1、有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？解因总面数是 5，不会出现 5 个面全部排成一行（列）的情形.（1） 当一行（列）面数最多是 4 时，有两种情形（注意对称性） ，如图）（2） 当一行（列）面数最多是 3 时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不同情形，如图 15-2（b）（3） 剩下的两个面位于这一行（列）的异侧有三种不同情形，如图（4） 当一行（列）的面数最多是 2 时，仅一种情形，如图所示.总数为 2+2+3+1=8 种，即有 8 种不同的展开形式.探究正方体的展开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？要搞清这个
2、问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（但不要剪断，六个面要通过边连在一起） ，展成平面，再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。如果不容易找到足够的正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思维，先猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有效。事先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，任意连接成不同的平面图形） ，经过逐个验证，记录下所有可以折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。那么，
3、沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共 11 种。一、 “141 型” （共 6 种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有 4 个正方形（图 1图 6） 。理解：有 4 个面直线相连，其余 2 个面分别在“直线”两旁，位置任意。二、 “231 型”与“33 型” （共 4 种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有 3 个正方形（如图 7图 10） 。理解：在“231 型”中， “3”所在的行（列）必须在中间， “2”、 “1”所在行（列）分属两边（前后不分） ，且“2”与“3”同向， “1”可以放在“
4、3”的任意一个正方形格旁边，这种情况共有 3 种，而“33 型”只有 1 种。三、 “222 型” （只有 1 种）特点：展开图中，最多只有 2 个面直线相连（图 11） 。评注：将上面 11 个图中的任意一个，旋转一定角度或翻过来，看上去都与原图似有不同，但这只是图形放置的位置或方式不同。实际上，它与原图能够完全重合，不能算作一个独立的新图，而从上面 11 个图中任取两个，不论怎样操作（旋转、翻折、平移等） ，它们都不可能完全重合，即彼此是独立的、不同的图形。对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图，如果图中含有“一”字型、 “7”字型、 “田”字型、 “凹”字型，就一定不能折成
5、正方体。概括地说，只要不符合上述“141” 、 “231”和“33” 、 “222”的特点，就不能折成正方体。如图 12，如果将其看作“231”型，那么，无论怎么看， “2”和“3”都不是同向，故不能折成正方体。其实，它属于“123” （或“321” ）型。巧记口诀确定正方体表面展开图 6 个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。对面
6、相隔不相连,识图巧排“7” 、 “凹” 、 “田” 。现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪 7 刀，故平面展开图中周围有 14 条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1） （2） （3） （4）（5） （6）以上六种展开图可归结为四方连线，即 ，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。二、跃马失蹄四分开（1） （2） （3） （4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图） ，另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄” 。三、两两错开一阶梯
7、这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯” 。四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连，则 1 号面与 3 号面是对面，中间隔了一个 2 号面，并且是对面的一定不相连。 五、识图巧排“7” 、 “凹” 、 “田” （1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中 1 号面与 3 号面是对面，3 号面又与 5 号面是对面，出现矛盾。如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。如果图
8、中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把1 2 3 1 2 345该图形折叠起来将有两个面重合。现举例说明：例 1 （2004 海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 7、 田 、 凹 ”来解决。A、D 都有“凹”形结构，B 有“田 ”形结构，故应选 C例 2 （2004 扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(注：只需添加一个
9、符合要求的正方形；添加的正方形用阴影表示.) 解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相连的结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中 所示的四种情况之一。试一试：1 （2004 浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ）2 （2004 镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ） 3 （2004 海南）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在 A、B、C 内的三个数依次是（ ） （A）0，2，1（B）0，1，2（C）1，0，2（D）2，0，1（正方体纸盒）（A）（B）（C）（D）（2005 济南中考题）在正方体的表面上画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在 A 面上画有粗线，那么将图（ 1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以动手试一试）
