1、高考 复数问题的五大热点 浙江 曾安雄 复数是初等数学与高等数学的重要衔接点，它的涉及面广，每年高考都有关于复数问题的内容 . 为了帮助同学们复习好这部分内容，本文对历年高考复数题进行研究，总结出活跃在高考中的五大热点，供参考 . 一、概念型 主要考查复数的实部（虚部）、模、虚数、纯虚数及共轭复数等概念 .解题关键在于正确理解概念，充分运用模、纯虚数、共轭复数等性质来解决 . 例 1 （ 2004 年高考浙江卷）已知复数 1 34zi ， 2z t i ，且 2izz 是实数，则实数 t（ ） 34 43 43 34解析：因为 12 (3 4 ) ( 4 3)z z t t i ，且 2izz
2、 是实数，所以 4 3 0t ，即 34t ，故选 评注：复数内容在高考中要求较低，本题考查了复数是实数的条件及共轭复数的概念 二、向量型 主要考查复数所对应向量的问题解题关键在于深刻理解复数的加、减法等的几何意义，以及常见曲线（圆、椭圆、线段等）的复数表示及对应关系，用数形结合法来解决 . 例 2 （ 2004 年北京春季高考卷）当 2 13 m时，复数 (3 2) ( 1)z m m i 在复平面上对应的点位于（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 解析：（特值入手）取 0.8m ，则复数 0.4 0.2zi 对应点在第四象限，故选 点评：对于题设是某一范围内的变量时，往往可取特殊
3、值来简化运算 三、计算型 主要考查用复数的代数形式的运算法则，进行加、减、乘、除、乘方等计算，同时还要掌握常见的结论，如 ni 的周期性以及 2(1 ) 2ii ，进而提高运算速度 例 3 （ 2005 年高考山东卷）2211(1 ) (1 )ii（ ） i i 1 1 解析：221 1 1 1 1(1 ) (1 ) 2 2i i i ii i i i 故选 四、方程型 解复数方程或求复数方程中的参数，通常是用复数的性质以及复数相等的充要条件，转化为实数方程来解决 . 例 （ 2005 年高考上海卷）在复数范围内求解方程 2 3()2 iz z z i i 解：原方程化简为 2 ( ) 1z
4、z z i i ， 设 ()z x yi x y R， ，代入上述方程得 22 1x y xi i 22121xyx ，解得1232xy ， 原方程的解是 1322zi 五、综合型 综合型是指把三角、不等式、复数和其它代数等多方面知识有机结合起来的问题，同时也包括复数内容本身的综合，它涉及模、共轭复数及运算等有时是以复数为背景的创新题 例 5 对于任意两个复数 1 1 1z x yi ， 2 2 2 1 1 2 2()z x y i x y x y R， ， ，定义运算“ ”为： 1 2 1 2 1 2z z x x y y，设非零复数 1 ， 2 在复平面内对应的点分别为 1P ， 2P ，点 O 为坐标原点，如果 120 ，那么在 12POP 中， 12POP 的大小为 分析：本题是新定义题，其知识背景是向量的数量积 解：设 1 1 1a bi ， 2 2 2 1 2 1 2()a b i a a b b R， ， ， 由 120 ，得 1 2 1 2 0aa bb 又因为 2 221 1 1OP a b， 2 222 1 2 1 2( ) ( )O P a a b b ， 所以由余弦定理可得 12cos POP0，即 1290POP
