1、二维离散型随机变量,一维离散型随机变量,X 的分布律,类比,(X,Y )的分布律,二维离散型随机变量及其分布律,二维离散型随机变量的边缘分布,例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4中等可能地取一值, Y 在1X中等可能地取一整数值,求( X, Y )的分布律。,二维离散型随机变量及其分布律,解 X,Y可能的取值都是1，2，3，4。,PX=i,Y=j=P(X=i) (Y=j)=PY=j|X=iPX=i=i/4 (ji),1/4,0,0,0,1/8,P1X3,Y=2=?,P1X3,0Y3=?,例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若X、Y 分别表示抽出的蓝
2、笔数和红笔数,求( X,Y )的分布律。,二维离散型随机变量及其分布律,( X,Y ) 所取的可能值是,解,二维离散型随机变量及其分布律,故所求分布律为,二维离散型随机变量及其分布律,例3 (课本例2)设X为抛掷3次硬币出现正面的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布与边缘分布。,二维离散型随机变量及其分布律,Y的取值由X的取值决定:Y=|2X-3|,类比, 位于xOy 面上方的曲面., 它与xOy 面围成的空间区域体积为1., 随机点(X,Y)落在平面区域G内的概率= 以G为底、曲面f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积,使 x (-, +),随机变量X 的分
3、布函数F(x),二维随机变量(X,Y )的分布函数F(x,y),二维连续型随机变量及其密度函数,1. 二维连续型随机变量,二维连续型随机变量及其密度函数,二重积分的计算,型区域,D可表为不等式:,Y型区域,二重积分的计算,D可表为不等式:,分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘分布函数，而,分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘密度函数.,二维边缘分布,设(X,Y)的密度函数为f(x,y)，则X和Y的分布函数可表示为,例4 设(X,Y)的密度函数为,二维连续型随机变量及其密度函数,(1) 求F(2,3); (2) 求F(x,y); (3)求PY X.,解,二维连续型随机变量及其密度函数,二维连续型
4、随机变量及其密度函数,例5 设(X,Y)的密度函数为,二维连续型随机变量及其密度函数,求(1) C的值; (2) 边缘密度函数.,解,二维连续型随机变量及其密度函数,设 G 是平面上的有界区域,其面积为A. 若二维随机变量 (X,Y)的概率密度为,则称(X,Y)在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域 G 内任投一质点，,1. 二维均匀分布,若质点落在 G 内任一小区域 B 的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.,则质点的坐标(X,Y )在 G 上服从均匀分布.,.,常见的二维分布,二维均匀分布,例6 (P65,例5)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，求边缘密度函数。,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,2. 二维正态分布,则称(X,Y )服从参数为 的二维正态分布.,记作(X,Y)N( ).,且,常见的二维分布,解,例7 求二维正态分布的边缘密度.,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,均与 无关,逆命题成立吗 ？,由边缘分布一般不能确定联合分布,二维正态分布,求边缘密度函数,解,同理, ,正态分布的联合分布未必是正态分布,二维正态分布,例8 若二维随机变量( X, Y )的概率密度为,
