1、高斯与代数数论,的不解之缘,制作人：0940801075 肖文莉,高斯(Gauss 17771855),高斯(C.F.Gauss 1777-1855)生于Brunswick，位于现在德国中北部。德国数学家、物理学家和天文学家，英国皇家学会会员。,高斯是一个农民的儿子，幼年时，他在数学方面就显示出了非凡的才华。3岁能纠正父亲计算中的错误；10岁便独立发现了算术级数的求和公式；11岁发现了二项式定理。少年高斯的聪颖早慧，得到了很有名望的布瑞克公爵的垂青与资助，使他得以不断深造。19岁的高斯在进大学不久，就发明了只用圆规和直尺作出正17边形的方法，解决了两千年来悬而未决的几何难题。1801年，他发表
2、的算术研究，阐述了数论和高等代数的某些问题。他对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大贡献。,作为一个物理学家，他与威廉.韦伯合作研究电磁学，并发明了电极。为了进行实验，高斯还发明了双线磁力计，这是他对电磁学问题研究的一个很有实际意义的成果。高斯30岁时担任了德国著名高等学府天文台台长，并一直在天文台工作到逝世。他平生还喜欢文学和语言学，懂得十几门外语。他一生共发表323篇（种）著作，提出了404项科学创见，完成了4项重要发明。,高斯去世后，人们在他出生的城市竖起了他的雕像。为了纪念他发现做出17边形的方法，雕像的底座修成17边形。世人公认他是一位和牛顿、阿基米德、欧拉齐名的数学家
3、。,在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从有了高斯在1801年发表了他的算术研究后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。 关于数论，高斯曾经说过一句名言：“数学是科学的女王，而数论是数学的女王。” 他还说过：“天文学与纯数学，是我心智的罗盘永远指向的磁极。”高斯在纯数学和应用数学的许多领域都做过重要贡献。,算术研究是高斯一生中的巨著。暮年高斯在谈到这部书时说：“算术研究是历史的财富。”,算术研究,三个主要思想： 同余理论 负整数理论 型的理论,其中负整数理论正是代数数论的开端，而这个理论又是从高斯对同余理论的研究中派生出来的。,同余理论,同余是算术研究中的一个基本研究课题
4、。这个概念不是高斯首先提出的，但是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨论了同余数的运算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他还运用幂的同余理论证明了费马小定理。,负整数理论,二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在数论中占有极为重要的地位。正如美国现代数学家狄克逊（18741954）所说：“它是数论中最重要的工具，并且在数论发展史上占有中心位置。”其实，高斯早在1796年就已经得出了这个定理及其证明。发表在算术研究中的则是另一种证明。,从二次互反律出发，高斯相继引出了双二次互反律和三次互反律，以及与此相联系的双二次和三次剩余理论。为了使三次和双二次剩余理论优美而简
5、单，高斯又发展出了复整数和复整数数论。而它的进一步结果必然是代数数理论，这方面由高斯的学生戴德金（18311916）作出了决定性的贡献。,型的理论,在算术研究中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性用于证明任何多个关于整数数的定理。正是由于高斯的带领，使型的理论成为19世纪数论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述是如今所谓数的几何学的开端。,算术研究的意义： 算术研究发表后，拉格朗日曾经悲观地以为“矿源已经挖尽”、数学正濒临绝境，当他看完算术
6、研究后兴奋地看到了希望的曙光。这位68岁高龄的老人致信高斯表示由衷的祝贺：“您的算术研究已立刻使您成为第一流的数学家。我认为，最后一章包含了最优美的分析的发现。为寻找这一发现，人们作了长时间的探索。相信我，没有人比我更真诚地为您的成就欢呼。” 关于这部著作，19世纪德国著名数学史家莫里茨康托曾发表过高见，他说：“高斯曾说：数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。如果这是真理，我们还可以补充一点：算术研究是数论的宪章。”,在高斯之后，对代数数论做出重要贡献的数学家库默尔（E.E.Kummer 1810-1893），也是一位德国人，他的工作与证明费马大定理有关。,后来，德国数学家戴德金（R.Dedekind 1831-1916）又把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，从而建立了现代代数的理论。,我们从以上的介绍已经可以获得这样一种观念：数学上一个看似平常的特殊问题，有时甚至会对数学本身的发展产生难以估量的影响。,我的盐讲结束了、Thank you very much !,
