1、1,22ii jkijkiikjjikjjiiyxN yxyxyxA即： （由 i,j,k 轮换性知）1, kjjii yxNyxyxN同理可证： 0kiji（作业：证明： ）kjiyxji ,因此 （2- 1,0,0, ,1001,1, kjkik jiijjjij ijiii yxNyxyxN jyxyx 12）即形函数在自己节点上为 1，在其余节点上为 0。2. 在单元上任意一点，三个形函数之和为 1，即。, yxNyxNkji证明： ycxbaA ycxbaycxbaaAyyxyx kjikjikji kkjjjiiikji 2121,jikijkjiybijkkijjixc（2-13
2、）1, 02 yxNyxNxcyAyxyxakji ijijkj jikji ijjikijkk由此可见，三个形函数中只有 2 个是独立的，即第三个可由其余两个表示。3. ij 边上的形函数 与节点 k 的坐标无关（i，j, k 轮换） ，kjiNi,即在 ij 边上有：（i，j, k 轮换） （ 2-14）0,1,yxNxyxkijj iji证明：设 节点 i 坐标： ,节点 j 坐标： 。 求：ij 边的直iyxjyx,线方程。ijij xyijiji yxy kjji ikjij ikjijijijjijijijjj ikijjjjjj kjiikkijkij cbxAxcb xcbxy
3、cxbaAbyxaAcy NjNxcbbycx 222,N,:,jji 计 算边 上 的 值在得 到代 入直 线 方 程 为 ： 0,ijijijj yxNbakjjiiyx12 Ayxyxyxxyxcb jkijkiikjjikijiijijkj 2kijxyN, ijkcijj xyij ,边 上 有 ：在在 边上：ji0,22, ikikkikik ikikkkkk yxNycxbaAxbycxaAyN 由性质 2 ：ijikji xyxNyxyxN1,1,即在 i ,j 边上有：（2-15）0,1,yxNxyxkijj iji证毕。同理知：（轮换）在 jk 边上有： 在 ki 边上有：
4、ijkijji xyxNyx,1,0 ijkj iji xyxNxy1,0,几何表示：五、三角形单元位移函数的收敛性（要点提示：单元位移函数的三条收敛准则及意义）下面我们来验证所设的位移函数 满足收敛准则（三条） 。yxvu6543211、 单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）由几何方程： 寻找物体发生刚体位移的条件。xvyuxuxy若物体发生刚体位移，则有：xfvyfuxvyuxuxy 21,00 的 任 意 函 数为 yu由 得： xy021xff dxfyf21等式两侧分别为 x 和 y 的函数，要使其相等只有：constdfyf21积分： 式中 为积分常数xvfyu021 0,
5、vu故位移： 021 xyxf 即：（不难证明）以上两项是发生刚体位移的充要条件。因为这是 的情形。故：xyx刚 体 转 动 的 转 角方 向 的 刚 体 位 移方 向 的 刚 体 位 移yu0v事实上，将位移函数改变形式为：yxxvy63534 5212u显然可看出：（其它系数意义后述）转 的 刚 体 转 动体 现 绕 无 关 ）方 向 的 刚 体 位 移 （ 与体 现 无 关 ）方 向 的 刚 体 位 移 （ 与体 现 zyxyx2,35412、 单元位移函数解反映单元的常应变由： 可以得到： xvyuxuxy 5362xvyuxuxy53532121xy显然： 常 量体 现 了 单 元
6、的 剪 应 变 为方 向 的 常 应 变体 现 了 单 元 沿 方 向 的 常 应 变体 现 了 单 元 沿536yx由此看出，但单元的各应变均为常量。故三角形单元在位移函数：yxvu654321下个典的各个应变量均为常量。故称 为常应变单元。3、 单元的位移函数在单元内部连续，在边界与相邻单元协调。显然，设 是单元内部的连续函数。下面考察下边界上协调（一致）yxvu654321的问题。由形函数的第 3 条性质，我们证明：对于相邻的两个单元 为公共边界。jie,21ij 边上的 N: 分别写出两个单元在公共边上的位移表达0,1,yxNxxyxkijj iji式。对于单元 ，其位移函数为： （*
7、）1ekjie ji vNvNuu11对于单元 ，其位移函数为： （*）2e mjie ji vv22Ij 为单元 ， 的公共边界。由形函数的性质 3 我们知道：12仅与节点 i 有关。0mkijij ijiiNxxN因此，对于 ：1ejijijie jijijie vxvxvuxuxu11对于 ： 与节点 k,m 无关，仅与 i, j 节点坐2ejijijie jijijie vxvxvuuu122标及 有关。iu,- 已知常数jix,- 节点位移唯一ivu边界上 x 唯一确定 u,v由 和 比较及 和 比较知：在公共边界上各点，ij 上位移 u,v 是唯一的。1e21ev2由上知：三角形单
8、元的位移函数 满足收敛性条件。yxvu654321Note: 用三角形单元计算则位移是连续的。而应力、应变是阶梯的。位移法（假设位移）的结果位移要好（比应力准确） 。2-5 三角形单元的刚度矩阵（单刚）提示：我们已经建立了三角形单元的位移函数；导出了三角形单元的形函数；并用形函数来表示其位移函数；最后，我们证明了三角形单元位移函数的收敛性。下面我们要推导三角形单元的单元刚度矩阵。在推导单刚前我们还有些准备工作要做。一、 三角形单元的应变矩阵B将位移函数写出来： kjiji vNvNuu其中：ycxbaANjjji 2 ),(kji把位移函数 u,v 代入几何方程： kkjjii kjikjix
9、y kjiy kjix vbucvbucvbucA vbAxvcvcvububA212121写成矩阵的形式就是：（单元上任一点的应变）（2-16） kjjiikjjii ji kjizyx vuvubccbcA0021或 （2-17）eB式中： （2-18） kjjii ji kji bccbcA0021或分块： （2-19）kji BB式（2-16）表示单元节点位移 与单元应变 的关系。矩阵 称为应变矩阵。eAB式（2-18）表示应变矩阵为常数矩阵 ，再次证明三节点三jkikii xcyb,角形单元为常应变单元。二、 三角形单元的应力矩阵 S由物理方程知： xyxy yxy yxxuEu21
10、2 xyxyE12用矩阵表示： （2-20）xyxxyxu21012或缩写为： （2-21 ）D其中： （2-22）21012uE称为弹性矩阵（仅与弹性常数有关） 。把 代入物理方程 ，得到：BDBD令 （2-23）DS则有： （2-24）式（2-24）表示应力与节点位移的关系。由式（2-23）给出，称为三角形单元的应力矩阵。S显然，弹性矩阵 及应变矩阵 都是常量矩阵。故应力矩阵 也是一个DBS常量矩阵。因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。三、三角形单元的单刚建立了应力与节点位移的关系式（2-24） ，我们就可以推导单刚了。我们用虚功原理来推导。一般来说，有限元的单刚最普通的方法是用变分原理来推导。求泛函的变分（functional 泛函的函数） 。 （在力学上就是最小泛解的变分原理） 。由于我们尚未解除变分
