1、第八章：平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算 82 梁内剪应力及剪应力强度计算 83 梁的合理截面及变截面梁 84 梁挠曲线的近似微分方程 85 用积分法求梁的变形 86 用叠加法求梁的变形 87 梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施 88 简单超静定问题,1.梁横截面上的内力剪力、弯矩,2.,10-1 概 述,平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,CD段,AC段和DB段,纯弯曲,横力弯曲,F,平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,3. 研究思路 三个关系(变形几何关系、物理关系、静力学关系),平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,一、
2、纯弯曲粱的正应力公式,1.变形几何关系,相对原来位置转过一角度，仍为直线；,弯成弧线；,上部略有扩展，下部略有收缩。,横线：,纵线：,横截面：,上部纵线缩短，下部纵线伸长。,与弯曲后的纵线正交。,变形现象：,平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,变形后的横截面仍为平面，,假设1,（平面假设）,(单向受力假设),各纵向线间无挤压，,假设2,并与弯曲后的纵向层正交。,每根纵向线处于单向受力状态。,平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,中性层,梁内有一层纵向线既不伸长，也不缩短,中性轴,中性层与横截面的交线,纵向对称面,横截面,纵向对称轴,y,平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,
3、变形几何关系：,取微段梁dx,平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,ab的线应变：,应变分布,横截面上任一点与y成正比,平面弯曲,81 梁内正应力及正应力强度计算,2.物理关系,=E,横截面上各点处与y成正比,单向受力假设,应力分布,应变分布,平面弯曲,3.静力学关系,中性轴过形心,yz为形心主轴,x,空间平行力系,平面弯曲,中性层曲率公式,平面弯曲,正应力公式,b.正应力正负号确定：,可由M与y的符号确定，,也可由弯曲变形情况确定。,a.公式适用条件：,等直梁、线弹性、纯弯曲,平面弯曲,令, z轴为对称轴时：,c.最大正应力：, z轴为非对称轴时:,弯曲截面系数,平面弯曲,二、正应力公
4、式的推广,对于横力弯曲变形，两个假设并不成立。但实验和理论分析表明，当l/h（跨高比）较大（5）时，误差很小，可满足工程的精度要求。,平面弯曲,例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。,解：,1. 求最大弯矩Mmax,平面弯曲,2. 矩形截面,3. 圆形截面,4. 工字形截面,由,得,查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）,平面弯曲,例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。,B、D截面为
5、危险截面,MB=-40kNm,MD=22.5kNm,解：,1.作FQ、M图,A,B,q=20kN/m,4m,C,2m,平面弯曲,B截面：,上部受拉、下部受压,A,B,q=20kN/m,4m,C,2m,D,x,M(kNm),40,22.5,1.5m,平面弯曲,D截面:,上部受压、下部受拉,A,B,q=20kN/m,4m,C,2m,D,x,M(kNm),40,22.5,1.5m,平面弯曲,D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面,两个假设,假设1：剪应力与横截面的侧边平行，与剪力方向一致；,假设2：剪应力沿截面宽度均匀分布。,剪应力与横截面的形状有关,一、矩形截面梁,82 梁内剪应力及剪应
6、力强度计算,1. 剪应力的大小,dM=FQ dx,dx,z,FN2 -FN1 =bdx,= bdx,FN2 -FN1=,= bdx,dM=FQ dx,= bdx,2. 沿梁高的剪应力分布,二次抛物线分布,二、工字型截面梁,1.腹板剪应力,2.翼缘部分剪应力,有铅直剪应力（很小），也有水平剪应力,z,d/2,三、圆形截面梁,中性轴处：,四、薄壁圆环截面梁,中性轴处：,例 如图所示一T形截面。截面上的剪力FQ=50kN，与y轴重合。试求腹板的最大剪应力，并画出腹板上的剪应力分布图。,解：,1.腹板的最大剪应力,2.腹板上剪应力分布,抛物线分布,腹板和翼缘交界处：,等直梁的正应力强度条件为,等直梁的
7、切应力强度条件为,对等直梁，最大弯矩截面和最大剪力截面均为危险截面。,正应力的危险点在最大弯矩截面距离中性轴最远处；剪应力的危险点在最大剪力截面中性轴处。,81 梁内正应力及正应力强度计算,82 梁内剪应力及剪应力强度计算,强度计算:,（1）效核强度,（2）设计截面尺寸,（3）计算梁的容许荷载,通常梁的强度由正应力强度条件控制。,需要校核切应力强度的情况：,（1）梁的最大弯矩较小而最大剪力较大时，例如集中荷载作用在靠近支座处的情况；,（2）焊接或铆接的的组合型薄壁截面（如工字型）钢梁，腹板的厚度较小时；,（3）木梁，由于木材顺纹方向抗剪强度较低，故需校核其顺纹方向的切应力强度。,例 如图所示为
8、一简支木梁及其所受荷载情况。设材料的容许正应力t=c=10MPa,容许切应力=2MPa。梁的截面为矩形，宽度b=80mm，求梁所需的截面高度。,解：,1.按正应力强度条件设计,2.效核梁的切应力强度,满足切应力强度要求,h=194mm,例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。材料容许应力为 t =25MPa， c=50MPa, 效核梁的强度。,A,B,q=20kN/m,4m,C,2m,B、D截面为危险截面,MB=-40kNm,MD=22.5kNm,解：,1.作FQ、M图,B截面：,上部受拉、下部受压,A,B,q=20kN/m,4m,C,2m,D,x,M(kNm),40,22.5,1.5m,2
9、.危险点应力,D截面:,上部受压、下部受拉,A,B,q=20kN/m,4m,C,2m,D,x,M(kNm),40,22.5,1.5m,2.危险点应力,满足正应力强度要求,3.强度校核,平面弯曲,83 梁的合理截面及变截面梁,1.合理选择截面形状，尽量增大Wz值,平面弯曲,工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理,2.根据材料特性选择截面,对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面,平面弯曲,二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值,1. 合理布置梁的支座,平面弯曲,2. 适当增加梁的支座,3. 改善荷载的布置情况,+,三、采用变截面梁,84 梁挠曲线的近似微
10、分方程,挠度：,一、 挠度和转角的概念,w,转角：,梁的轴线上任一点在垂直于梁轴线方向上的线位移。,梁的横截面绕中性轴转过的角度。,挠曲线方程:,w=w(x),转角方程:,=w(x),正负号:,挠度向下为正、向上为负; 转角以顺时针转为正,逆时针转为负。,二、 挠曲线近似微分方程,剪切弯曲梁的曲率公式为,平面曲线的曲率公式为,因此，挠曲线的微分表达式为,84 梁挠曲线的近似微分方程,式中左边的正负号由选取的坐标系和弯矩正负号的规定决定，对下面的坐标系,因此，挠曲线的微分表达式为,在小变形情况下,挠曲线近似微分方程,对于等截面梁：,挠曲线近似微分方程,积分一次：,再积分一次：,C、D为积分常数，
11、由边界条件确定。,85 用积分法求梁的变形,边界条件：,例 一悬臂梁在自由端受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。（梁的抗弯刚度为EIz）,解：,列弯矩方程,故,积分一次,再积分一次,边界条件：,求得积分常数C=0；D=0,故,例 求梁的转角方程和挠度方程，并求A、B两截面转角和最大挠度。（梁的抗弯刚度为EIz）,解：,列弯矩方程,积分一次,再积分一次,边界条件：,D=0,求得积分常数,故,故,由对称性可知，跨中截面处挠度最大（转角为0）：,A截面转角为,B截面转角为,例 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠度。（梁的抗弯刚度为EIz）,解：,再列弯矩方程,先求支座
12、反力,AD段,DB段,故,积分一次,再积分一次,积分常数C1、D1、C2、D2 4个。,边界条件两个：,另外还有两个连续光滑条件：,AD段,DB段,而跨中截面C处挠度,通常，当简支梁在多个荷载作用下，只要没有反方向的荷载，均可用跨中截面C处挠度代替最大挠度wmax。,ab时,wmax发生在AD段,由,AD段,在小变形和线弹性范围内，可用叠加法计算梁的变形。,梁或梁段在多个荷载作用下产生的变形(转角或挠度)等于各个荷载单独作用所产生的变形的代数和。,叠加法计算梁的挠度和转角：首先由积分法提供梁在单个荷载作用下的有关结果，再利用叠加原理计算梁在多个荷载作用下的挠度和转角。,86 用叠加法求梁的变形
13、,例 简支梁所受荷载如图所示。用叠加法求梁中点挠度wC和左端截面的转角A。（设梁的弯曲刚度为EI),解：,先分别求出该简支梁在集中力F和均布荷载q单独作用下梁中点的挠度和左端截面转角。,+,=,解：,先分别求出该简支梁在集中力偶M和集中力F单独作用下C截面的转角和挠度。,1.集中力偶M单独作用,例 悬臂梁受荷载如图所示。用叠加法求C截面的转角C和挠度wC。（设梁的弯曲刚度为EI),2.集中力F单独作用下,但B截面的转角和挠度可查表求得。,C截面的转角和挠度不能直接查表求得，,故，C截面的转角和挠度为,3.集中力偶M和集中力F共同作用下C截面的转角,+,=,+,=,4.集中力偶M和集中力F共同作
14、用下C截面的挠度,例 图示梁为28a号工字钢，用叠加法求自由端的挠度。已知E=200GPa。,解：,梁的刚度条件为:,一、梁的刚度校核,吊车梁若变形过大，行车时会发生较大的振动；传动轴的轴承若转角过大，轴承的滚珠产生不均匀磨损；楼板的横梁若变形过大，会引起开裂。,一般工程构件中，强度起控制作用，在梁的设计中，通常按强度条件设计，校核刚度条件。,87 梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施,例 如图所示一简支梁，受四个集中力作用F1=120kN，F2=30kN，F3=40kN，F4=12kN。该梁的横截面由两个槽钢组成。设钢的容许正应力=170MPa，容许切应力=100MPa，容许挠度w=l/400，
15、弹性模量E=2.1105MPa。试由强度条件和刚度条件选择槽钢型号。,1.找危险截面,2.由正应力强度条件选择截面,3.校核切应力强度,4.校核刚度,解：,1.找危险截面,2.正应力强度条件选择截面,2个20a号槽钢，弯曲截面系数为,可行！,3.校核切应力强度,此时截面已定，20a槽钢的几何性质：,一个20a槽钢：,切应力强度满足,4.校核刚度,用跨中截面挠度作为最大挠度,利用叠加原理,单个荷载作用下跨中截面挠度：,容许挠度：,刚度要求满足！,可选20a槽钢。,w=l/400,1. 选择合理的截面形式,二、提高梁承载能力的措施,对各种不同形状的截面，可用W/A的值来比较它们的合理性。,如圆形、
16、矩形和工字形的W/A分别为0.125h、0.167h和（0.27-0.34）h，故工字形截面最为合理。,87 梁的刚度计算和提高梁的刚度的措施,2. 采用变截面梁,最合理的变截面梁是等强度梁。,鱼腹梁,变截面梁,阶梯形圆轴,3.改善梁的受力状况,不同支座位置的简支梁,加辅梁的简支梁,4.选择强度较高的材料,5.增加梁的支座,3.改善梁的受力状况,88 简单超静定梁,1、超静定的概念2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：(1)解除多余约束，变超静定梁为静定梁；(2)用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程；(3)通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。3、简单超静定梁求
17、解举列。,88 简单超静定梁,超静梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或静不定问题）。,超静次数=未知力的数目- 独立平衡方程数,4个约束反力，,3个平衡方程，,静不定次数=1,1、超静定的概念,88 简单超静定梁,2 、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：,(1) 确定超静定次数。,(2) 选择基本静定梁。,静定梁(基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力及内力。,多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。,多余约束的数目=超静定次数,多余约束的
18、数目=1,88 简单超静定梁,静定梁(基本静定基)选取,(2)解除A端阻止转动的支座反力矩 作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。,(1)解除B支座的约束,以 代替，即选择A端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。,88 简单超静定梁,(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。,基本静定基选取可遵循的原则：,(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；,88 简单超静定梁,3、列出变形协调条件。,比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。,本例： (1),4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。,仅有q作用，B点挠度为：,仅有 作用，B点挠度为：,因此,解得:,5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。,6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。,本例：,
