1、数学史与中学数学教学,余志成江西科技师大数学与计算机科学学院 2013-3-4,数学史与中学数学教学,一座宝藏 一条进路 一缕书香 一种视角 一个领域,数学史与中学数学教学,全日制义务教育数学课程标准： 在教学活动中，教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。,案例 1 相似三角形的应用,案例 1 相似三角形的应用,案例 1 相似三角形的应用,案例 1 相似三角形的应用,案例 1 相似三角形的应用,案例 1 相似三角形的应用,隧道全长 1036米，宽1.8米，高1.8米。设计者：欧帕里诺斯,案例 1 相似三角形的应用,萨莫斯岛上的穿山隧道(前530年),
2、案例 1 相似三角形的应用,泰勒斯是如何测量金字塔高度的？,Thales (about 624 BC - about 547 BC),案例 1 相似三角形的应用,泰勒斯是如何测量轮船离海岸距离的？,案例 1 相似三角形的应用,周髀算经卷上： 取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸。故以勾为首，以髀为股。从髀之日下六万里而髀无影，从此以上至日则八万里。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰日晷径千二百五十里。,案例 1 相似三角形的应用,刘
3、徽九章算术序： 以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。,案例 1 相似三角形的应用,周髀算经测日径法,案例 1 相似三角形的应用,九章算术勾股章：今有句五步、股十二步，问：句中容方几何？,案例 1 相似三角形的应用,九章算术勾股章（17）：今有邑方二百步，各开中门。出东门一十五步有木。问：出南门几何步而见木？,案例 1 相似三角形的应用,九章算术勾股章（18）：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出东门一十五里有木。问：出南门几何步而见木？,案例 1 相似三角形的应用,九章算术勾股章（19）：今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十
4、步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？,案例 1 相似三角形的应用,九章算术勾股章（22）：今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈。另左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问：木去人几何？,案例 1 相似三角形的应用,九章算术勾股章（23）：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺，问：山高几何？,案例 1 相似三角形的应用,九章算术勾股章（24）：今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？,案例 1 相似三角形的应用,巴比伦泥版文献（巴格达博物馆藏）：已知直角三角形ABC中，AB =
5、75，BC = 60，CA = 45。S(ACD)= 8, 6；S(CDE) = 5, 11; 2, 24；S(DEF) = 3, 19; 3, 56, 9, 36； S(EFB)= 5, 53; 53, 39, 50, 24。求AD、CD、BD、CE、DE、EF、DF、BE、BF。答案：AD = 27；CD =36；BD = 48；CE =21; 36。,案例 1 相似三角形的应用,案例 1 相似三角形的应用,16世纪的测量方法,案例 2 全等三角形的应用,古代的水准仪 在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何图形，往往被看作神圣的符号而被用作护身符。下图是埃及古墓中出土的测量工具形状的
6、护身符，其中第二种显然是测水准的工具。,案例 2 全等三角形的应用,古代的水准仪由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成。测量时，调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线，即底边是水平的。这就是“边边边”定理的应用。,案例 2 全等三角形的应用,我们有理由相信，埃及人在建造金字塔时必用到这种测量工具。,案例 2 全等三角形的应用,在古罗马土地丈量员的墓碑上，我们也看到了这种水平仪。中世纪和文艺复兴时代，这种工具仍被广泛使用。,案例 2 全等三角形的应用,17世纪意大利数学家Pomodoro的实用几何一书中给出的利用水准仪测量山坡高度的方法,案例 2 全等三角形的应用,
7、角边角 希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales, 前6世纪）发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其几何史中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”,案例 2 全等三角形的应用,坦纳里（P. Tannery, 18431904）认为，泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。,案例 2 全等三
8、角形的应用,希思（T. L. Heath, 1861-1940）提出了另一种猜测：如图，泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕 A 转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC = DB。,案例 2 全等三角形的应用,上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S. Belli, ?1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。,有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河
9、流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。,案例3 三角比,日晷（古埃及、巴比伦、古希腊Anaximander）,案例3 三角比,Aristarchus（310 B.C.-230B.C.）,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,古代两河流域的陶碗（图1）以及中国仰韶文化陶盆（图2）上的花瓣纹则表明，新石器时代的人们已经知道用圆弧来构造若干对称图形了。,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,大英博物馆所藏古巴比伦时期（公元前1800年-公元前1600年）的数学泥版BM 15285（残缺不全）上，我们看到很多圆弧
10、或圆弧与线段所围图形的面积问题，这些问题很可能是当时祭司编制的学校数学练习题。,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,公元前5世纪，希波克拉底在研究化圆为方问题时，求得了某些特殊弓月形的面积。在图17中，希波克拉底发现，等腰直角三角形斜边上的半圆与以直角顶点为圆心、直角边为半径的四分之一圆弧所围成的弓月形面积与等腰直角三角形的面积相等。在图18中，希波克拉底发现，大圆内接正六边形相邻三边上的小半圆与大圆所围成的三个弓月形连同其中一个小半圆的面积与等腰梯形面积相等。,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,“盐窖”形,“鞋匠刀”形,阿基米德发现，
11、鞋匠刀形的面积恰好等于以图中大圆的半弦为直径的圆面积。盐窖形的面积恰好等于以大半圆直径中垂线介于大半圆和中间小半圆之间的线段为直径的圆面积。,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,达芬奇笔记本中的数学问题,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,达芬奇笔记本中的数学问题,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,拿破仑远征埃及途中提出的数学问题用圆将一个圆四等分,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,Reuleaux三角形,“海豚形”,案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇,“蘑菇”形,“海豚形”,Reuleaux三角形,案例 5 一元二次方程求根公式,巴比论：泥版数学文献 泥版数学文献中含有三种类型的一元二次方程： x2 + b
12、x = c；x2 = bx + c ；x2 + c = bx 巴比伦人已经分别知道求根公式,案例 5 一元二次方程求根公式,巴比伦泥版问题1：“【正方形】面积与边长之和为3/4，【求边长。】” 解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。将1/4与3/4相加，得1，从中减去1/2，即得边长为1/2。”,案例 5 一元二次方程求根公式,Hyrup之解释：,案例 5 一元二次方程求根公式,巴比伦泥版问题：一个正方形面积减去它的边长，差为870。求边长。相当于求解 。 解法： “取1的一半，得1/2，以1/2乘1/2，得1/4；将1/4加到870，得870
13、 1/4。这是29 1/2的平方。把1/2加到29 1/2，结果得30，即为正方形的边长。”,案例 5 一元二次方程求根公式,几何原本在长度为b的线段AB的延 长线上求一点D，使 AD（b+ x）与BD（x）构成的矩形面积为c。,欧几里得的作图法,b/2,b/2,b/2,x,x,案例 5 一元二次方程求根公式,释律佗罗 (Sridhara,10世纪) 方程ax2 + bx = c的解法： 方程两边乘以 4 倍的二次项系数，再加上一次项系数的平方。(然后开方。),案例 5 一元二次方程求根公式,Al-Kitb al-mukhta Jar f Hisb al-jabr wa-l-muqbala,A
14、l-Khwarizmi (780?-850?),案例 5 一元二次方程求根公式,花拉子米代数学,案例 5 一元二次方程求根公式,韦达 x2+ax=b (令 x = u+ z ) u2+(2z+a) u+(z2+az+b)=0 (令2z + a =0) u2-1/4 (a2-4b)=0 ,F. Vite （1540-1603）,案例 6 等比数列求和公式,泥版MS 1844（约公元前2050年）上记载如下问题的解法：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？七兄弟所得构成一个首项为2、公比为7/6、项数为6的等比数列。,案例 6 等比数列求和公式,泥版M 7857（
15、古巴比伦时期）上，人们发现了一个等比数列问题。正面是一个首项为99、公比为9的等比数列：99，891，8019，72171，649539。反面是： 649539 大麦 72171 麦穗 8019 蚂蚁 891 鸟 99 人,案例 6 等比数列求和公式,莱因得纸草书（约公元前1650年）,莱因得纸草上的等比数列问题,案例 6 等比数列求和公式,埃及乘法127,案例 6 等比数列求和公式,几何原本第 9 卷命题 35,案例 6 等比数列求和公式,References1 T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics. London: Oxfor
16、d University Press.2 C. S. Roero (1994). Egyptian Mathematics. In I. Grattan-Guiness ed., Encyclopaedia of the History and Philosophy of Mathematical Sciences. London: Rourledge. 30-45 3 汪晓勤, 韩祥临 (2002). 中学数学中的数学史, 北京: 科学出版社4 汪晓勤等 (2003). HPM视角下的等比数列教学，中学教研（数学）, (7)5 汪晓勤(2006). 几何视角下的等比数列求和公式. 中学数学教
17、学参考, (2),案例 7 椭圆的方程,N. Guisne代数在几何上的应用 (1705年),案例 7 椭圆的方程,圆锥曲线解析(1707),M. de LHospital 1661-1704,案例 7 椭圆的方程,斯蒂尔圆锥曲线论(1745),案例 7 椭圆的方程,赖特（J. M. F. Wright）圆锥曲线之代数体系（1836）,，,案例 7 椭圆的方程,罗宾逊（H. N. Robinson, 1806-1867）圆锥曲线与解析几何 （1862）,案例 7 椭圆的方程,查尔斯戴维斯（C. Davies, 1798-1876）解析几何基础（1867）,，,案例 7 椭圆的方程,查理斯密（C
18、. Smith, 1844-1916）圆锥曲线初论（1890）,，,案例 7 椭圆的方程,References1 Guisne, N. Application de lAlgebre la Geometrie. J. Boudot et J. Quillau, 1705. 71-722 LHospital, M. de. Trait Analytique des Sections Coniques. Paris: Montalant, 1720. 22-253 Robinson, H. N. Conic Sections & Analytical Geometry. New York: Ivi
19、son, Phinney & Co., 1862. 140-1414 Steell, R. A Treatise of Conic Sections. London: St Johns Gate, 1745. 175 Wright, J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections & Other Curves. London: Black & Amstrong, 1836. 94-956 Davies, C. Elements of Analytic Geometry. New York: A. S. Barnes & Co., 1867. 95-
20、967 Smith, C. An Elementary Treatise on Conic Sections. London: Macmillan & Co., 1890. 112-113,案例8 和角公式,托勒密（2世纪）,案例8 和角公式,托勒密（2世纪）,案例8 和角公式,帕普斯（Pappus, 3世纪末）数学汇编,案例8 和角公式,帕普斯（Pappus, 3世纪末）数学汇编,案例8 和角公式,阿布韦发(Abul-Wefa, 940-998),案例8 和角公式,克拉维斯（C. Clavius, 1537-1612）星盘(1593),案例8 和角公式,阿布韦发的启示,案例8 和角公式,阿布
21、韦发的启示,案例8 和角公式,面积变换法之一,案例8 和角公式,面积变换法之二,1,1,数学史与中学数学教学,一座宝藏 一条进路 一缕书香 一种视角 一个领域,2 一条进路,在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理）为什么 是无理数？（不可公度量的发现）为什么 ？（均值不等式）为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）为什么函数 是奇函数？,2 一条进路,为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为什么 ？为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫“象限”？为什么将幂指数称为“对数”？为什么某些
22、函数被称为“奇函数”和“偶函数”？为什么称未知数为“元”？,2 一条进路,为什么要将圆周分成360度？1年360天； 60 进制迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成30等分。,2 一条进路,古希腊天文学家Hypsicles (c. 180 B.C.) 将黄道圆分成360等分托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在天文大成中使用60进小数，将圆周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分为60个小部分（秒），等等。,2 一条进路,2 一条进路,为什么巴比伦人选择60进制（以60为底）？ Theon（4世纪）：60是能被1、2、3、4、5整除 的最小正整数。诺伊格鲍尔（O.
23、Neugebauer, 1899-1990）：可以将度量三 等分。康托：巴比伦人知道一年有 360天；,2 一条进路,60是一年中的月数与行星（金、木、水、火、土）个数的乘积；苏美尔人将等边三角形看作是基本几何图形，而等边三角形内角为60度，因此若将60十等分，则就成为基本的角度单位，圆周含60个角度单位，故巴比伦人选择60为底；人除左手拇指为2节外，另四指各有3节，共12节；分别用右手五指数这12部分，得60。苏美尔文明融合了两种文明，其中一个文明采用12进制，另一文明采用5进制。,2 一条进路,许凯（N. Chuquet, 14451488）算学三部 1 2 4 8 16 32 64 12
24、8 256 512 1048576 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 204对应的数16自乘，等于8对应的256；7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。,2 一条进路,施雷伯（H. Schreyber, 14951525）艺术新作（1521） 0 1 2 3 4 5 16 1 2 4 8 16 32 65536第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。,2 一条进路,斯蒂菲尔（M. Stifel, 148
25、71567）整数算术（1544） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 4 8 16 32 64 128 256 等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法；等差数列中的减法对应于等比数列中的除法；等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方；等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。,2 一条进路,克拉维斯(C. Clavius, 1538-1612)实用算术概论(1583) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的两倍；8乘以256等于11上面的2
26、048，而11等于8和256下面3和8之和。,2 一条进路,纳皮尔（J. Napier, 15501617）,2 一条进路,薛凤祚（?1680）比例对数表(1653),数理精蕴：“对数比例，乃西士若往讷白尔所作。以借数与真数对列成表，故名对数表。其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方。以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。”,数学史与中学数学教学,一座宝藏 一条进路 一缕书香 一种视角 一个领域,3 一缕书香,萨顿 Isis (1913)科学史引论(1927-1947)数学史研究 (1936)科学史研究（19
27、36）科学史与新人文主义（19?）,G. Sarton（1884-1956）,3 一缕书香,萨顿 在科学和人文之间只有一座桥梁，那就是科学史。建造这座桥梁是我们这个时代的主要文化需要。,3 一缕书香,同样，在数学和人文之间也只有一座桥梁，那就是数学史。,3 一缕书香,“人生之意义在于研究日、月、天。” 放弃财产、追求真理、身陷囹圄、铁窗下仍在研究化圆为方问题的古希腊数学家阿那克萨哥拉,Anaxagoras (499B.C.-428B.C.),16世纪法国数学家拉缪斯，少时家贫，祖父是烧炭的，父亲是个卑微的农夫。12岁时，拉缪斯作为一位富家子弟的仆人进入巴黎的Navarre学院，白天伺候主人，黑
28、夜挑灯苦学，9年后竟获硕士学位！他的硕士论文是亚里士多德所说的一切都是错的！,3 一缕书香,Peter Ramus （1515-1572）,3 一缕书香,每天只花4小时睡觉、2小时吃饭休息、18小时学习学习、做研究的16世纪英国数学家约翰第,John Dee（1527 1609）,3 一缕书香,为了研究数学，常常三天三夜不出房门的韦达,F. Vite (1540- 1603),3 一缕书香,吾先正有言：“一物不知，儒者之耻。”今此一家已失传，为其学者，皆暗中摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不吝，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之！呜呼，吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微。必成之。,Matteo
29、Ricci (1552-1610)Seu Kuang-ke (1562-1633),3 一缕书香,在墨水结冰的冬夜，依然勤学不怠的索菲 热尔曼,Sophie Germain（1776-1831）,3 一缕书香,如果你要成为一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必须对一切事情至少都怀疑一次。 笛卡儿方法论,3 一缕书香,华里司 人活着既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快乐给人生的酒杯加点糖。,W. Wallace (1768-1843),3 一缕书香,法布尔:牛顿二项式定理,J. H. Fabre (1823-1915),3 一缕书香,“自任国会议员以来，他学习并几乎精通了几何原本前6卷。
30、他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱几何原本，每次巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。” (1860年总统候选人简介),A. Lincohn (1809-1865),3 一缕书香,托马斯霍布斯 （Thomas Hobbes, 15881679） 40岁时才开始学习 几何。,3 一缕书香,美国著名爵士乐作曲家和演奏家亚提萧（Artie Shaw） 数学学习以某种奇怪的方式给了我所知道的唯一实实在在的安全感，所以我感受到了在我整个生命里从未曾有过的那
31、种精神上的快乐。,数学史与中学数学教学,一座宝藏 一条进路 一缕书香 一种视角 一个领域,4 一种视角,Furinghetti: 将数学史用于数学教学的过程,4 一种视角,设计发生教学法时影考虑的因素：学生的学习（心理学领域）概念的历史（数学史领域）数学教材课程标准,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,例 1 矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（埃及纸草书）例 2 已知矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。例 3 已知矩形面积为60，长比宽多7。长宽之和为17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。 （巴比
32、伦泥版 ）,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,例 4 长为30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？例 5 在例 3 中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。,案例1 一元二次方程的概念,例 6 如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一
33、元二次方程的概念,（展示图片）现在大家看到的是 中世纪欧洲最伟大的一位数学家， 他叫斐波纳契。他在1225年写成 一本书，叫花朵（听起来不 像数学书名）。在该书中，斐波 纳契提出了如下问题,斐波纳契,案例1 一元二次方程的概念,例7、如图2，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底边BC上的高。在AB、AC上各求一点 E、F，在BC上求两点G和H，使AEGHF是等边五边形。,案例1 一元二次方程的概念,在教师的引导下，基于已有的知识和经验，学生从例2、3、5、6、7中分别得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,练
34、习1、两个正方形面积之和为1000。一个正方形边长是另一正方形边长的减去10。求这两个正方形的边长。（巴比伦泥版上的问题） 练习2、在某公园内一块边长为50米的正方形空地上建造一个正方形鱼池，要求水池旁边有供人观赏行走的通道，且水池占地面积为空地面积的60%。请完成你的设计。,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。 1、包含浓郁的历史文化气息，体现数学是人类的一种文化。让学生体会数学的悠久历史，数学与人类文明的密切相关性，数学文化的多元性。 2、教学活动建立在学生已有的知识经验基础之上，在引出新知识的同时也巩固了旧
35、知识（如开平方、轴对称、勾股定理、图形的相似性等）。,案例1 一元二次方程的概念,本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。3、增强学生的应用意识，让学生体会数学与现实生活的联系。4、使学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，感受一元二次方程作为一种数学模型的重要性。5、使学生经历数学知识的形成过程。,案例1 一元二次方程的概念,6、利用背景知识以及古人的问题情境，激发学生的好奇心与学习兴趣，促进自主学习。7、使学生体会到不同数学知识之间的密切联系。8、创造学生的学习动机，为后面一元二次方程解法的教学埋下了伏笔。,案例2 相似三角形的应用,例 1、古塔测高 如图所示，有一座
36、落在平地上的古塔，不知高度，测得影长为11.3米。 现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。求塔高。,案例2 相似三角形的应用,这个例子根据古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得光学中测量物体高度问题改编而成，原型为杭州西湖北岸宝石山上的保俶塔。教师在讲完这个例子后，可向学生介绍泰勒斯测量金字塔高度的故事，让学生明白，历史上人们对相似三角形性质的认识和应用很早，我们今天的方法早在两千五百多年前就以经为泰勒斯所用。真是“太阳底下没有新鲜事”！,案例2 相似三角形的应用,例2、隔河测距 如图所示，在A和B两点之间有一条河。在BA延长线上取
37、一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。测得AC = 5米，CE = 3.3米，AD = 3米。求A、B之间的距离。,案例2 相似三角形的应用,这个问题根据海伦Dioptra中的间接测量问题改编而成。比古塔测高问题稍为复杂一些，因为，根据相似三角形性质所得到的比例中，有两项含有未知数，不能直接求得AB。意大利HPM学者Chung Ip Fung等曾将与上述问题类似的问题与中国刘徽（3世纪）的海岛测高问题同用于教学设计，目的是让学生了解数学文化的多元性。,案例2 相似三角形的应用,例3、校园占地 如图，有一所正方形的学校，西门和北门各开在西、北面围墙的正中间。在北门的正北方30米处有一颗
38、大榕树。一个学生从西门出来，朝正西方走750米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校占地多少？,案例2 相似三角形的应用,这个问题是根据九章算术勾股章中的“邑方”问题改编而成的，原题为：“今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？”本问题比前面两个问题稍难，需通过开方求解。教师告诉学生，中国在汉代就有这类问题，汉代的测量技术已十分高超；中国古代的几何学与测量密切相关。,案例2 相似三角形的应用,例4、勾股定理的推广（分组讨论，合作探究） 我们知道，在直角三角形ABC三边上作三个正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，这就是勾股定理。现
39、在直角三角形ABC三边上任作两两相似的三个三角形BCD、ACE和ABF，如图所示。关于这三个三角形的面积，你能得到什么结论？给出你的证明。,案例2 相似三角形的应用,案例2 相似三角形的应用,这个问题要用到相似三角形的另一个性质，即面积之比等于相似比的平方。事实上，古代巴比伦人已经知道这个性质；而对于毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的，西方数学史家的其中一种推测也是基于这个性质：过直角三角形直角顶点向斜边引高线，得大小三个两两相似的直角三角形，它们的面积之比等于各自斜边平方之比，但两个小直角三角形面积之和等于大直角三角形面积，故它们的斜边平方之和等于大直角三角形斜边的平方。,案例2 相似三角形的应
40、用,例5、爱琴文明的遗迹 古希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 前5世纪）描述了毕 达哥拉斯的故乡、萨莫斯岛上的一条约建于公元前530年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，设计者为工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）。这个隧道后来被人遗忘，直到19世纪末，它才被考古工作者重新发现。20世纪70年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘。隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米。两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合，考古发现，会合处误差极小。当时人们挖隧道所用的标准方法是在挖掘过程中在山的表面向下挖若干通风井，以确定所抵达的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古学家惊讶的是，
41、该隧道挖掘过程中并未使用这一方法！人们不禁要问：欧帕里诺斯到底是用什么方法来确保两个工程队在彼此看不到的情况下沿同一条直线向里挖的？,案例2 相似三角形的应用,在欧帕里诺斯600年后，希腊数学家海伦在一本介绍测量方法的小书Dioptra中给出一种在山两侧的两个已知出口之间挖掘直线隧道的方法，人们相信：这正是欧帕里诺斯当年用过的方法。,案例2 相似三角形的应用,练习题1、如图，过直角顶点C向斜边AB引垂线，D为垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC两两相似。你能利用相似三角形的性质证明勾股定理吗？,案例2 相似三角形的应用,2、解九章算术问题：“今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木
42、末望水岸，入径四寸。问：井深几何？”,案例2 相似三角形的应用,3、在一个勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一个正方形花坛，要求花坛的面积尽量大。请给出你的设计方法。（改编自九章算术勾股章“勾股容方”问题）,案例3 等比数列前 n 项和,上海市杨浦高级中学方耀华老师,等比数列的定义：,等比数列的通项公式：,通项公式的推广：,设等比数列 ，首项 ，公比为 ，,【知识回顾】,【问题】,“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：,借钱第一天，穷人还1分钱；第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的2倍，30天后，互不相欠。,在30天中，第一
43、天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，第三天借给穷人3万元，以后每一天多借给穷人1万元。,能不能答应富人以上的条件?,【问题解析】,穷人还钱总数富人借钱总数 ？,富人借钱总数,穷人还钱总数,小组讨论,班级交流,【问题解析】,穷人还钱总数富人借钱总数 ？,富人借钱总数,穷人还钱总数,【问题解析】,穷人还钱总数富人借钱总数,富人借钱总数,穷人还钱总数,答：不能答应富人的条件。,【问题小结】,求等比数列 前30项和,等比数列前 项和,【公式探究】,设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前,对于一般的等比数列，它的前 项和公式是什么？,项和,【公式探究】,莱因得纸草书（1650B.C.）,【公式探究】,
44、莱因得纸草书（1650B.C.）,【公式探究】,设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前,项和,方程法：,【公式探究】,如果 是等比数列，,几何原本,Euclid(325B.C.265B.C.),【公式探究】,设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前,项和,合比定理：,【公式探究】,设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前,项和,错位相减法：,）,个,构造常数列,【例题举隅】,例 1 两河流域泥版MS 1844（约公元前2050年）上的问题：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？例 2. 求等比数列1，2，4， 第5项到第16项的和。,例 3. 求 的值.,(a 为常数)
45、,一个中心:,两个基本点：,(1) 重要的求和方法：方程法；比例法；错位相 减法；(2) 重要的思想方法：特殊到一般、类比与转化、 分类讨论的思想方法.,等比数列前n项和公式的推导及运用。,【课堂小结】,数学史与中学数学教学,一座宝藏 一条进路 一缕书香 一种视角 一个领域,5 一个领域,1859年，达尔文发表进化论。在此基础上，海克尔提出一个生物发生学定律：“个体发育史重蹈种族发展史”，并将该定律运用于心理学领域，指出“儿童的心理发展不过是种族进化的简短重复而已”。该定律被运用于数学教育，便诞生了历史发生原理。,E. Haeckel (1834-1919),5 一个领域,波利亚(G. Plya, 1887-1985)弗赖登塔尔(H. Freudenthal, 1905-1990) , 庞加莱(H. Poincar, 1854-1912)F克莱因(F. Klein, 1849-1925) ,
