1、,建筑力学教程,选用教材：建筑力学出 版 社：武汉理工大学出版社,第一章 绪 论,建筑力学是将力学原理应用于有实际意义的建筑工程系统的科学。机械、机构、结构如何受力，如何运动，如何变形，如何破坏？机构可承受多大载荷，需多大尺寸，是否安全？工程师们需要制定合理的设计规则、规范、手册，使机械、机构、结构等按设计要求实现运动、承受载荷，控制它们不发生影响使用功能的变形，更不能发生破坏。,一、 建筑力学的任务 研究和分析作用在结构（或构件）上力与平衡的关系，结构（或构件）有内力、应力、变形的计算方法以及构件的强度、刚度和稳定条件，为保证结构（或构件）安全可靠又经济合理提供计算理论依据。建筑力学的主要任
2、务归纳为以下几个方面的内容,力系的简化和平衡问题强度问题刚度问题稳定问题研究几何组成规则，保证结构各部分不至发生相对运动,二、 建筑力学的研究对象 结构：是建筑物或构筑物中承受外部作用的骨架。 构件：是组成结构的基本部件。,结构建筑物中承受荷载并起骨架作用的部分。构件组成结构的单个部件。,按照几何特征，构件可分为杆件、板壳和实体(图)。杆件的几何特征为长条形，长度远大于其他两个尺度(横截面的长度和宽度)。板壳的厚度远小于其他两个尺度(长度和宽度)，板的几何特征为平面形，壳的几何特征为曲面形。实体的几何特征为块状，长、宽、高三个尺度大体相近，内部大多为实体。杆件按照一定的方式连接，形成杆件结构。
3、,杆件体系必须按一定的规律组成，才能保持稳定的骨架而承受各种外部作用。不同结构形式在承受相同的外部作用时，某种结构形式就可能比另一种结构形式合理。在结构分析中，须把实际的结构及其承受的作用简化为计算模型，这样的模型称为结构的计算简图。,建筑力学的研究对象是结构。,结构必须具备可靠、适用、耐久的功能。强度：在使用期内，务必使结构和构件安全可靠，不发生破坏，具有足够的承载能力。结构和构件抵抗破坏的能力称为强度。刚度：在使用期内，务必使结构和构件不发生影响正常使用的变形。结构或构件抵抗变形的能力称为刚度。稳定性：在使用期内，务必使结构和构件平衡形态保持稳定。稳定性是结构或构件保持原有平衡形态的能力。
4、,三、建筑力学研究方法,四、建筑力学学习的意义1、在施工中理解结构设计图纸的意图与要求，保证工程质量，避免发生工程事故。2.合理、经济的完成施工中的一些力学问题。3.保证工程的改进措施施行。,五、 力学的分支学：理论力学、材料力学、结构力学、板壳力学、弹性力学、弹塑性力学、塑性力学、断裂力学、流体力学、复合材料力学、实验力学、计算力学、量子力学等。作为高等教育的一门课程， “建筑力学”的内容只是力学中最基本的应用广泛的部分。它将静力学、材料力学、结构力学三门课程的主要内容贯通融合成为一体。,六、学习方法与要求,学习方法：积极参与教学过程，注重理解所学内容独立、认真思考，注意分析各章节学习内容之
5、间的内在关系侧重利用已经研究、总结出的公式与结论，解决实际问题，主动训练独立分析与解决问题的能力认真、及时完成课外作业充分使用电脑资源，在学习基本内容的同时，根据自己的爱好和特长，进一步广泛深入地研究工程力学相关的其它问题,学习方法与要求,学习要求：不可迟到、早退、旷课上课不允许睡觉、做与本课程无关的事、说与上课无关的话积极参与教学过程，认真完成课堂练习按教师要求及时、独立完成课后作业上课带教材、课堂笔记本、练习本、画图工具、计算器,第一章 静力学基础,本章主要研究力的概念、刚体的概念、静力学的四个公理、约束与约束反力、受力图的画法。,本章提要,本 章 内 容,1.1 力的概念1.2 刚体的概
6、念1.3 静力学公理1.4 约束与约束反力1.5 受力图,1.1 力的概念,力的概念是人们在长期的生产劳动和日常生活中逐步建立起来的。 力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生改变。 力使物体运动状态发生改变，称为力的外效应。而力使物体形状发生改变，称为力的内效应。在分析物体受力情况时，必须分清哪个是受力物体，哪个是施力物体。,1.1.1 力的定义,实践证明，力对物体的作用效应决定于三个要素：(1) 力的大小；(2) 力的方向；(3) 力的作用点。这三个要素称为力的三要素。力的大小是指物体间相互作用的强弱程度。 力的方向包含方位和指向两个含义。 力的作用点是指力对物体作用
7、的位置。 作用于一点的力，称为集中力。 在力的三要素中，当其中任一要素发生改变时，力对物体的作用效应也随之改变。 ,1.1.2 力的三要素,力是一个具有大小和方向的量，所以力是矢量。图示时，通常用一条带箭头的有向线段来表示。线段的长度(按选定的比例尺)表示力的大小；线段的方位和箭头的指向表示力的方向；线段的起点或终点表示力的作用点。通过力的作用点沿力的方向的直线，称为力的作用线。如图1.1所示。,1.1.3 力的图示法,图1.1,1.2 刚体及平衡的概念,一、刚体的概念在静力学中，把所研究的物体都看做是刚体。所谓刚体是指在力的作用下，大小和形状保持不变的物体.它是力学中的一个科学抽象概念，即理
8、想模型。事实上任何物体受到外力，不可能不改变形状。实际物体都不是真正的刚体。若物体本身的变化不影响整个运动过程，为使被研究的问题简化，可将该物体当作刚体来处理而忽略物体的体积和形状，这样所得结果仍与实际情况相当符合 。质点:当一个物体有质量，并且形状，大小对于所研究的问题可以忽略，那么就可以把它看作是质点（有质量的点）。,二、平衡的概念,平衡 是指物体在力作用下相对于惯性参考系处于静止 或作匀速直线平动的状态。,平衡力系：作用在物体上正好使之保持平衡的力系。,若（ F1，F2，Fn ）使物体平衡，则称为平衡力系。,平衡条件！,等效力系的概念,合力,平衡力系,使同一个刚体产生相同作用效应的力系。
9、,如果某力系与一个力等效，则这一力称为力系的合力。,作用于刚体，并使刚体保持平衡的力系。,（零力系）,1.3 力系的概念,作用在物体的力的集合。,a=0,平面力系的分类(图1-2所示),平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系 平面一般力系,图1-2 平面力系的分类,1.3 静力学公理,作用在刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反、作用线相同(简称这两个力等值、反向、共线)。一个物体只受两个力作用而平衡时，这两个力一定要满足二力平衡公理。例如，拉杆AB的两端分别受到FA和FB的作用(图1.2)。又如在起重机上挂一重物(图1.3(a)，重物受到绳索拉力T和
10、重力W的作用(图1.3(b)，这两个力方向相反、作用在同一铅垂线上。,1.3.1 二力平衡公理,必须注意，对于变形体来说，二力平衡公理是不成立的。两个力等值、反向、共线的条件只能是二力平衡的必要条件而不是充分条件。例如，绳索的两端受到等值、反向、共线的两个拉力作用时处于平衡状态(图1.4(a)，但如受到等值、反向、共线的两个压力作用时，就不能平衡了(图1.4(b)。在两个力作用下并处于平衡状态的物体称为二力体，如果该物体是个杆件，也可称二力杆。二力体(杆)上的两个力的作用线必为这两个力作用点的连线。例如，图1.5所示的杆件AB。,图1.2,图1.3,图1.4,图1.5,在作用于刚体上的任意力系
11、中，加上或去掉任何一个平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。推论力的可传性原理作用在刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。证明：设力F作用在刚体的A点，如图1.6所示。在实践中，经验也告诉我们，在水平道路上用水平力F推车(图1.7(a)或沿同一直线拉车(图1.7(b)，两者对车(视为刚体)的作用效应相同。,1.3.2 加减平衡力系公理,由力的可传性原理可知，对刚体而言，力的作用点已不是决定其效应的要素之一，而是由作用线取代。因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线。例如，直杆AB的两端分别受到两个等值、反向、共线的力F1、F2作用而处于平衡
12、状态(图1.8(a)。如果将这两个力沿其作用线分别移到杆的另一端(图1.8(b)，显然，直杆AB仍处于平衡状态。,图1.6,图1.7,图1.8,作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用于该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。 如图1.9所示，F1、F2为作用于物体上A点的两个力，按比例尺以这两个力为邻边作出平行四边形ABCD，则从A点作出的对角线表示的矢量AC，就是F1与F2的合力R。分力F1、F2合成为合力R可用下列矢量等式来表示：R=F1+F2,1.3.3 力的平行四边形公理,下面考虑几种常见的特殊情况：(1) =0，即力F1与F2方向相
13、同。(2) =180，即力F1与F2方向相反。此时合力R的方向与分力中较大的一个力的方向相同，其大小为R=F1-F2或R=F2-F1。(3) =90，即力F1与F2相互垂直(图1.10)。此时所作的平行四边形成为矩形。合力的大小为：R=F12+F22,如图1.11(a)所示，力F既可以分解为力F1和F2，也可以分解为F3和F4等等。 推论三力平衡汇交定理当刚体受到共面而又互不平行的三个力作用而平衡时，则此三个力的作用线必汇交于一点。证明：设有共面而又互不平行的三个力F1、F2、F3分别作用在一刚体上的A1、A2、A3三点而成平衡，如图1.12(a)所示。,图1.9,图1.10,图1.11,刚体
14、受不平行的三力作用而平衡时，此三力作用线必共面且汇交于一点。,三力平衡汇交定理,证：F1，F2，F3 是不平行的三个相互平衡的力,将力F1，F2移到其汇交点o,力 F3 应与 FR12 平衡,F3与 FR12共线,得合力FR12,图1.12,两个物体间的作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，并分别作用在这两个物体上。这个公理概括了两个物体间相互作用力的关系，表明了作用力和反作用力总是成对出现的。例如，图1.13(a)所示。这里应注意二力平衡公理和作用与反作用公理的区别。前者是叙述了作用在同一物体上两个力的平衡条件，后者是描述两物体间的相互作用关系。例如，图1.13(b)中的W与
15、T、T与T 、T1与T2。,1.3.4 作用与反作用公理,作用力和反作用力是力学中普遍存在的一对矛盾。它们相互对立，相互依存，同时存在，同时消失。通过作用与反作用，相互关联的物体的受力即可联系起来。,图1.13,1.4 约束与约束反力,在工程结构中，每一构件都根据工作要求以一定的方式和周围的其他构件相互联系着，它的运动因而受到一定的限制。一个物体的运动受到周围物体的限制时，这些周围物体称为该物体的约束。 约束给被约束物体的力，称为约束反力，简称反力。约束反力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。,1.4.1 约束与约束反力的概念,在物体上，除约束反力以外的力，即能主动引起物体运动或使物体产生
16、运动趋势的力，称为主动力。例如，重力、风力、水压力、土压力等都是主动力。主动力在工程中也称为荷载。,（1） 柔体约束柔体约束的约束反力通过接触点，其方向沿着柔体约束的中心线且背离物体(为拉力)。这种约束反力通常用T表示(图1.14)。,1.4.2 几种常见的约束类型,（2） 光滑接触面约束两个相互接触的物体，如果接触面上的摩擦力很小而略去不计，那么由这种接触面所构成的约束，称为光滑接触面约束。光滑接触面的约束反力通过接触点，其方向沿着接触面的公法线且指向物体。通常用N表示(图1.15)。,（3） 圆柱铰链约束圆柱铰链简称铰链，它是由一个圆柱形销钉插入两个物体的圆孔中而构成(图1.16(a)、(
17、b)），并假设销钉与圆孔的表面都是完全光滑的。圆柱铰链的计算简图如图1.16(c)或(d)所示。圆柱铰链的约束反力在垂直于销钉轴线的平面内，通过销钉中心，而方向未定。在对物体进行受力分析时，通常把圆柱铰链的约束反力用两个相互垂直的分力Rx和Ry来表示(图1.16(f)。,（4） 固定铰支座工程上常用一种叫做支座的部件，将一个构件支承于基础或另一静止的构件上。如将构件用光滑的圆柱形销钉与固定支座连接，则该支座称为固定铰支座(图1.17(a)。固定铰支座的计算简图如图1.17(b)或(c)所示。 由固定铰支座的构造形式可知，它的约束性能与圆柱铰链相同，所以固定铰支座的约束反力与圆柱铰链的反力相同，
18、如图1.17(d)所示。,（5） 可动铰支座如果在固定铰支座与支承面之间加装辊轴，则该支座称为可动铰支座(图1.18(a)。可动铰支座的计算简图如图1.18(b)或(c)所示。可动铰支座的约束反力通过销钉中心，垂直于支承面，指向未定，如图1.18(d)所示。图中RA的指向是假设的。 ,（6） 链杆两端用光滑销钉与其他物体连接而中间不受力的直杆，称为链杆。图1.19(a)中的杆件AB即为链杆，它的计算简图如图1.19(b)所示。链杆的约束反力沿着链杆中心线，指向未定，如图1.19(c)所示。图中RA的指向是假设的。,7.固定端支座 如果构件或结构的一端牢牢地插入到支承物里面，就形成固定端支座，如
19、图1-16(a)所示。约束的特点是连接处有很大的刚性，不允许被约束物体与约束物体之间发生任何相对的移动和转动，约束反力一般用三个反力分量来表示，两个相互垂直的分力FAx（XA）、FAy（YA）和反力偶MA，如图1-16(b)所示，力学计算简图可用图1-16(c)表示。,1.5 受力图,在研究物体的平衡问题时，首先要对物体进行受力分析，即分析物体受到哪些力的作用。 这种从周围物体中单独分离出来的研究对象，称为分离体。在分离体上画出它所受到的全部主动力和约束反力，这样所得到的图形，称为受力图。,1.5.1 受力图的概念,画单个物体的受力图，首先要明确研究对象，并解除研究对象所受到的全部约束而单独画
20、出它的简图，即取出分离体。然后在分离体上画出主动力及根据约束类型在解除约束处画出相应的约束反力。,1.5.2 单个物体的受力图,56,画受力图的方法与步骤：1、取隔离体（研究对象）2、画出研究对象所受的全部主动力（使物体产生 运动或运动趋势的力）3、在存在约束的地方， 反力按约束类型逐一画出约束,【例1.1】匀质小球重W，用绳索系住，并靠在光滑的斜面上，如图1.21(a)所示，试画出小球的受力图。,图1.21,【例1.2】简支梁AB的A端为固定铰支座，B端为可动铰支座，梁在中点C受到主动力P的作用，如图1.22(a)所示。梁的自重不计，试画出梁AB的受力图。,图1.22,【例1.3】试画出图1
21、.23(a)及图1.23(c)中杆AB的受力图。杆的自重不计。在图1.23(a)中，C处是光滑接触面。,图1.23,在工程中，常常遇到由几个物体通过一定的约束联系在一起的系统，这种系统称为物体系统，简称为物系。对物体系统进行受力分析时，把作用在物体系统上的力分为外力和内力。所谓外力是指物系以外的物体作用在物系上的力；所谓内力是指物系内各物体之间的相互作用力。 画物体系统的受力图的方法，基本上与画单个物体受力图的方法相同，只是研究对象可能是整个物体系统；也可是整个物体系统中的某部分或某一物体。,1.5.3 物体系统的受力图,【例1.4】图1.24(a)所示为一组合梁。梁受主动力P的作用。C处为铰
22、链连接，A处是固定铰支座，B和D处都是可动铰支座。若不计梁的自重，试画出梁AC、CD及整个梁AD的受力图。,图1.24,【例1.5】三铰拱ACB如图1.25(a)所示。C处为铰链连接，A和B处都是固定铰支座。在拱AC上作用有荷载P。若不计拱的自重，试画出拱AC、BC及整体的受力图。,图1.25,63,画出重物和AB杆的受力图,例1.6,64,例1.7 重量为FW 的小球放置在光滑的斜面上，并用绳子拉住，画出此球的受力图。,【解】以小球为研究对象，解除小球的约束，画出分离体，小球受重力(主动力)FW，并画出，同时小球受到绳子的约束反力（拉力）FTA和斜面的约束反力（支持力）FNB。,65,【解】
23、取梁为研究对象，解除约束，画出分离体，画主动力F；A端为固定铰支座，用水平和竖直的两个未知力FAx和FAy表示；B端为移动铰支座，它的约束反力用FB表示，但指向可任意假设。,例1.8 水平梁AB受已知力F作用，A端为固定铰支座，B端为移动铰支座，梁的自重不计，画出梁AB的受力图。,通过以上各例的分析，现将画受力图时应注意的几点归纳如下：（1） 明确研究对象（2） 约束反力与约束类型相对应（3） 注意作用与反作用关系（4） 只画外力，不画内力 （5） 不要多画也不要漏画任何一个力；同一约束反力，它的方向在各受力图中必须一致。,67,画受力图应注意的问题,除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有
24、相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。,2、不要多画力,要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。,1、不要漏画力,68,约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。,即受力图一定要画在隔离体上。,69,一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就
25、成为新研究对象的外力。,对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。,5、受力图上只画外力，不画内力。,6 、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能相互矛盾。,7 、正确判断二力构件。,物体的受力分析和受力图练习,例1-1,解,取分离体,画出主动力,画出约束力,例 1-2,水平均质梁AB重为P1，电动机重为P2，不计杆CD的自重，画出杆CD和梁AB的受力图。,解：分别画出杆CD和梁AB的受力图,例1-3,不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱AC、BC的受力图,解： 作AC、BC的受力图,例1-4,不计自重的梯子放在光滑水平地面上，
26、画出梯子、梯子左右两部分与整个系统受力图,解：AB和AC部分的受力图,梯子整体受力图,79,1.5结构的计算简图,计算简图是实际结构的简化模型。,选用原则要能反映实际结构的主要受力特性；同时又要便于分析和计算。,杆件及杆与杆之间的连接构造的简化（节点的简化）,支座的简化,荷载的简化,80,活动铰支座（滚轴支座）,建筑结构的支座通常分为固定铰支座，活动铰支座，固定(端)支座和定向支座四类。,81,固定铰支座,82,固定端支座,平面结构的支座及反力,83,定向支座：将杆件用两根相邻的等长、平行链杆与地面相连接的支座。,M,FN,定向支座,84,结构中杆件的交点称为节点,结构计算简图中的节点有：铰节
27、点、刚节点、组 合节点等三种。,85,组合结点 如果结点上的一些杆件用铰链连接，另一些杆件刚性连接，这种结点称为组合结点。,86,荷载 狭义荷载： 力 广义荷载：能使结构产生内力或变形的原因温度变化、支座沉陷、制造误差、材料收缩、松弛、徐变、初应力、初应变等,87,根据荷载作用的性质静力荷载：大小、方向、位置不随时间变化或变化 使结构产生的加速度很小，惯性力的影 响可忽略,动力荷载：随时间迅速变化，短时间内突然作用或消失,根据荷载作用的时间 恒载 指长期作用在结构上的不变荷载 活载 在建筑施工和使用期间可能存在的可变荷载,根据荷载的分布情况 分布荷载 满布在结构某一表面荷载 集中荷载 集中作用
28、与结构一点的荷载,88,分布荷载 的合力计算 分布荷载的合力作用在分布区域的中心，指向不变，其大小等于分布集度 的大小q乘以分布范围。,综合练习,一、是非题,1. 一物体在两个力的作用下，平衡的充分必要条件是这两个力等值、反向、共线。,2. 若作用在刚体上的三个力的作用线汇交于一点，则该刚体必处于平衡状态。,3. 凡是受到二个力作用的刚体都是二力构件。,4. 合力一定比分力大。,5. 约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束的物体运动方向一致的。,（ 26 ）,第二章 平 面 力 系,本章主要研究力的投影和力对点之矩的计算、合力投影定理、合力矩定理、各种平面力系的平衡方程及应用。,本章提要,所谓
29、平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力系(图2.1)；若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系(图2.2)；若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系(图2.3)。研究力系的合成与平衡问题通常有两种方法，即几何法和解析法。,图2.1,图2.2,图2.3,本 章 内 容,2.1 平面汇交力系2.2 力矩和平面力偶系2.3 平面一般力系2.4 平面平行力系的平衡方程2.5 物体系统的平衡2.6 考虑摩擦时物体的平衡,2.1、平面汇交力系的简化(合成),平面汇交力系的简化有两种方法：1、几何法 2、解析法,一、合
30、成的几何法,1.两个共点力(汇交力)的合成:,简化的理论依据是力的平行四边形法则或三角形法则，将各力逐一相加，可得到从第一个力到最后一个力首尾相接的多边形，多边形的封闭边即为该汇交力系的合力。,2.1.1、汇交力系简化的几何法,1.两个共点力的合成,合力方向由正弦定理：(在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等),合力大小由余弦定理：, 力多边形法则,汇交力系可简化为一个作用于汇交点的合力，将n个力矢依次首尾相连，连接第1个力矢的始点到第n 个力矢的终点所形成的力矢为n个力的合力。,汇交力系可简化为一个作用于汇交点的合力，合力力矢由力多边形的封闭边表示。,（矢量和）,2. 多个任意个共点力
31、的合成-力多边形规则,注意：用力的多边形求汇交力系的合力时，合力的指向是从第一个力的起点（箭尾）指向最后一力的终点（箭头）,2.1.2、汇交力系平衡的几何条件,汇交力系平衡的充分与必要条件是力系的合力等于零。,汇交力系平衡的几何条件表示为几何形式是最后一个力的终点与第一个力的始点重合，即力的多边形是封闭的。,例：固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知F1 = 3kN，F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。,解：三力构成平面汇交力系，按比例作出三力首尾相连，连接第一个力矢的首端到第三个力矢的尾端得三力的合力矢,量得合力矢的大小为FR= 8.3kN ，与水平线偏角=3.5o,通过以
32、上例题,可总结几何法解题的主要步骤如下:(1)选取研究对象。根据题意,选取适当的平衡物体作为研究对象 (2)画受力图。在研究对象上,画出它所受的全部已知力和未知力(包括约束力)。(3)作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺,作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意,作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点,就可以确定未知力的指向。(4)求出未知量。按比例确定未知量,或者用三角公式计算出来。,几何法解题不足： 精度不够，误差大； 作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。,下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法解析法。,2.1 汇交力系简化与平衡的解析法,2.1.1、
33、汇交力系简化的解析法,1. 力在轴上的投影, 力在坐标轴上的投影是代数量，与投影轴的正向一致时为正，反之为负。, ：力与投影轴正向的夹角。, 力在任意平行轴上的投影相同。,注：力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：(1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。(2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。,表2.1力的方向与其投影的正负号,2. 力在平面上的投影, 力在平面上的投影是矢量。, ：力与投影平面的夹角。,3. 力在空间直角坐标轴上的投影,1、 一次投影法,2、二次投影法,4. 三个力的解析表示式,力F 的大小,力F 的方向,各分力与力在相应坐标轴上投影的关系,
34、5. 多个力汇交简化的解析法,合力FR 的大小,合力FR 的方向,汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力等于零。,二、汇交力系平衡的解析条件,空间汇交力系平衡的充分与必要条件是力系中所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和分别等于零。,例：固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知F1 = 3kN，F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。,解: 建立坐标系如图所示，三个力在坐标轴上的投影分别为,合力FR 在坐标轴上的投影为,合力FR 的大小,合力FR 的方向,例：边长为a 的直角弯杆ABC 的A 端与固定铰链联结，C 端与杆CD 用销钉联结，杆CD 与水平线的夹角为60o ，不计杆自重，
35、沿BC 方向作用已知力F = 60N。试求A、C 两点的约束力。,解: 以直角弯杆ABC 为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,力FA解出结果为负表示什么？,以直角弯杆ABC 为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,例：墙角处的吊挂由两端铰接的杆OA、OB 和软绳OC 构成。二杆分别垂直墙面，由绳OC维持在水平面内。节点O 处悬吊重物，重量P = 10kN。已知OA = 30cm ，OB = 40cm ，绳OC 与水平面夹角为30o 。不计杆自重，试求绳的拉力和二杆所受的力。,解: 以节点O 为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立平衡方程,由几何关系可得
36、,解得：,例：简易压榨机由两端铰接的杆AB 、BC和压板D 组成，各构件自重不计。已知AB = BC ，杆的倾角为 ，B 点作用有铅垂压力 F ，求水平压榨力F1 。,解:以节点B 为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立平衡方程,解得：,解得：,以压板D 为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立平衡方程,由题可得,利用平衡方程解析法求解未知力的步骤：,选取研究对象，画受力图建立直角坐标系列平衡方程并求解,平面汇交力系合成与平衡解析法,1.一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3.投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未
37、知数。,2.一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。对力的方向判定不准的，一般用解析法。,4.解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。,例1：如图，已知G100N，求斜面和绳子的约束力,解：,取小球为研究对象，画受力图并建立坐标系如图a）；,列平衡方程：,若坐标系如图b)建立，平衡方程如何写？,解：1） 取滑轮B 轴销作为研究对象。,2） 画出受力图（b)。,例 2 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B 图(a)
38、。不计铰车的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。,3） 列出平衡方程：,4） 联立求解，得,反力SBC为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆BC实际上受压力。,2.2 平面力偶系,试观察用扳手拧螺母的情形，力F使扳手连同螺母绕螺母中心O转动。用钉锤拔钉子也具有类似的性质。,2.2.1 力对点之矩,一、平面内力对作用力平面内点之矩,力对刚体产生绕点转动效应的度量称为力对点之矩。,平面中力对点之矩的正负：力使刚体绕点逆时针转为正，顺时针转为负。,矩心,力臂,矩作用平面,力矩的单位：N.M或KN.M,=2SOAB,由力矩的定义可知：（1） 当力的大小等于0，或力的作用线通过矩心(力臂d=0
39、)时，力矩为0。（2） 力对某一点之矩不因力沿其作用线任意移动而改变。,【例1】如图所示，P1=200N、P2=100N、P3=300N。试求各力对O点的力矩。【解】由公式得mO(P1)=P1d1=2001Nm=200NmmO(P2) =-P2d2=-1002sin30Nm=-100Nm因为力P3的作用线通过矩心O，即有d3=0，故mO(P3)=3000=0,平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。这就是平面汇交力系的合力矩定理。,2.2.2 合力矩定理,【例2】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm,BD=15cm,F=100N,=30,试分别根据
40、力矩的定义和合力矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。【解】（1） 根据力矩定义计算，由式(2.6)得mA(F)=-FdA=-FADsin=-22.5NmmB(F) =-FdB=-FBDsin=-7.5NmmC(F)=-FdC=-F(CE+EH) 因为CE=AE2+AC2EH=EDsin=(AD-AE)sin而AE=ACtan=0.3tan30m=0.173m所以CE=0.346m,EH=（0.45-0.173)sin30m=0.139m故mC(F)=-100(0.346+0.139)Nm=-48.5Nm(2) 根据合力矩定理计算将力F分解为水平力Fx和铅垂力Fy，如图中所示。且
41、Fx=Fcos,Fy=Fsin由式（2.8）得mA(F) =mA(Fx)+mA(Fy)=0-FyAD=-FsinAD=-22.5NmmB(F)=mB(Fx)+mB(Fy)=0-FyBD=-FsinBD=-7.5NmmC(F)=mC(Fx)+mC(Fy)=-FxAC-FyAD=-48.5Nm,(1) 力偶和力偶矩在实践中，我们有时可见到两个大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的力作用于物体的情形。例如，钳工用丝锥攻螺纹（图2.18）就是这样加力的。力学中，将这种大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的两个力组成的力系，称为力偶，用符号（F，F）表示。力偶中两力作用线间的垂直距离d（图2.19）
42、，称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。,2.2.3 力偶及其基本性质,图2.18,图2.19,(2) 力偶矩在力学中用力的大小F与力偶臂d的乘积Fd加上正号或负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，该物理量称为力偶矩，并用符号m（F，F）或m表示，即m(F,F)=m=Fd 力偶使物体作逆时针方向转动为正，反之为负,（3） 力偶的基本性质 力偶在任一轴上的投影等于零。设在物体上作用一力偶（F,F），其中F，F与任一轴x所夹的角为，如图2.20所示。由图可得Fx=Fcos-Fcos=0由此可知，力偶在任一轴上的投影等于零。, 力偶对其作用面内任一点之矩，恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。设在
43、物体上作用一力偶（F，F)，其力偶臂为d,如图2.21所示。在力偶作用面内任取一点O为矩心，以mO（F，F）表示力偶对O点之矩，则mO(F,F)=mO(F)+mO(F)=F(x+d)-Fx=Fd=m以上结果表明：力偶对其作用面内任一点的矩，恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。, 力偶无合力力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的，它不能与一个力等效。若力偶与一个力等效，则它对物体的作用效应与该力相同。但是，一个力可使物体产生移动（图2.22（a)或同时产生转动(图2.22(b)）。而力偶只能使物体产生转动（图2.22(c)。因此力偶不可能与一个力等效，故力偶无合力。, 在同一平面内的两个力偶
44、，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。这一性质称为力偶的等效性。力偶的等效性可以直接由经验证实，例如，司机使汽车转弯时用双手转动方向盘(图2.23)，不管施加的力偶是（F1，F1）或是(F2，F2),只要力的大小不变，它们的力偶矩就相等，因而转动方向盘的效应就相同。,根据力偶的等效性，可以得出两个推论：推论1 只要保持力偶矩不变 ,力偶可以在其作用面内任意移动而不改变它对物体的转动效应。即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。推论2只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中的力和力偶臂的大小，而不改变它对物体的转动效应。 力偶在其作用面内除可用两个力表示外，通常
45、还可用一带箭头的弧线来表示，如图2.25所示。,作用在物体同一平面内的两个或两个以上的力偶，称为平面力偶系。 (1) 平面力偶系的合成设在物体的同一平面内作用有两个力偶（F1，F1）和（F2，F2），它们的力偶臂分别为d1和d2，如图2.26(a)所示。这两个力偶的力偶矩分别为m1=F1d1,m2=-F2d2在保持力偶矩不变的条件下，同时改变这两个力偶中的力和力偶臂的大小，使它们具有相同的力偶臂d，而后将这两个同臂力偶在作用面内作适当移转，使力的作用线两两重合，如图2.26(b)所示。,2.2.4 平面力偶系的合成与平衡,经过变换的两个力偶中的力P1和P2的大小可由下式确定：P1=m1/d,P
46、2=|m2|/d同理，作用在B点的两个力P1和P2也可以合成为一合力R。设P1P2，则合力R与R的大小分别为R=P1-P2，R=P1-P2若用M表示该合力偶的力偶矩，则有M=Rd=(P1-P2)d=P1d-P2d=m1+m2,将上述结果推广到由任意个力偶组成的平面力偶系，则有M=m1+m2+mn=m于是可得到如下结论： 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。,【例2.9】一物体在某平面内受到三个力偶的作用，如图2.27所示。已知P1=P1=200N，P2=P2=600N,P3=P3=400N，试求其合力偶。【解】用m1、m2、m3分别表示力偶（P1，P1)、 (P2，P2)、（P3，P3)的力偶矩，则 m1=-P11=-2001Nm=-200Nmm2=-P20.25/sin30=-300Nmm3=P30.25=100Nm由公式得合力偶矩为M=m=m1+m2+m3=-400Nm,（2） 平面力偶系的平衡平面力偶系合成的结果是一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态；反之，当合力偶矩不等于零时，则物体必有转动效应而不平衡。所以，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。用公式表示为m=0上式称为平面力偶系的平衡方程。,
