1、高中数学与数学史,数学史内容使用原则,接近性：符合学生的认知水平；实用性：为课程学习服务；科学性：符合史实，适应课程标准及有关教学理论。,早期的数学没有成为独立的学科，缺乏逻辑因素。,1、Euclid的几何原本,中国,印度,美索不达米亚,古埃及,古埃及,刘徽原理,问题1,如图，正三角形ABC 的边长为2，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC， ， ， ，求几何体的体积。,问题2,如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD 两两垂直，平面ABC/平面DEFG，平面BEF/平面ADGC，AB = AD =DG=2，AC=EF=1，求该多面体的体积。,Thales(约前640约546)
2、，万物皆水。,Pythagoras(约前572前501)，万物皆数。,等比数列求和公式,莱因得纸草书（约公元前1650年）,莱因得纸草上的等比数列问题,欧几里得几何原本（公元前3世纪） 第 9 卷命题 35,Hippasus：不可公度比,数学历史中著名的“三大几何难题”的研究始于诡辩学派,三角形面积等于同底等高矩形面积之半。,同高三角形面积之比等于它们的底边之比 。,比例论：如果有4个量，取第一个量和第三个量的任何相等的倍数，取第二个量和第四个量的任何相等的倍数，当第一个量的倍数大于、等于或小于第二个量的倍数时，相应地有第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，那么我们就说，第一个量与第二
3、个量的比等于第三个量与第四个量的比。,穷竭法,穷竭法：“取两不等量，若从大量中减去一个大于或等于它本身一半的量，再从余量中减去大于或等于这余量一半的量，并且不断重复这一程序，则最后剩下的将是一个比所取二量中较小的一个还要小的量。”,几何原本,Euclid的巨著几何原本具有无以伦比的历史意义他精僻地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系,几何厦本印刷本(1482)第1页,几何原本阿拉伯文译制1350年手抄本这一页是勾段定理的证明,1.在一个已知有限直线上做一个等边三角形。,分别以A、B为圆心以AB为半径作圆。,2.由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知线段。,作等边三角形ABD，
4、连射线DA、DB，作OB，得G，作圆D得L。,命题,第十二卷 命题2 圆与圆之比等于其直径平方之比。,以下是Euclid证明的主要精神。他先证明圆可被多边形所“穷竭”,在圆里面内接一个正方形(如图)正方形面积大于圆面积的12，这是因为它等于外切正方形面积的12而外切正方形面积又大于圆,圆面积为,内接2n+1边形面积为,圆面积,弓形ACB面积矩形ABED面积,圆和某一边数足够多的正多边形面积之差可以比任何给定的量还耍小,现设 与 是两圆面积，并设 和 是其直径。Euclid要证,若 不成立，不妨设,而,在那个年代，还有伟大的数学家,Apollonius （约公元前262 190），Archime
5、des（前287212），Ptolemy（约100约170），Helon，Puppus，Diophantus,阿基米德-球体积,球体截片体积：,锥体截片体积：,柱体截片体积：,T处力矩：,+,=,柱体力矩：,2R(球体体积+锥体体积)=4R圆柱体积,祖暅原理推导圆锥的体积,“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”,祖暅,在高度x处的截面：,群牛问题,“啊！朋友，如果你智慧过人，那就专心致志算出那天那群公牛的数目吧。它们曾在西西里岛的大平原上吃草，按毛色它们被分成4组：乳白牛、黑牛、黄牛和花斑牛。每组中的公牛数占大多数，它们之间的关系为：1、白公牛=黄公牛（1/21/3）黑公牛2、黑公牛=黄公
6、牛（1/41/5）花斑3、花斑公牛=黄公牛（1/61/7）白公牛4、白公牛=（1/31/4）黑牛5、黑公牛=（1/41/5）花斑公牛6、花斑公牛=（1/51/6）黄牛7、黄公牛=（1/61/7）白牛,该问题继续说：“啊！朋友，如果你能算出每群中公牛和母牛的数目，你还是称不上无所不知或精通数字，也不能被列入智者之列。” 他对公牛数目另外又提出了两项限制条件，从而使这问题变得难多了：8白公牛黑公牛一个平方数。9花斑公牛黄公牛一个三角数。问题最后说：“如果你已算出这群牛的总数，噢！朋友，你俨然就是一个征服者了，不消说，你就是数字科学方面的专家了。”,二次幂和公式,巴比论：泥版数学文献 (约公元前30
7、00年) 但我们无法判断古代巴比伦人是否知道一 般公式。,阿基米德（Archimedes, 前287-212） 论劈锥曲面体与球体命题2引理； 论螺线命题10,阿尔海赛姆（Al-Haitham, 9651039）： 10-11世纪波斯 数学家,吉尔森（R. Levi Ben Gershon, 1288-1344）计算者之书(Maaseh Hoshev),帕斯卡（B. Pascal, 1623-1662）,分别令 r =1，2，n，将个等式相加即得,2、Khowarizmi的代数学,关于数的研究，有两方面的问题：探讨数与数之间的关系和发展数的计算技巧。古希腊人称前者为算术(arithmetic)
8、，后者为计算术(logistic)。,毕达哥拉斯学派研究亲和数，两个正整数称为亲和数，如果其中任何一数都等于另一数的真因子之和。例如，284和220是一对亲和数220的真因子1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55和110，284的真因子1, 2, 4,71和142.,2、Khowarizmi的代数学,欧几里得在原本第九卷的命题20中证明:素数的集合是无限的.狄利克雷成功地证明了这个定理的一个精彩推广:任何算术序列(其中a和d是互素的)都含有无限多个素数.这个结论的证明，是很不容易的.,2、Khowarizmi的代数学,Gauss在十五岁时通过考察一个很大的素数表而
9、猜想：（素数定理）假设An表示小于正整数n的素数的个数，素数定理说的是:当n无限增大时， 逼近于 ，当n逐渐增加时，逼近的程度不断改善。1896年，Hadamard和Poussin分别独立地给出了证明.,2、Khowarizmi的代数学,Diophantus，算术Arithmetica.大多数历史学家倾向于认为他生在三世纪.丢番图写了三部著作：算术，原有十三卷，现存六卷;论多边形数，现存其中一些片断;衍论，已逸失。算术一书是一部具有高度创造性的伟大著作.,2、Khowarizmi的代数学,1484 Chuquet（法 ） 在算术三篇 中，使用了一些缩写符号，如用P表示加法，用m表示减法1489
10、 Widman（德） 在商业速算法中用“”表示超过，用“”表示不足1514年，Hoecke（荷）首次用“”表示加法，用“-”表示减法1544年，Stifel（德）在整数算术中正式用“”和“”表示加减,2、Khowarizmi的代数学,1631 Oughtred（英）在数学之钥中以符号“”代表乘但Leibniz合理地加以反对：“我不喜欢把“”作为乘法记号，因为它容易与x混用”于是，他发明了另一种乘号“”,1659 Rahn（瑞士）在代数中，第一个除号“” ,1557 Recorde（英）在智慧的激励中首先把“”作为等号1631 Harriot在实用分析技术引入不等号“”和“”,2、Khowari
11、zmi的代数学,早在16世纪，“”便出现在一些欧洲数学家的著作中了1637年出版的方法论中，Descartes第一次把“”改为今天使用的记号“ ”，表示开方，他还用a2表示两个a相乘，用an表示n个a相乘。,2、Khowarizmi的代数学,用字母表示未知量和未知量的乘幂，用字母表示系数通常以辅音字母表示已知量，以元音字母表示未知量代数是施行于事物的“类的运算”，而算术则是用来确定数目的“数的运算”,Vieta第一个系统使用字母,2、Khowarizmi的代数学,1847年，伟烈亚力用中文写了数学启蒙(1853)，序：“有代数、微分诸书在，余将续悻之。”,1859年，李善兰和伟烈亚力合译英国D
12、e 的“Elements of Algebra”(1835)，正式定名为代数学,后来蘅芳和英国人傅兰雅合译英国华里司代数术(1873)卷首有“代数之法，无论何数，皆可任以何记号代之”,2、Khowarizmi的代数学,“代数学”一词，来自拉丁文algebra，它又是从阿拉伯文变来的其中有一段曲折的历史,阿尔花拉子模Mohammed ibn Musa AlKhowarizmi，Myxamme-yccca Xope， (约783约850),2、Khowarizmi的代数学,825年左右，Khowarizmi 著代数学1140年左右，Robert把它译成拉丁文书名是“ilm al-jabr wal
13、muquabalah”全名是“还原与对消的科学”，也可以译成“方程的科学”al-jabr这个字变成了algebra,2、Khowarizmi的代数学,在剑桥大学图书馆译文没有标题，“Dixit Algoritmi”译本定名为“Algoritmi denumero indorum”，演变成表示 “算法”的专业术语algorithm,2、Khowarizmi的代数学,Khowarizmi的算术著作中专门讲述了分数理论拉丁语“分数”一词fractiones是阿拉伯语“拆开”的译文由此在欧洲语言中产生了不同的表示法：法语nombre rompu，表示“拉断的数”；中世纪俄语、，意为“破碎的数”；英文为
14、fraction，德语为Bruch、等等,把未知数叫做“根”(jidr)，译成拉丁文radix,2、Khowarizmi的代数学,意大利和西班牙，,2、Khowarizmi的代数学,Adelard（英，约1090约1150），从阿拉伯文翻译的Euclid几何原本还翻译了Khowarizmi的著作,1202年，L. Fibonacci（约11701240）,算盘书,实用几何花絮平方数书。,2、Khowarizmi的代数学,1360年，Oresme（法，约13201382）著比例算法，首次引入分数指数的概念。,论质量与运动的结构论图线开始研究运动和变化的量，提出一种图线原理，其实质相当于一种坐标几
15、何,2、Khowarizmi的代数学,1494年，Pacioli（意）的算术、几何、比与比例全书，书中讨论了三次方程，没有成功，而得出“高于二次的方程不可解”的错误结论，,2、Khowarizmi的代数学,Tartaglia，掌握了一般三次方程的解法,2、Khowarizmi的代数学,Cardano（意，15011576） ，1545，大术,2、Khowarizmi的代数学,1614 Napier在奇妙对数规则的说明中，详细介绍了自己发明对数的思路,2、Khowarizmi的代数学,Regiomontanus（德，14361476）的论各种三角形三角学开始作为一个独立学科,和角公式,托勒密（2
16、世纪）,帕普斯（Pappus, 3世纪末）数学汇编,阿布韦发(Abul-Wefa, 940-998),克拉维斯（C. Clavius, 1537-1612）星盘(1593),阿布韦发的启示,阿布韦发的启示,面积变换法之一,面积变换法之二,3、 Descartes的方法论,1566年，Commandino 把Apollonius的圆锥曲线论前四卷译成拉丁文。,3、 Descartes的方法论,1413， Filippo Brunelleschi 完成了线性透视实验，被认为是第一个尝试透视画法的人。,3、 Descartes的方法论,3、 Descartes的方法论,3、 Descartes的方法
17、论,3、 Descartes的方法论,3、 Descartes的方法论,1639，Girard Desargues（法，15911661）试论圆锥与平面相交结果,Desargues数学思想的出色之处，在于引进了无穷远点和无穷远线,3、 Descartes的方法论,Blaise Pascal（法，16231662）在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注目的贡献，他是手摇计算机的发明者，还是法国著名的文学家，物理方面的成就也不少,16写成一本约八页的小册子略论圆锥曲线,3、 Descartes的方法论,3、 Descartes的方法论,3、 Descartes的方法论,几何与代数都相当
18、完善了,3、 Descartes的方法论,Pierre de Fermat（法，1601 1665）,平面与立体轨迹引论，1630著，1679出版,3、 Descartes的方法论,Ren Descartes （法，15961650）,1628年，思想的指导法则,1633 ，宇宙论，1637 ，方法论 折光、气象、几何1644 ，哲学原理1649 ，激情论,3、 Descartes的方法论,x2axb2，其中a、b是已知长度，,3、 Descartes的方法论,Pappus问题：设AB，AD，EF和GH是四条给定直线，从动点C引直线CB，CD，CF，CH各与一条给定直线构成已知角CBA， CD
19、A， CFE，CHG，求满足CBCFCDCH的动点C的轨迹,3、 Descartes的方法论,在几何的第二卷中，Descartes详细讨论了曲线方程的推导及各种曲线的性质,设直线l1l2于A，G是l1上的定点，直尺m绕端点G旋转，交l2与L，直尺n的端点K沿l2滑动，LK为定长试导出m与n的交点的轨迹方程,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,牛顿和莱布尼兹是微积分约奠基人Newton 称微积分为“流数术”（fluxions），这名称后来逐渐被淘汰Leibniz 在著作中使用了“calculus differentialis”（差的计算）与“calculus summatorius”（求和
20、计算）的术语,“微分学” （英文differential calculus） Bernoulli “求整计算”（calculus integralis），“积分学” （英文integral calculus，）微积分calculus,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,李善兰和伟烈亚力（Alexander Wylie，18151887）合译的代微积拾级十八卷，1859年5月10日（清咸丰九年四月初八日）在上海墨海书馆印行原书是罗密士（Elias Loomis， 18111889，美国人） 著的“Analytical Geometry and Calculus”（1850）,4、 Newt
21、on 的自然哲学之数学原理,序中说：“我国康熙时，西国来本之（Leibniz）、奈端（Newton）二家又创微分、积分二术，其理大要；凡线面体皆设为由小渐大，一刹那中所增之积即微分也其全积即积分也”这就是我国微积分名称的起源,汉徐岳数术记遗里而有“不辨积微之为量，讵晓(怎能知道)百亿于大干”的话李善兰也许就是借用这里微积的字样来翻译“calculus”的,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,Kepler三大定律，通过观测归纳，急需数学推证。1、行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；2、由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；3、行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半
22、长轴的立方成正比。,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,卡瓦列利（Bonaventura Cavalieri ）,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,卡瓦列里一直推到,还解决了开普勒的求抛物线弓形绕弦旋转的体积问题。,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,瓦里士（John Wallis）,Cavalieri 的n为正整数,Wallis 的n为分数,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,猜想,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,Fermat 的方法更有效，为了计算 从0到a的曲线下面积，插入分点,Newton 建立带有任意有理指数的二项式定理，是由寻求曲线 下面积所引起
23、的,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,TQ:PQ=E : (T1Q1-QP).,曲线记作f(x,y)=0，P(x,y)我们就有 T1Q1=y+yE/t （记TQ=t）假设P1在曲线上，有 f (x+E, y(1+E/t) )=0解方程，令E=0（他说是去掉E项），就得到 t.,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,求曲线y=f(x)过点P(x,f(x)的切线，首先确定法线与x轴的交点C的位置，然后作法线的垂线即可。,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,巴罗 ( Issac Barrow ),4、 Newton 的自然哲学之数学原理,Barrow 引入“微分三角形”，给出求切线
24、的方法 Barrow 的符号a:e相当于现在的dy/dx,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,此外， Barrow 还求得相当于,牛顿 ( Isaac Newton ),4、 Newton 的自然哲学之数学原理,1665年5月20日，在Newton 手写的一页文件中开始有“流数术”的记载。,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,流速简论,运用无穷多项方程的分析学,流数法和无穷级数,曲线求积论,莱布尼兹（Gottkied Willhelm Leibniz ）,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,1684年在学艺（Acta eruditorum）杂志上发表：“一种求极大极小和切线的
25、新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”,4、 Newton 的自然哲学之数学原理,贝克莱（George Berkeley ),4、 Newton 的自然哲学之数学原理,许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设Proclus、Wallis、Saccheri、Clairaut、Lambert、Legendre、Playfair,5、 Lobachevsky的论几何原理,1733年，SaccheriA和B是直角，且ACBD，易证CD，欧氏几何平行公设相当于C，D是直角这个论断，他在下列两种情形中选择：（1）钝角假设：C、D是钝角；（2）锐角假设：C、D是锐角,5、 Lo
26、bachevsky的论几何原理,放弃了平行公设，提出了“罗氏平行公设”：过定直线外一定点有无数条定直线的平行线，并按如下方式建立新几何：“设想从一点（C）作垂线垂直于已知直线（AB），并从该点向直线作平行线；记为和平行线间的角”,5、 Lobachevsky的论几何原理,Lobachevsky（俄，1793-1856）,根据对无穷小三角形的研究，还得出了曲线在处的弧微分公式,5、 Lobachevsky的论几何原理,于是，半径为,的圆周长,，圆面积,Abel和Galois是Galois理论及群论的主要奠基者,6、 Abel和Galois的群论,6、 Abel和Galois的群论,Abel还给出
27、了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为 。其中 是有理函数1853年，Kronecker称具有这种特征的方程为Abel方程随后，Abel证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根 有 。则该方程可用根式求解,6、 Abel和Galois的群论,Galois利用了Lagrange关于根的置换、排列的概念如 设 是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换 和 就是一个置换，这样总共就有4！24种可能的置换经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样Galois就给出了关于抽象群的一个早期定义,6、 Abel和Galois的群论,谢谢,
