1、1/8椭圆及其标准方程教学目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.2.了解椭圆的标准方程的推导及简化过程.(难点)3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.(重点、易错点)教材整理 1 椭圆的定义阅读教材 P32探究思考以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.课堂练习判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)已知 F1(4,0)，F 2(4,0)，到 F1，F 2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆.( )(2)到 F1(4,0)，F 2
2、(4,0)两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆.( )(3)到 F1(4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( )【解析】 (1).因为到两定点距离之和小于|F 1F2|，动点的轨迹不存在，故(1)错.(2).由椭圆定义知， (2)对 .(3).其动点轨迹是线段 F1F2的中垂线，故(3)错.【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 椭圆的标准方程阅读教材 P32思考P 34例 1 以上部分，完成下列问题 .椭圆的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上2/8标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1y2a2 x2b2(ab0)焦点坐标 (c,0) ，( c,0)
3、 (0，c)，(0，c )a， b，c 的关系c2a 2b 2判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2b 2c 2.( )(2)平面内到两个定点 F1， F2 的距离之和等于常数的点的集合是椭圆 .( )(3)椭圆的特殊形式是圆.( )(4)椭圆 4x29y 21 的焦点在 y 轴上.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)(1)椭圆 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点x225 y29的距离为( )A.5 B.6 C.4 D.10(2)椭圆 1 的焦点为 F1，F 2，AB 是椭圆过焦点 F1 的弦，则ABF
4、 2 的周x29 y225长是( )A.20 B.12 C.10 D.6【自主解答】 (1)设 P 到另一焦点的距离为 r，则 r52a10，r5.(2)AB 过 F1，|AB |AF 1|BF 1|.由椭圆定义知，Error!|AB|AF 2|BF 2|4a20.【答案】 (1)A (2)A在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决.再练一题3/81.(1)设 P 是椭圆 1 上的点，若 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，则x225 y216|PF1|PF 2|等于( )A.4 B.5 C.8 D.10(2)已知 F1(4,0)
5、，F 2(4,0)，则到 F1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是_.【解析】 (1)a5，|PF 1| PF2|2a10.(2)由于动点到 F1，F 2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段 F1F2.【答案】 (1)D (2) 线段 F1F2根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(4,0) 和(4,0)，且椭圆经过点(5,0) ；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0) 和(0,1) 两点；(3)焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P(0，10)，P 到离它较近的一个焦点的距离等于 2.【精彩点拨】 本题考查椭圆标准方程的求法
6、，求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出 a 和b 即可.【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 1( ab0). 2a 10 ，a5.又 c4，x2a2 y2b2 5 42 5 42b 2a 2c 225169.故所求椭圆的方程为 1.x225 y29(2)法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为 1(ab0). 椭圆经过两点(2,0) ，(0,1)，x2a2 y2b24/8Error!则Error!所求椭圆的方程为 y 21；x24当椭圆的焦点在 y 轴上时，设方程为 1(ab0).y2a2 x2b2
7、椭圆经过两点(2,0) ，(0,1)，Error!则Error!与 ab 矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为 y 21.x24法二 设椭圆方程为 mx2ny 21(m0，n0，mn).椭圆过(2,0) 和(0,1) 两点，Error!Error!综上可知，所求椭圆方程为 y 21.x24(3)椭圆的焦点在 y 轴上，可设它的标准方程为 1(ab0).y2a2 x2b2P(0，10)在椭圆上， a10.又P 到离它较近的一焦点的距离等于 2，c(10)2，故 c8.b 2a 2c 236.所求椭圆的标准方程是 1.y2100 x2361.求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条
8、件确定焦点位置，设出方程，再设法求出 a2、b 2 代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2ny 21(m n，m0，n0).因为它包括焦点在 x 轴上(mn) 和焦点在 y 轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的.再练一题2.根据下列条件，求椭圆的标准方程.5/8(1)两个焦点的坐标分别是(4,0) ，(4,0)，椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10；(2)求经过两点(2， )， 的椭圆的标准方程. 2 ( 1，142)【解】 (1) 椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1(ab0).x2a2
9、 y2b22a10,2c 8，a5 ，c 4.b 2a 2c 25 24 29. 故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)法一 若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1(ab0).x2a2 y2b2由已知条件得Error! 解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 1(ab0).y2a2 x2b2由已经条件得Error! 解得Error!即 a24，b 28，则 a2b 2，与题设中 ab0 矛盾，舍去.综上，所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二 设椭圆的方程为 Ax2By 21(A0，B0， AB).将两点(2 ，
10、 )， 代入，2 ( 1，142)得Error!解得 Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24探究 轨迹和轨迹方程有什么不同？【提示】 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念.6/8求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置，类型.求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.已知点 M 在椭圆 1 上，MP垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂x236 y29足为 P，且 M 为线段 PP的中点，求 P 点的轨迹方程 .【精彩点拨】 设 Px，y 用 x，y表 示 M的 坐 标 把 M坐 标 代 入 椭 圆 方 程 化 简 得 所 求 轨 迹 方 程【自主解答】 设 P 点的坐标为(
11、x ，y)，M(x 0，y 0)，P(x 0，0).点 M 在椭圆上， 1.x2036 y209又M 是线段 PP的中点，Error! 代入上式，得 1，x236 y236即 x2y 236.故 P 点的轨迹方程为 x2y 236.小结1.本题中由点 P，M 的关系，得到等式 x0x，y 0 是关键.利用点 M 在椭圆上，y2将含 x0，y 0 的式子代入椭圆方程便得到了动点 P 的轨迹方程，此法称为“代入法” ，此类问题一般使用此法.2.求轨迹方程的主要方法(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.
12、(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.用相关点法求轨迹方程的步骤：设所求轨迹上的动点 P(x，y)，再设具有某种运动规律 f(x，y)0 上的动点7/8Q(x，y). 找出 P，Q 之间坐标的关系，并表示为Error!将 x，y 代入 f(x，y )0，即得所求轨迹方程.再练一题3.如图 211，设 P 是圆 x2y 225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M为 PD 上一点，且|MD | |PD|.当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的
13、方程.45图 211【解】 设点 M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x P， yP)，因为点 D 是 P 在 x 轴上的投影， M 为 PD 上一点，且|MD| |PD|，所以45xP x，且 yP y.因为 P 在圆 x2y 225 上，所以 x2 225，整理得 54 (54y) x2251，y216即 C 的方程是 1.x225 y216练习1.已知椭圆 1 的一个焦点为 (2,0)，则椭圆的方程是( )x2a2 y22A. 1 B. 1 C.x2 1 D. 1x24 y22 x23 y22 y22 x26 y22【解析】 由题意知，椭圆焦点在 x 轴上，且 c 2，由 a2b 2
14、c 2，得 a2246，因此椭圆方程为 1，故选 D.【答案】 Dx26 y222.若方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是( )x225 m y2m 98/8A.9m25 B.8m25 C.16m25 D.m8【解析】 由题意知Error!解得 8m25，故选 B.【答案】 B3.已知椭圆的焦点在 y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为 8，焦距为 2，则此随圆的标准方程为_.15【解析】 由题意知2a8，a4，2c 2 ，c ，b 2a 2c 21，15 15故此椭圆的标准方程为 x2 1.【答案】 x 2 1y216 y2164.已知椭圆 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1，F 2 的连线夹角为直角，则x249 y224|PF1|PF2|_.【解析】 由题意可得Error!解得|PF 1|PF2|48.【答案】 485.已知 M(4,0)，N(1,0) ，若动点 P 满足 6| |.求动点 P 的轨迹 C 的方程. MN MP NP 【解】 设 P(x，y)，则 (3,0)， ( x4，y)， (x 1，y)，MN MP NP 由题可得3(x 4)6 ，化简得 3x24y 212，即 1，x 12 y2x24 y23动点 P 的轨迹 C 的方程为 1.x24 y23
