1、第 1 页 共 21 页平面向量基本定理教学目标1了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量(重点)2掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点)3两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点)基础初探教材整理 1 平面向量基本定理阅读教材 P93至 P94第六行以上内容，完成下列问题1定理：如果 e1，e 2 是同一平面内的两个 不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使a 1e1 2e22基底：不共线的向量 e1，e 2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可
2、作为表示该平面内所有向量的基底( )(2)若 e1，e 2 是同一平面内两个不共线向量，则1e1 2e2(1， 2 为实数 )可以表示该平面内所有向量 ( )(3)若 ae1 be2c e1de 2(a，b，c，dR)，则 ac ，bd.( )解：(1) 错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底第 2 页 共 21 页(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e1，e 2线性表示(3)错误当 e1与 e2共线时，结论不一定成立【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 两向量的夹角与垂直阅读教材 P94第六行以下至例 1 内容，完成下列问题1
3、.夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b，则OA OB AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图 2 31 所示) 图 231(1)范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是 0 180(2)当 0时，a 与 b 同向；当 180时，a 与 b 反向2垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab如图 232，在ABC 中， ， 的夹角与 ， 的夹角的关AC AB CA AB 系为_图 232解：根据向量夹角定义可知向量 ， 夹角为 BAC，而向量AB AC 第 3 页 共 21 页， 夹角为 BAC 故二者互补CA AB 【答案】 互补小组合作型用基底表
4、示向量(1)已知 AD 是ABC 的 BC 边上的中线，若a， b，则 ( )AB AC AD A (ab) B (ab)12 12C (ab) D (ab)12 12(2)如图 2 33，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若a， b，则 _， _.(用 a，b 表示)OA OB OP OQ 图 233用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则解： (1) 如图所示，因为 2 ，AE AB AC AD 第 4 页 共 21 页所以 (ab)AD 12(2) OP AP AO 13AB OA ( )13OB OA OA a b，23OA 13OB 23 13
5、( )OQ AQ AO 23AB OA 23OB OA OA a b.13OA 23OB 13 23【答案】 (1)D (2) a b a b23 13 13 23平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量再练一题1已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若 a， b 用 a，b 表示 ， ， .AB AC
6、AD AE AF 第 5 页 共 21 页图 234【解】 AD AB BD AB 12BC a (ba) a b；12 12 12 (ba) a b；AE AB BE AB 13 23 13 a (ba) a b.AF AB BF AB 23BC 23 13 23向量的夹角问题(1)(2016 韶关高一检测 )已知向量 a，b，c 满足|a|1，|b|2，ca b，c a，则 a，b 的夹角等于_(2)若 a 0， b0，且|a|b|a b| ，求 a 与 ab 的夹角可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决解：(1) 作 a， b，则 cab (如图所示)，BC CA BA 则
7、a，b 夹角为 180 C 因为|a|1，|b|2，ca，所以C60，所以 a，b 的夹角为 120.【答案】 120第 6 页 共 21 页(2)由向量运算的几何意义知 ab，ab 是以 a、b 为邻边的平行四边形两条对角线如图，| a|b|ab|，BOA60.又 ab，且在菱形 OACB 中，对角线 OC 平分BOA，OC a 与 ab 的夹角是 30.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出再练一题2已知
8、|a| | b|2，且 a 与 b 的夹角为 60，则 ab 与 a 的夹角是_，ab 与 a 的夹角是_. 解：如图所示，作 a， b，则AOB 60，以 OA，OB 为邻边作OA OB OACB，则第 7 页 共 21 页 ab， ab， a.因为OC OA OB BA OA OB BC OA |a| |b|2，所以 OAB 为正三角形，所以OAB 60 ABC，即 ab 与 a 的夹角为 60.因为| a| b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，所以 OCAB，所以COA906030，即 ab 与 a 的夹角为 30.【答案】 30 60探究共研型平面向量基本定理的综合应用探究 1 在
9、向量等式 x y 中，若 xy1，则三点OP OA OB P、A、B 具有什么样的位置关系？【提示】 三点 P、A、B 在同一直线上在向量等式 x y 中，若 xy 1，则 P，A， B 三点共线；若OP OA OB P，A，B 三点共线，则 xy1.探究 2 如图 235 所示，有点 O，A，D ，B，以 OA 和 OB为邻边作一平行四边形 ADBO，将此平行四边形的各边所在直线延长，将平面分成 9 部分，对于平面上任一向量 ，存在唯一有序实OC 数对( x，y)，使 x y 成立OC OA OB 图 235对于点 C 的位置与实数 x，y 的取值情况需分几种讨论？第 8 页 共 21 页【
10、提示】 需分 12 种情况(1)点 C 与点 O 重合，则 xy0.(2)点 C 与点 A 重合，则 x1，y0.(3)点 C 与 D 重合，则 xy1.(4)点 C 与点 B 重合，则 x0，y1.(5)点 C 在直线 OA 上，则 xR，y0.(6)点 C 在直线 AD 上，则 x1，yR.(7)点 C 在直线 BD 上，则 xR，y1.(8)点 C 在直线 OB 上，则 x0，yR.(9)点 C 在直线 OD 上，则 xy.(10)点 C 在直线 AB 上，则 xy1.(11)点 C 在区域上，则 x1；点 C 在区域上，则01.如图 236 所示，在OAB 中， a， b，点 MOA
11、OB 是 AB 的靠近 B 的一个三等分点，点 N 是 OA 的靠近 A 的一个四等分点若 OM 与 BN 相交于点 P，求 .OP 图 236可利用 t 及 s 两种形式来表示OP OM OP ON NP ON NB 第 9 页 共 21 页，并都转化为以 a，b 为基底的表达式根据任一向量基底表示OP 的唯一性求得 s，t，进而求得 .OP 解： OM OA AM OA 23AB ( ) a b.OA 23OB OA 13 23因为 与 共线，OP OM 故可设 t a b.OP OM t3 2t3又 与 共线，可设NP NB s ， s s( ) (1s) asb，NP NB OP ON
12、 NB 34OA OB ON 34所以 解得34（1 s） t3，s 23t， ) t 910，s 35，)所以 a b.OP 310 351任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量e1，e 2条件二 a 1e1 1e2且 a 2e1 2e2结论 1 2，1 2)2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平第 10 页 共 21 页面内两个不共线向量 e1，e 2的线性组合 1e1 2e2.在具体求 1， 2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中 1， 2的唯一性列方程组求解再练一题3如图 237 所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且 ，BN 与 CM 相交于 E，设 a， b，试用基底 a，b 表AN 12NC AB AC 示向量 .AE 图 237解：易得 b， a，AN 13AC 13 AM 12AB 12由 N， E，B 三点共线，设存在实数 m，满足 m (1m ) mb(1m)a.AE AN AB 13由 C， E，M 三点共线，设存在实数 n 满足： n (1 n)AE AM na(1 n) b.AC 12所以 mb(1m) a na(1 n)b，13 12
