1、数学的美与理,第五章：漫步数学史,第五章 漫步数学史,课本中字斟句酌的叙述，未能表现出创作过程中的争斗，挫折，以及在建立一个客观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。学生一旦认识了这一点，他将不仅获得真知灼见，还能获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。实在说，叙述数学家如何跌跤，如何在迷雾中探索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应使搞研究工作的任意新手鼓起勇气。 M.克莱因 一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧 傅鹰经过多少个世纪，他们的智慧仍然有助于我们思维之路的形成。 瑞珀尔，史密斯,M克莱
2、因（MorrisKline，莫里斯克莱因，1908.5.11992.5.10 ），美国数学史家、数学教育家与 应用数学家，数学哲学家，应用物理学家。生于美国纽约市布鲁克林。1930年，他以优异的成绩毕业于纽约大学，随之攻读学位，并于1932年获硕士学位，1936年获得博士学位。获博士学位后，他1936年至1938年在普林斯顿高等研究院研究拓扑学，1938年回纽约大学任文理学院教授，并在著名数学家库朗指导下研究应用数学。二战期间，M克莱因作为一个物理学家任职于位于美国新泽西州的Belmar的美国陆军通信部队，他所工作的工程实验室曾发明雷达。战争结束后，他继续在那里研究电磁学。由于他在应用数学的研
3、究上取得重要成就，1946年起他担任库朗研究所电磁理论研究室主任达20年之久，并于1952年获得正教授职位。从1959年起，他还担任纽约布鲁克林大学文理学院数学系主任，直到1970年退休。他担任纽约大学研究生数学教学委员会主席11年。1976年他被纽约布鲁克林大学任命为荣誉教授。,傅鹰（1902 01.19 - 1979 09.07）字肖鸿，祖籍福建省闽侯县，年月日出生于北京。童年时代受到在外务部供职的父亲傅仰贤的薰陶，深感国家频遭外国列强欺侮，是国家贫弱和清廷腐败所致，遂萌发了强国富民的愿望。 年他入燕京大学化学系学习，轰轰烈烈的“五四”运动和新青年杂志对他有很大的影响，从此发奋苦读，立志走
4、科学救国的道路。 年公费赴美国留学，年以后，在密执安（）大学研究院获得科学博士学位，时年岁。,第一节 学点数学发展史,1 .1 为什么要学点数学史？首先 历史有以古知今的作用。“要想预见数学的将来，正确的方法就是研究它的历史与现状” 庞加莱 “如果他不知道来自何处，就没有人知道他去何方” 法国人类学家 斯特劳斯,数学史就是讲：数学科学产生与逐渐繁荣的历史数学思想逐渐演变的历史数学家逐渐纠正他们的错误的历史数学应用逐渐扩展的历史,“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了。” 英国科学史家丹皮尔但是 数学史反宗教的请看下面的一个故事,埃及的亚历山大城自公元前三百年左右就有了世界上第一所大学
5、，第一座图书馆。欧洲的战乱并没有怎么波及到这里，所以这里也成了当时西方世界第一流学者的天堂。就是在罗马征服埃及以后，学术传统仍然被保留下来。当时的罗马皇帝在各行省征收苛税，但对其它方面并没有干涉的兴趣。在科学和文学上，征服者是崇拜希腊人的。罗马士兵在战乱中杀死了阿基米德，当时的统帅Marcellus垂胸顿足，后悔莫及。后Henllenistic时期学术气氛仍算是宽松，ollonius系统地研究了圆锥曲线，托勒密等人对三角学推动很大，而丢番图提出的问题至今仍是纯数学中的难题。 主历三二五年，罗马康斯坦丁大帝接受基督教为国教。那时希腊的最后一块属地埃及也已经陷落三百五十五年了。从这以后曾经备受压迫
6、的基督教（天主教）开始成为压迫异端的急先锋。公元四七六年，西罗马帝国在北方各蛮族的不断打击下毁灭。但是就象入侵并占领了汉族中国的满族人最终被同化一样，强大的基督教战胜了罗马兵团所没有战胜的敌人-古罗马帝国垮掉了，他们的宗教思想却获得了前所未有的胜利，基督的威势在欧洲的每一个角落建立起来。公元五二九年，在狂热的天主教信徒不断的压力下，雅典学院因转播异端思想被关闭。在此之前亚历山大大学和图书馆已经焚毁，整个古希腊数学时期就此结束了。,研究数学史我们哪些收获呢？,1，看古人研究哪些基本问题？2，看古人如何一步一步解决这些问题的？3，研究数学概念的发展史和接受史可以增长我们的智慧，提高我们的辨别力、理
7、解力和洞察力。,1.2 四个质不同的时期,第一个时期数学形成时期。数概念的形成:30万年以前 计数:手指-石子-结绳-刻痕 早期记数系统:10进制(埃及,中国,希腊,印度)60进制(巴比伦),20进制(玛雅)几何的实践来源: 埃及几何-测地, 印度几何-宗教 中国几何-天文, 希腊几何- 哲学,河谷文明,埃及,美索不达米亚,中国,印度地域的文明-河谷文明. 尼罗河,底格里斯河与幼发拉底河,黄河与长江,印度河与恒河. 埃及数学来源于两部纸草书-莱茵德纸草书和莫斯科纸草书.特点:10进制,无位值概念 美索不达米亚数学来源于泥版文书.特点:60进制,引进位值概念.(同一个记号,根据它在数字表示中的相
8、对位置而赋予不同的值.),第二个时期称为初等数学1.论证数学的发端: 代表人物:泰勒斯(测量金字塔的塔高,相似形,全等形), 毕达哥拉斯: a.的前两卷的材料 b.正多面体作图 c.黄金分割 d.万物皆数,可公度量 ,无理数的发现-第一次数学危机,2.论证数学的发展(雅典时期的希腊数学) 特点:学派林立(伊利亚学派,诡辩学派, 柏拉图学派,亚里斯多德学派) 三大几何问题(尺规作图问题): a.化圆为方 b.倍立方体 c.三等分角 1837年,法国数学家旺泽尔在代数方程论基础上证明了倍立方体和三等分任意角不可能只用尺规作图.1882年,德国数学家林德曼证明了圆周率的超越性,从而化圆为方不可能.任
9、何有理系数代数方程的任何一个根叫做代数数,否则叫做超越数.,亚里斯多德学派指出:需要有未加定义的名词-原始概念(如:点,线,面,体).定义了公理,公设,创立了独立的逻辑学,其中的基本逻辑规律:矛盾律和排中律,成为数学中间接证明的核心.亚里斯多德的形式逻辑为欧几里德演绎几何体系的形成奠定了方法论基础.,3.希腊数学的黄金时代 代表人物:欧几里德,阿基米德,阿波罗尼奥斯. 欧几里德,共13卷,前6卷由利马窦和徐光启合译.后6卷由李善兰译.其中,有5条公理,5条公设,119个定义和465个命题.构成了历史上第一个数学公理体系.公理体系的要求:独立性,相容性,完备性. 与希尔伯特的. 欧式第五公设：
10、独立性：每一公理不能由其它公理推出。相容性：公里系统内不存在矛盾。完备性：每一命题在公里系统内必可判定。,第五公设的两个等价命题：1.过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。2.三角形的内角和为两直角。,3. 希腊数学的黄金时代: 阿基米德:公元前两世纪,用“穷竭法”计算了圆周率的近似值22/7(祖冲之叫约率) 阿波罗尼奥斯创立了相当完美的圆锥曲线理论.之前,希腊人用三种不同的圆锥面导出圆锥曲线,阿氏从对顶锥得到所有圆锥曲线,并命名椭圆,双曲线,抛物线.是希腊演绎几何的最高成就.,4.希腊数学的后期:丢番图的:将一个已知的平方数分为两个平方数.即 费马对此问题的研究引出了“费马大定理”:
11、(n2).无非零整数解.1994年,由维尔斯证明. “坐地日行八万里”.古希腊人用“两条平行线被第三条直线所截,内错角相等”算出地球周长约为40000公里.,当然 中国在此时期的成就已经在前面的章节讲到 这里不做赘述,第三个时期是变量数学的时期由于资本主义的兴起 大工业的生产对数学有了新的发展要求,1.文艺复兴时期的数学:兔子问题与斐波那锲数列:1,1,2,3,5,8,11,13,21 一次,二次,三次,四次方程的根式解. 代数基本定理:n次方程必有n个根. 2.解析几何的诞生:笛卡儿和费马的贡献3.微积分的诞生:牛顿和莱布尼兹的贡献4.第二次数学危机和分析的严格化（魏尔斯特拉斯，戴德金分割，
12、康托的基本序列，自然数的基数，实数连续统的基数）,5.欧拉对微积分的贡献,欧拉是拓扑学的创始人.欧拉定理:对凸多面体,f+v=e+26.微积分对数论的影响: 1640年,费马验证了当n=0,1,2,3,4,时, 是质数。叫做费马数。费马提出猜想:费马数是质数。但当n5时，费马数=6416700417,非欧几何的产生: 欧式几何的第五公设的等价命题:1.过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行.2.三角形的内角和为两直角.,罗巴切夫斯基几何第五公设变为:1.过直线外一点没有直线与已知直线平行.2.三角形的内角和小于两直角. 黎曼几何第五公设变为:1.过直线外一点有两条以上直线与已知直线平行.2
13、.三角形的内角和大于两直角.,对根式解的研究导致群概念的产生-抽象代数. 次数大于或等于5的方程无根式解-拉格朗日提出 ,阿贝尔证明. 伽罗华找到了有根式解的充分必要条件.在这一过程中建立了群概念.,第四个时期为现代数学时期,1.数学基础的三大学派: 逻辑主义学派,直觉主义学派,形式主义学派（与布尔巴基学派的结构统一数学的比较）.2.集合论悖论(罗素悖论)与ZF系统。3.概率和统计的产生.10个老年人的健康状况能否代表所有老年人的健康状况.样本的大小. 1936年,美根据1000万户电话用户和该杂志定户,断言罗斯福:兰登=370:161,结果是,抽样调查关注样本的代表性.,4计算器的分类和计算
14、机的发展: 简单计算器,科学计算器和图形计算器. 用Excel可以很方便地制作统计图.,计算数据的平均数,众位数,众数,还可求出方差和标准差. 第一台能作加减运算的机械式计算机是由帕斯卡1642年发明的. 第一台能进行加减乘除四则运算的计算机是由莱布尼兹1674年发明的.,巴贝奇使四则计算机带程序功能,是向现代计算机过渡的关键. 20世纪40年代,冯.诺依曼革新程序存储概念,即用记忆数据的同一记忆装置存储执行运算的命令,是使全部运算成为真正的自动化过程. 机器证明的骄傲:四色问题的解决.,歌德尔不完全性定理及意义：1.任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的 ，则它一定存在有不可判定命题
15、。2.如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。,1.3 20世纪以来数学科学的发展的主要趋势,（1）数学科学自身（2）数学基础（3）数学应用（4）计算机的介入,20世纪数学发展的主要趋势,从19世纪走过来的法国数学大师庞加莱开创了组合拓扑学，使拓扑和抽象代数的观点和方法成为20世纪最有影响的手段。另一位德国数学大师希尔伯特在1900年第二届国际数学家大会上，作了著名的“数学问题”的报告，成为向20世纪挑战的宣言。,回首20世纪，数学以史无前例的速度发展起来，现代数学无论在深刻还是在广度上发展都超过了以往的岁月。首先，从数学整体发展上看，以集合论为基础
16、，数学公理化方法、数理逻辑方法迅猛发展，形成了“数学基础”这门学科，成为现代数学的基石。第二，数学进一步抽象化，新学科层出不穷，抽象代数、拓扑学、泛函分析取代了高等代数、高等几何、数学分析，成为数学的主干。第三，数学的应用日益广泛，数学不仅为理论物理、力学、电学提供有力的工具，而且大规模地向生物学、经济学、社会学、语言学等领域渗透。系统论、信息论、控制论以至于突变论、耗散结构论、协同学理论都基于数学发展起来，并促使各门科学定量化研究。,第四，电子计算机的产生及迅猛发展，把人类带入了信息时代。电子计算机作为人脑的延伸，不仅能解决大量计算问题，而且使数学证明能获得一定的机构化。这样它对数学都提出了更新、更深刻的问题，数学的演绎与算法两个源泉将汇成滚滚洪流，推动着科学的发展，也推动着社会的进步。此外，20世纪以来，数学研究的社会化进程和数学成果的普及随着信息时代的到来而大大加快，杰出的数学家已不是一个一个地出现，而是一批一批地涌现，形成影响整个数学发展的各个学派，数学文献也是成指数地增长。,总而言之，在数学的长河中，20世纪以来的一段最为绚丽多彩。人们正在循着这光辉的足迹，从中吸取有益的经验，满怀信心地走了21世纪。当然，数学中还有许多许多的问题，而且是更深更难的问题需要我们去解决。但是，从事数学科学研究的人们都坚信希尔伯特的一句名言：“我们必须知道，而且一定会知道。”,谢谢,
