1、机械能守恒应用 2 多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒1、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型2、模型条件(1)忽略空气阻力和各种摩擦(2)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。3、模型特点(1)杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒(2)对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒例 1转动 质量分别为 m 和 2m 的两个小球 P 和 Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为 L，在离 P 球 处有一个光滑固定L3轴 O
2、，如图 8 所示现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：图 8(1)小球 P 的速度大小；(2)在此过程中小球 P 机械能的变化量答案 (1) (2)增加 mgL2gL3 49解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球 Q 摆到最低位置时 P 球的速度为 v，由于 P、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是 P 球运动半径的两倍，故 Q 球的速度为 2v.由机械能守恒定律得2mg Lmg L mv2 2m(2v)2，23 13 12 12解得 v .2gL3(2)小球 P 机械能增加量 Emg L mv2 mgL13 12 49跟踪训练 .如图 537 所示
3、，在长为 L 的轻杆中点 A 和端点 B 各固定一质量为 m 的球，杆可绕无摩擦的轴 O 转动，使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对 A、B 两球分别做了多少功？图 537解析：设当杆转到竖直位置时，A 球和 B 球的速度分别为 vA和 vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取 B 的最低点为重力势能参考平面，可得：2mgL mv mv mgL 又因 A 球与 B 球在各个时刻对应的角速度相12 2A 12 2B 12同，故 vB2v A由以上二式得：v A ，v B 。3gL5 12gL5根据动能定理，
4、可解出杆对 A、B 做的功。对 A 有：W Amg mv 0，所以 WA0.2mgL。 L2 12 2A对 B 有：W BmgL mv 0，所以 WB0.2mgL。12 2B答案：0.2mgL 0.2mgL例 2、平动图 539如图 539 所示，倾角为 的光滑斜面上放有两个质量均为 m 的小球 A 和 B，两球之间用一根长为 L 的轻杆相连，下面的小球 B 离斜面底端的高度为 h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；(2)整个运动过程中杆对 A 球所做的功【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，
5、两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：2mg(h sin )2 mv2L2 12解得： v .2gh gLsin (2)因两球在光滑水平面上运动时的速度 v 比 B 单独从 h 处自由滑下的速度 大，增加的机械能就是杆对 B 做正功的2gh结果 B 增加的机械能为 EkB mv2 mgh mgLsin 12 12因系统的机械能守恒，所以杆对 B 球做的功与杆对 A 球做的功的数值应该相等，杆对 B 球做正功，对 A 球做负功，所以杆对 A 球做的功 W mgLsin .12【答案】 (1) (2) mgLsin 2gh gLsin 12跟踪训练 .如图 8 所示，
6、在倾角 30 的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为 1 kg 和 2 kg 的可视为质点的小球 A 和B，两球之间用一根长 L0.2 m 的轻杆相连，小球 B 距水平面的高度 h0.1 m两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g 取 10 m/s2.则下列说法中正确的是( )图 8A整个下滑过程中 A 球机械能守恒来源:学科网 ZXXK B整个下滑过程中 B 球机械能守恒C整个下滑过程中 A 球机械能的增加量为 J D整个下滑过程中 B 球 机械能的增加量为 J23 23答案 D解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在 B 球沿水平面滑行，
7、而 A 沿斜面滑行时，杆的弹力对 A、B 球做功，所以 A、B 球各自机械能不守恒，故 A、B 错误；根据系统机械能守恒得：m Ag(hL sin )m Bgh(mAm B)v2，解得： v m/s，系统下滑的整个过程中 B 球机械能的增加量为 mBv2m Bgh J，故 D 正确；A 球的机12 236 12 23械能减少量为 J，C 错误23例 3联动 (2015新课标全国21)(多选) 如图 5，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定竖直杆上，与 光滑水平地面相距 h，b 放在地面上a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g.则(
8、 )图 5Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功 Ba 落地时速度大小为 2ghCa 下落过程中，其加速度大小始终不大于 g Da 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg答案 BD解析 滑块 b 的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对 b 先做正功，后做负功，选项 A 错误；以滑块 a、b 及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当 a 刚落地时，b 的速度为零，则 mgh mv 0，即 va ，选项 B 正确；a、b 的先后受力12 2a 2gh分析如图甲、乙所示由 a 的受力情况可知，a 下落过程中，其加速度大小先小于 g 后大于 g，选项 C 错误；当 a 落地前 b 的
9、加速度为零(即轻杆对 b 的作用力为零)时，b 的机械能最大， a 的机械能最小，这时 b 受重力、支持力，且 FNbmg，由牛顿第三定律可知，b 对地面的压力大小为 mg，选项 D 正确跟踪训练 .内壁光滑的环形凹槽半径为 R，固定在竖直平面内，一根长度为 R 的轻杆，一端固定有质量为 m 的小球甲，另一端固定2有质量为 2m 的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图 6 所示由静止释放后 ( )图 6A下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的
10、最低点答案 AD解析 根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故 A、D 对，B 错；由于乙球的质量大于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点，否则就不满足机械能守恒，C 错二、轻绳连接系统机械能守恒例 1 .甲、乙两物体用细线相连，跨过两光滑滑轮按如图 12 所示方式连接，滑轮上方放置一竖直的光滑半圆形轨道，甲物体与地面接触，乙物体紧挨滑轮位置，两滑轮到地面距离与半圆轨道直径相等，且与圆心在同一水平线上。若两滑轮与甲、乙物体均视为质点，且两滑轮之间距离可视为与半圆轨道直径相等，现将乙由静止开始释放，甲物体向上运动到圆弧轨道后，恰好能沿半圆轨道做圆周运动，则甲、乙两
11、物体质量之比为( )图 12A.17 B.16 C.15 D.14解析 设甲、乙两物体质量分别为 m1、m 2，轨道半径为 R，当乙下落到地面、甲运动到半圆轨道下端时，由题意知，对系统由机械能守恒定律可得 2m2gR2m 1gR (m2m 1)v2，甲球恰好能做圆周运动，则甲球在圆轨道最高点时必有12m1g ，甲由轨道下端运动到最高点过程中由机械能守恒定律可得： m1v2m 1gR m1v ，联立以上各式可得：12 12 21m27m 1，则 A 正确。答案 A跟踪训练 .如图 12 所示，质量分别为 2m 和 m 的 A、B 两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，
12、绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦现将两物体由静止释放，在 A 落地之前的运动中，下列说法中正确的是( )图 12AA 物体的加速度为 BA 、B 组成系统的重力势能增大g2C下落 t 秒时，B 所受拉力的瞬时功率为 mg2t D下落 t 秒时，A 的机械能减少了 mg2t213 29答案 D解析 A 与 B 的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：对 A、B 整体有：a g，故 A 错误；A 、B 组成系统的2mg mg2m m 13机械能不变，动能增大，重力势能减小，故 B 错误；B 受到的拉力：Fm(ga) ，下落 t 秒时，B 的速度：4mg3vat gt，所受拉力的瞬时功率为 P
13、Fv mg2t，C 错误；对 A 有：2mgF T2ma，得细绳的拉力 FT mg.下落 t 秒时，13 49 43A 下落的高度为 h at2 gt2，则 A 克服细绳拉力做功为 WF Th mg2t2.根据功能关系得知：A 的机械能减少量为12 16 29EAW mg2t2，故 D 正确29多物体机械能守恒问题(1)多物体机械能守恒问题的分析方法：对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系列机械能守恒方程时，一般选用 Ek Ep 的形式(2)多物体机械能守恒问题的三点注意：正确选取研究对象合理选取物理过程正确选取机械
14、能守恒定律常用的表达形式列式求解专题训练：1 如图 532 所示，质量分别为 m 和 2m 的两个小球 A 和 B，中间用轻质杆相连，在杆的中点 O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在 B 球顺时针摆动到最低位置的过程中 (不计一切摩擦)( )图 532AB 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒BA 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒CA 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒DA 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒解析 A 球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B 项正确；由于 A 球、B 球和地球组成的系统只
15、有重力做功，故系统的机械能守恒，C 项正确，D 项错误；所以 B 球和地球组成系统的机械能一定减少，A 项错误。答案 BC2.图 5311(多选)轻杆 AB 长 2L， A 端连在固定轴上， B 端固定一个质量为 2m 的小球，中点 C 固定一个质量为 m 的小球 AB 杆可以绕 A 端在竖直平面内自由转动现将杆置于水平位置，如图 5311 所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是( )A AB 杆转到竖直位置时，角速度为 10g9LB AB 杆转到竖直位置的过程中， B 端小球的机械能的增量为 mgL49C AB 杆转动过程中杆 CB 对 B 球做正功，对 C 球做负
16、功，杆 AC 对 C 球做正功D AB 杆转动过程中， C 球机械能守恒【解析】 在 AB 杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以 B 球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有：mg2L2 mg(2L) mgL 2m( 2L)2 m(L )2，解得角速度 ，A 项正确在此过程中， B 端小球机械能12 12 10g9L的增量为： EB E 末 E 初 2m( 2L)22 mg(2L) mgL，B 项正确 AB 杆转动过程中，杆 AC 对 C 球不做功，杆 CB12 49对 C 球做负功，对 B 球做正功，C 项错 C 球机械能不守恒， B、 C 球系统机械能守恒，D 项错【答案】 AB3 (
17、多选) 如图 5 所示，有一光滑轨道 ABC，AB 部分为半径为 R 的 圆弧，BC 部分水平，质量均为 m 的小球 a、b 固定在14竖直轻杆的两端，轻杆长为 R，不计小球大小。开始时 a 球处在圆弧上端 A 点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是( )图 5Aa 球下滑过程中机械能保持不变Ba、b 两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变Ca、b 滑到水平轨道上时速度为 2gRD从释放到 a、b 滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对 a 球做的功为mgR2解析：选 BD 由机械能守恒的条件得，a 球机械能不守恒，a、b 系统机械能守恒，所以 A 错误，B 正确。对
18、 a、b 系统由机械能守恒定律得：mgR2 mgR2 mv2，解得 v ，C 错误。对 a 由动能定理得：mgRW mv2，解得 W12 3gR 12，D 正确。mgR24. 绳连接的系统机械能守恒如图 7，可视为质点的小球 A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为 R的光滑圆柱，A 的质量为 B 的两倍当 B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高将 A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )图 7A2R B. C. D.5R3 4R3 2R3答案 C解析 设 A 球刚落地时两球速度大小为 v，根据机械能守恒定律得，2mgRmgR (2mm) v2，解得 v2 gR，B 球继续上
19、12 23升的高度 h ，B 球上升的最大高度为 hR R.v22g R3 435.如图 13 所示，一轻杆两端分别固定质量均为 m 的小球 A 和 B，放置于半径为 R 的光滑半圆轨道中，A 球与圆心等高，B球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小图 13答案 (r(2) 1)gR解析 当杆处于水平状态时，A、B 两球组成的系统重心最低，两球速度最大，A 球下降的高度 hAR cos 45，B 球上升的高度 hBR(1cos 45)由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为 v.由机械能守恒得：mgh Amg hB 2mv212解得：v (r(2) 1)gR6、
20、如图 5 所示，一半径为 R 的光滑半圆柱水平悬空放置，C 为圆柱最高点，两小球 P、Q 用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板 AB 及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板 AB 与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为 mPm，m Q4m，水平挡板到水平面 EF 的距离为 h2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球 P到达最高点 C 时剪断细线，小球 Q 与水平面 EF 碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为 g，不计空气阻力，取 3。求：图 5(1)小球 P 到达最高点 C 时的速率 vC；(2)小球 P 落到挡板 AB 上时的速率 v1；(3)小球 Q 反弹后
21、能上升的最大高度 hmax。解析 (1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面，则在小球 P 到达最高点 C 的过程中，系统满足机械能守恒，有m Qg 2Rm PgR (mPm Q)v 0，解得 vC 。14 12 2C 2gR(2)因 vC ，所以剪断细线后小球 P 做平抛运动，由机械能守恒定律知 mPgR mPv mPv ，解得 v12 。gR12 2C 12 21 gR(3)剪断细线后，小球 Q 做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有m Qg 2R mQv m Qg(hh max)，解得 hmax R。14 12 2C 32答案 (1) (2)2 (3
22、) R2gR gR327、 (2015济南模拟)半径为 R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为 m 和 m 的小球 A 和 B。A 、B 之间用3一长为 R 的轻杆相连，如图 536所示。开始时，A、B 都静止，且 A 在圆环的最高点，现将 A、B 释放，试求：2图 536(1)B 球到达最低点时的速度大小；(2)B 球到达最低点的过程中，杆对 A 球做的功；(3)B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。审题指导(1)A、B 和轻杆组成的系统机械能守恒。(2)因 OAOB，两球沿杆方向的分速度相等，两球速度大小始终相同。(3)由系统机械能守恒可知，B 球一定能到达右侧区域高于 O 点
23、的位置。解析 (1)释放后 B 到达最低点的过程中 A、B 和杆组成的系统机械能守恒，m AgRm BgR mAvA2 mBvB2，12 12又 OAOB，AB 杆长 R，故 OA、OB 与杆间夹角均为 45，可得 vAv B，解得：v B 。2 2gR(2)对小球 A 应用动能定理可得：W 杆 Am AgR mAvA2，又 vAv B12解得杆对 A 球做功 W 杆 A0。(3)设 B 球到达右侧最高点时， OB 与竖直方向之间的夹角为 ，取圆环的圆心 O 为零势面，由系统机械能守恒可得：mAgRm BgRcos m AgRsin ，代入数据可得 30，所以 B 球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心 O 的高度 hBR cos R。32答案 (1) (2)0 (3)高于 O 点 R 处2gR32
