1、 你的首选资源互助社区典型例题一例 1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1 ）直线 a平面 ，直线 Aab，则 b和 的位置关系如何？（2 ）直线 ，直线 /，则直线 和 的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知： 或 ；（2）由图（2）可知： /b或 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法典型例题二例 2 P是平行四边形 ABCD所在平面外一点， Q是 PA的中点，求证： /PC平面 BDQ分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了证明：如图所示，连结 ，交 于点 O，四边形 是平行四边形 COA，连
2、结 Q，则 在平面 BDQ内， 且 OQ是P的中位线， / 在平面 BD外， /PC平面 Q说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行 你的首选资源互助社区典型例题三例 3 经过两条异面直线 a， b之外的一点 P，可以作几个平面都与 a， b平行？并证明你的结论分析：可考虑 P点的不同位置分两种情况讨论解：（1）当 点所在位置使得
3、 ， （或 b， ）本身确定的平面平行于 （或 a）时，过 P点再作不出与 a， b都平行的平面；（2 ）当 点所在位置 ， （或 ， ）本身确定的平面与 （或 ）不平行时，可过点 作/， /由于 ， 异面，则 a， 不重合且相交于 由于 Pba， ， b确定的平面，则由线面平行判定定理知： /， /可作一个平面都与 ， 平行故应作“0 个或 1 个”平面说明：本题解答容易忽视对 P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论典型例题四例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面已
4、知：直线 ba/， /平面 ， b求证： 证明：如图所示，过 及平面 内一点 A作平面 设 c， /a， 又 b， c/ ， ， 说明：根据判定定理，只要在 内找一条直线 bc/，根据条件 /a，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过 a作平面 与 相交，我们常把平面 称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的典型例题五例 5 已知四面体 ABCS的所有棱长均为 a求： 你的首选资源互助社区（1 ）异面直线 ABSC、 的公垂线段
5、EF及 的长；（2 ）异面直线 EF和 所成的角分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 ABSC、 的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解解：（1）如图，分别取 、 的中点 、 ，连 结SF、由已知，得 SAB C ， E是 的中点， 同理可证 F是 、 的公垂线段在 SERt中， a23， SE1 2aa4132（2 ）取 AC的中点 G，连结 E，则 SAG/ EF和 所成的锐角或直角就是异面直线 F和 所成的角连结 ，在 Rt中， a21， ， aE2由余弦定理，得 22142cos 22aEFGEF 45故异面直线 和 SA所成的角为 45说明：对于立
6、体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值典型例题六例 6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内已知：直线 /a， B， b， a/ 你的首选资源互助社区求证： b分析：由于过点 B与 a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面 外，不存在过B与 a平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法证明：如图所示，设 b，过直线 a和点 B作平面 ，且 b /a， /这样过 B点就有两条直线 和 同时平行于直线 ，与平行公理矛盾 b必在 内说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据(2)本例还可以用
7、同一法来证明，只要改变一下叙述方式如上图，过直线 a及点 作平面 ，设 b /a， /b这样， b与 都是过 B点平行于 a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， 与 重合 ， b典型例题七例 7 下列命题正确的个数是（ ） (1)若直线 l上有无数个点不在平面 内，则 /l；(2)若直线 平行于平面 内的无数条直线，则 ；(3)若直线 与平面 平行，则 l与平面 内的任一直线平行；(4)若直线 l在平面 外，则 /A0 个 B 1 个 C2 个 D3 个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的
8、个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类解：(1)直线 l上有无数个点不在平面 内，并没有说明是所在点都不在平面 内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交解题时要注意“无数”并非“所有” (2)直线 l虽与 内无数条直线平行，但 l有可能在平面 内，所以直线 l不一定平行 (3) 这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到当 /l时，若 m且 l/，则在平面 内，除了与 m平行的直线以外的每一条直线与 都是异面直线(4) 直线 在平面 外，应包括两种情况： /l和 l与 相交，所以 l与 不一 你的首选资源互助社区定平行故选 A说明：如果题中判断两条直线与一平面之间
9、的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面如直线 l、 m都平行于 ，则 l与 m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线 ml/、/l，则 与 的位置关系可能是平行，可能是 在 内典型例题八例 8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交已知：直线 ba/， P平 面求证：直线 b与平面 相交分析：利用 ba/转化为平面问题来解决，由 ba/可确定一辅助平面 ，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用解： /， 和 可确定平面 Pa，平面 和平面 相交于过点 P的直线 l在平面 内 l与两条平行直
10、线 a、 b中一条直线 a相交， l必定与直线 b也相交，不妨设 Ql，又因为 b不在平面 内（若 b在平面 内，则 和都过相交直线 和 l，因此 与 重合， 在 内，和已知矛盾） 所以直线 和平面 相交说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明） 典型例题九例 9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行已知： a与 b是异面直线求证：过 b且与 a平行的平面有且只有一个 你的首选资源互助社区分析：本题考
11、查存在性与唯一性命题的证明方法解题时要理解“有且只有”的含义 “有”就是要证明过直线 b存在一个平面 ，且 /a， “只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论证明：(1)在直线 上任取一点 A，由点 和直线 a可确定平面 在平面 内过点 作直线 a，使 /，则 和 b为两相交直线，所以过 a和 b可确定一平面 ， 与 为异面直线， 又 /， ， a故经过 b存在一个平面 与 a平行(2)如果平面 也是经过 b且与 平行的另一个平面，由上面的推导过程可知 也是经过相交直线 b和 a的由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可
12、知，平面 与 重合，即满足条件的平面是唯一的说明：对于两异面直线 a和 b，过 存在一平面 且与 平行，同样过 a也存在一平面 且与 b平行而且这两个平面也是平行的（以后可证） 对于异面直线 a和 b的距离，也可转化为直线 a到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法典型例题十例 10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行已知： l， /a， /，求证： la/分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力利用线面平行的性质定理，可以先证明直线 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明 与
13、l平行 你的首选资源互助社区证明：在平面 内取点 P，使 l，过 P和直线 a作平面 交 于 b /a， ， b， b同理过 作平面 交 于 c /a， ， ， c b/ ， ， /又 b， l， l/又 a， 另证：如图，在直线 l上取点 M，过 M点和直线 作平面和 相交于直线 1l，和 相交于直线 2l /a， 1/l， ， 2，但过一点只能作一条直线与另一直线平行 你的首选资源互助社区直线 1l和 2重合又 ， ，直线 1l、 2都重合于直线 l， a/说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要典型例题十一例 11 正方形 ABCD
14、与正方形 EF所在平面相交于 AB，在 E、 D上各取一点 P、 Q，且QAP求证： /P面 分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行关键是在平面 BCE中如何找一直线与 平行可考察过 的平面与平面 BC的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同证明一：如图，在平面 AEF内过 P作 AM/交 E于 ，在平面 BCD内过 Q作 N/交 于 ，连结 N ABPM/， EP又 CDQN/， ，即 Q 正方形 ABF与 有公共边 AB， E DP， QNM又 AB/， /， 你的首选资源互助社区 QNPM/四边形 为平行四边形 /又 N面 BCE， /PQ面 证明二：如图，连结 A
15、并延长交 BC于 S，连结 E ADBS/， QBS又正方形 EF与正方形 ACD有公共边 B， ， P， QSBDEA /，又 面 C， /P面 说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形” ，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例 12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点已知： a， b， c求证： 、 b、 c互相平行或相交于一点分析：本题考查的是空间三直线的位
16、置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据 你的首选资源互助社区共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系证明： a， b， ba、 与 平行或相交若 /，如图 b， a， /又 c， ， ca /若 a与 b相交，如图，设 Ob， aO， b又 ， ，又 c， 直线 a、 b、 交于同一点 O说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体 ABCD中，M、 N分别是 1C、 BA的中点，画出点 D、 M、 N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例 13 已知空间四边形 ABC， ， AE是 BC的 边上的高， DF是 BC的BC边上的中线，求证： E和 DF是异面直线证法一：（定理法）如图
