1、对课本上一道习题的思考与拓展袁炳金（四川省射洪中学 629200）高中数学新课标实验教材 A 版选修 45 习题 2.3 第 4 题：设 为正实数，且 ，用反证法证明： 。yx, 1yx 9)1(22yx本文对此题作如下研究：一、对原题目的求解出于对题目解法的探讨，本文忽略原题目对解法的限制，借希望达到对知识的融会贯通、灵活运用的目的。证法 1：反证法假设 ，由于 ，且 ，9)1(22yx0,yx1yx则 )(122 121)( 2222 xyyxyx，得 ，显然矛盾。所以 。9x01 9)1(22证法 2：分析法由于 ，且 ，0,yyx则 9)1(22x 2222 8)(19)1( yxxy
2、x。而 ，即 成立。48xyy4所以 得证。9)1(22x证法 3：综合法由于 ，且 ，所以0,yyx xyyxyx )1(2)1()1()1( 22222 ，而 ，即 。所以 。xyx49)(22证法 4：三角换元法令 。则22sin,coyx)1(22 1sinco2sinco)1)(i)1)( 24 。9sin82证法 5：均值换元法令 ，则)21,(,21,tytx)(122 222 )41()()( tttt （设 ，则 ）2)41(3t 9)41)22 2t41。证法 6：综合法（调和平均数与几何平均数不等式）由 且 即 ，又当 时， 。所以0,yx1y4x0,baba122222
3、222 )(11)(1 yxyxyxyx 令 ， 。由 即 在t)40()(2tttf 0)1()2ttf )(tf单减。故 ，即 ，所以41,03)1(ft 3)(22yx得证。9)(22yx二、对原题目的拓展1.横向推广（对变元个数的拓展）若 ，且 ，则 。),321(0niai 1nianniia)1()(212把分解，于是得到和：若 ，且 ，则 。),321(0niai 1nianniia)1(1若 ，且 ，则 。),(ii 1ni nnii)(1证明：我们先来证明：因为 ，且 ，),32(0iai 1nia所以 )()()1( 1212231132 nnnniia nnnnnn aa
4、)()()()( 111231132 当且仅当 时取得等号。所以命题得证。,iai 再来证明： nnnnii aaaa 1223211321 ()()()2nna 1121123132 )()( nnnnn，当且仅当 时取得等号。所以命题得证。)1(,ii 由和等号成立的条件都是 ，所以自然得到成立。),31(ninai 2.纵向拓展（对变元指数的拓展）若 ，且 ，则),321(0iai 1nianniia)1()(212把分解，从而得到和：若 ，且 ，则),(nii 1ni nnii)()(1若 ，且 ，则),321(0iai 1nianniia)1()(1证明：先来证明：很显然当 时取得等
5、号。不妨设 ，),(nini na321则 。现在对 的大小作如下调整：na1),321(ni令 ，显然有naini 1, 11 ,1nia， 。nnaa11 na11则 ，即每对1)()()1( 11 nnnniiii aa,32i调整一次 就会增大一次，当调整到 时 达到最niia1)( ),321(ninai iia1)(大，所以 。nnii)1()(1同理可证得也成立。由于和取等号的条件都是 从而也),321(ninai 就得到了证明。3.综合拓展（对条件和结论都拓展）若 ，且 ，则 。),321(0niai 1,0,1kani )1()(12knanii 与的证明方法方法类似。若 ，
6、且 ，则 。),(ii ,1kni nniiik)()(1证明：易知当 时取得等号。不妨设 ，),32(ikai naa32则 。现在对 的大小作如下调整：nka1 ni令 ，显然有nkaiani 11 ),32(, ,1kani且 ， 。nna11 n11则 nnnnniiiniii aaaa 1222121111 )()( 2)(12)(1 12121212112 nnnnnnnnn aaa（因为 ， ，),0(,1 kt 011n且 在 上单减。 ） 。即每对 调整一次xtxf2)(1,0),32ianiiia1)(就会减小一次，当调整到 时 达到最小，所以),32(ninkai iii1)(。niiika)()1(不等式的证明往往是很多同学感觉到头痛的问题，要很好的掌握其证明方法与技巧确实不容易。所以，在平时的学习过程中要抓住手中现有的题目特别是教材上的题目多反思、归纳、总结、延伸，以旧题创新题，以旧解拓新解。本文拓展和都用的是逐步调整法，教材在排序不等式的证明过程中用的就是这种方法，解决具有对称性的多变元的不等式的证明和具有对称性的多变元的最值问题时，用这种方法有时可能得到意想不到的效果。
