1、,南京航空航天大学经济管理学院精品课程群建设组,第八章 灰色系统建模,8.1 GM(1,1)模型定义8.1.1 称为灰色微分型方程.定义8.1.2 若灰色微分型方程满足下列条件:信息浓度无限大序列具有灰微分内涵背景值到灰导数成分具有平射关系则称此灰色微分型方程为灰色微分方程.命题8.1.1 方程 为灰色微分方程,其中,定义8.1.3 称为GM(1,1)模型.符号GM(1,1)的含义如下:G M (1, 1) Grey Model 1阶方程 1个变量,定理8.1.1 设X(0)为非负序列:其中x(0)(k)=0,k=1,2, ,n; X(1)为X(0)的1-AGO序列:其中 ; Z(1)为X(1
2、)的紧邻均值生成序列:其中 ;k=2,3, ,n 若 为参数列,且则灰色微分方程 的最小二乘估计参数列满足,定义8.1.4 设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列, Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列, , 则称为灰色微分方程的白化方程,也叫影子方程.,定理8.1.2 设B,Y, 如定理8.1.1所述,则白化方程 的解也称时间响应函数为GM(1,1)灰色微分方程 的时间响应序列为取x(1)(0)=x(0)(1),则还原值,定义8.1.5 称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数,b为灰色作用量. -a反映了 及 的发展态势.一般情况下,系统作用量应是外生的或前定的,而GM
3、(1,1)是单序列建模,只用到系统的行为序列(或称输出序列,背景值),而无外作用序列(或称输入序列,驱动量).GM(1,1)中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据,它反映数据变化的关系,其确切内涵是灰的.灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的存在,是区别灰色建模与一般输入输出建模(黑箱建模)的分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志.,定理8.1.3 GM(1,1)模型可以转化为其中,定理8.1.4 设 , ,且为GM(1,1)模型时间响应序列,其中则,8.2 GM(1,1)模型群定义8.2.1 设序列 将x(0)(n)取为时间轴的原点,则称tn为未来.定义8.2.2 设序列为其GM(
4、1,1)时间响应式的累减还原值,则当tn时,称 为模型预测值. 建模的主要目的是预测,为提高预测精度,首先要保证有充分高的模拟精度,尤其是t=n时的模拟精度.因此建模数据一般应取为包括x(0)(n)在内的一个等时距序列.,定义8.2.3 设原始数据序列用 建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1)用 建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1)设x(0)(n+1)为最新信息,将x(0)(n+1)置入X(0),称用 建立的模型为新信息GM(1,1)4 置入最新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),称用 建立的模型为新陈代谢GM(1,1).,8.3 GM(1,1)模型的适
5、用范围模型具有多种不同的形式,主要有:,命题8.3.1 当 时,GM(1,1)模型无意义.命题8.3.2 当GM(1,1)发展系数|a|=2时,GM(1,1)模型无意义.通过分析,可得下述结论:(1)当-a1时,不宜采用GM(1,1),8.4 GM(2,1)和Verhulst模型 GM(1,1)适用于具有较强指数规律的序列,只能描述单调的变化过程.对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列,可以考虑建立GM(2,1),DGM和Verhulst模型.,一、GM(2,1)模型定义8.4.1 设原始序列其1-AGO序列X(1)和1-IAGO序列(1)X(0)分别为和其中X(1)的紧邻均值生成序列为则
6、称为GM(2,1)灰色微分方程.,定义8.4.2 称为GM(2,1)灰色微分方程的白化方程.定理8.4.1 设 如定义8.4.1所述,且则GM(2,1)参数列 的最小二乘估计为,定理8.4.2 关于GM(2,1)白化方程的解有以下结论:若 是的特解, 是对应齐次方程的通解,则 是GM(2,1)白化方程的通解.齐次方程的通解有以下三种情况:当特征方程 有两个不相等实根时,当特征方程有重根时,当特征方程有一对共轭复根 时,白化方程的特解有以下三种情况:当零不是特征方程的根时,当零是特征方程的单根时,当零是特征方程的重根时,二、DGM模型定义8.4.3 设原始序列为1-AGO序列为1-IAGO序列为
7、则称为DGM(2,1)灰色微分方程.定义8.4.4 称为DGM(2,1)灰色微分方程的白化方程.,定理8.4.3 若 为参数列,而 如定义8.4.3所述则灰色微分方程 的最小二乘估计参数满足,定理8.4.4 设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,B,Y, 如定理8.4.3所述,则白化方程 的时间响应函数为灰色微分方程 的时间响应序列为还原值为,三、Verhulst模型定义8.4.5 设X(0)为原始数据序列, X(1)为X(0)的1-AGO序列, Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列,则称为GM(1,1)幂模型.定义8.4.6 称为GM(1,1)幂模型的白化方程.定理8.4
8、.5 GM(1,1)幂模型之白化方程的解为,定理8.4.6 设 如定义8.4.5所述则GM(1,1)幂模型参数列 的最小二乘估计为,定义8.4.7 当a=2时,称为灰色Verhulst模型.定义8.4.8 称为灰色Verhulst模型的白化过程.,定理8.4.7 Verhulst白化方程的解为灰色Verhulst模型的时间响应式为,Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,即S形过程,常用于人口预测,生物生长,繁殖预测和产品经济寿命预测等.由Verhulst方程的解可以看出,当t时,若a0,则x(1)(t) 0;若at, x(1)(k+1) 与x(1)(k) 充分接近,此时x(0)(
9、k) 0 ,系统趋于死亡.,基于串联灰色神经网络的电力负荷预测方法 为了提高电力负荷预测的精度,分析现有人工神经网络和灰色预测方法各自的优缺点,将二者相结合提出了一种串联灰色神经网络预测方法.新方法利用灰色预测中的累加生成运算对原始数据进行变换,从而得到规律性较强的累加数据,便于神经网络进行建模和训练,同时避免了灰色预测方法存在的理论误差.最后实际算例证明了方法的有效性.方法适用于中长期负荷预测.,灰色神经网络模型在湖泊水质预测中的应用 应用灰色GM(1,1)预测模型和人工神经网络预测模型相结合而成的灰色神经网络模型,对湖泊高锰酸盐指数进行预测。此方法是用人工神经网络去把握灰色GM(1,1)所
10、得到的预测值和实测值之间的未知关系,再进行新的预测。其特点是可行性强,且方法简便。通过准确地预测湖泊高锰酸盐指数可以为治理、控制湖泊营养化和综合利用自然环境资源、规划管理、决策提供重要的科学依据。,用灰色组合模型预测环保投资针对环保投资变化的非平稳性，采用灰色GM（1，1）模型分析环保投资的趋势项并与历史环保投资比较得一系列残差，然后应用人工神经网络模型进行修正以提高精度。应用实例表明，该方法效果良好，较单一的灰色模型信息利用率要高，在分析、预测环保投资动态发展趋势方面具有一定的应用价值。,井壁安全远程自动监测及井壁变形的灰色马尔柯夫预测 介绍了井壁安全远程智能化自动监测、破裂预测与信息化施工
11、。监测系统采用信息网络技术,通过电话拨号,利用计算机进行应力、应变和温度等数据的采集、传输、报警,可以实现自动无人实时监测。鉴于井壁破坏影响因素的复杂性,研究了利用灰色马尔可夫链进行井壁变形预测的可能,用灰色理论体现其灰色性,用马尔可夫动态过程来反映系统受影响的随机性,取得了较好的预测效果。,基于灰色-马尔可夫链改进方法的铁路货运量预测研究 科学的预测对于经济现象的研究和经济决策的制定都具有十分重要的意义,因此,关于经济预测理论和方法的研究一直是一个热点。本文将灰色模型预测方法GM(1,1)和马尔可夫链预测相结合,提出灰色马尔可夫链改进预测方法,并且针对我国铁路货运量的发展趋势进行了预测,得出比灰色预测更加准确的结论。从而证明,灰色马尔可夫链改进方法的预测结果更加准确可靠,更有利于决策者的经济决策行为。,灰色马尔柯夫模型在棉花产量预测中的应用住宅需求量预测的灰色马尔柯夫模型及应用 统计数据显示出非平稳的特征时 ,采用一般的预测方法往往精度不高 ,考虑到GM( 1 ,1 )模型和Markov链预测的特点 ,用GM( 1 ,1 )模型进行趋势预测 ,用Markov链预测反映数据序列的非平稳特征 ,将二者有机结合起来 ,对住宅的需求量作预测。文章应用该模型对 1 992 2 0 0 2年间某城市住宅的数据进行了检验 ,经验证预测精度较高,
