1、常系数齐次线性方程组,常系数齐次线性方程组：,关键：求基解矩阵,的通解为,猜想：,的通解为,定义1 矩阵指数,其中E 为 n 阶单位矩阵,是矩阵 A 的m次幂。,规定,可以证明级数,收敛，从而该级数和是存,在的。,在 t 的任何有限区间上是一致收敛的，和函数存在。,定义2 矩阵指数函数,矩阵指数的性质,性质1 如果矩阵A，B是可交换的，即 AB=BA，则,性质2 对于任何矩阵A，,存在，且,性质3 如果 T 是非奇异矩阵，则,定理1,是方程组,矩阵,的基解矩阵且,证明,又,所以,是 的基解矩阵。,因此关键是求,例1 如果A是一个对角矩阵,试求出 的基解矩阵。,所以基解矩阵为,解,因此，基解矩阵
2、就是,把(43)代入(5.33)，得,即,n次多项式p()=d e t (E-A)称为A的特征多项式。 n次代数方程,称为A的特征方程。,也称为(5.33)的特征方程。,注：e tc是(5.33)的解,是A的特征值,c是,对应于的特征向量.由于A的特征值是特征,方程d e t (E-A)=0的根.又因n次方程有n个根,故A有n个特征值(不一定相同).,使得(44)有非零解的常数称为A的特征值。,(5.33),有复值解 ，则其实部 与虚部 都是（5.33）的实值解.,证明：,是（5.33）的解,从而实部,虚部,都是方程（5.33）的实值解。,用这种方法可以把所有复值解都换成实值解，,最后得到n个线性无关的实值解。,解,求 A 的特征值和特征向量,特征向量可取为,特征向量可取为,通解,解,求 A 的特征值和特征向量,特征向量可取为,由注3可知,和,是方程组的解，又由于它们线性无关,因此方程组的通解为,通解,作业习题5.3 3；,
