为 t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（ 1）若QAP 为等腰直角三角形，则 AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）t=2 时，QAP 为等腰直角三角形（ 2）B=QAP=90当QAPABC 时， ，即：，解得： （符合题意） ；当PAQABC 时， ，即：，解得： （符合题意） 当 或 时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B
16、，过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C，过点 B 作 BDAC则由上可知： 90由双垂直模型知：OCAADBA （2 ，1） ， 45OC2，AC1，AOABADOC 2，BDAC 1D 点坐标为（2，3）B 点坐标为（1，3）此时正比例函数表达式为：y 3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C，过点 B 作 BDAC则由上可知： 90由双垂直模型知：OCAADBA （2 ，1） ， 45OC1，AC2，AOABADOC 1，BDAC 2D 点坐标为（3，1）B 点坐标为（3，1 ）此时正比
17、例函数表达式为：y x7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接 PC，过点 P 作 PDAC 于 D，则 PD/BC根据折叠可知 MNCP 2+PCN=90，PCN+CNM=90 2=CNM CDP=NCM=90PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如图，过 M 作 MDAB 于 D，过 N 作 NEAB 于 E由双垂直模型，可以推知PMDNPE ，则，根据等比性质可知 ，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN， MC：CN=PA： PB9.答案：A解题思路：如图过点
18、D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 M，交 x 轴于点 N，则M=DNA=90 ，由于折叠，可以得到ABCADC，又由 B（1 ，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3， CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMCAND，设 CM=x，则 DN=3x，AN=1x，DM3x 3x ，则 。 答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G，过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC 的延长线于 E。直线 y=2x 2 与坐标轴交于 A、B 两点A （1,0） ，B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD= ABO+CBG=90，ABO+BAO=90 CBG=BAO又 CGB=BOA=90OABGBCGB=2，GC=4GO=4C （4,4 ）同理可得ADF BAO，得DF=2，AF=4 OF=5 D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图延长 AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CMBE=CE，AEB= MEC BEACEMCM=AB ，1= BABCM M=MAD， MCF=ADFMCFADF
