1、总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法） 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法 适用于： 1()naf转换成 ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 .1()naf na若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和 ;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。a112na， na解：由 得 则12n1n23212()()()(
2、)211()()aaaannn 例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1123nnaa， na解；由 得 则123n1nn12321211()()()()333()(3nnnnaaaa 练习 1.已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项公式. na*12()naNna答案： 2n练习 2.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. na31)2(11nan答案：裂项求和 n2二、累乘法 1.适用于： -这是广义的等比数列1()nnaf2若 ，则1()nf31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 11()nnkfa例 4 例 4. 已知数列 满足 ， ，求
3、。n32nna1解：由条件知 ，分 别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即1an )(,3, )1(n13421n n142an又 ，a三.公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法： 。nS12()naf na1,()2nnSa例 2已知数列 的前 项 和 满足 求数列 的通项公式。S1,2解：由 111当 时，有 ,)()(1nnnn 12(),na21， .212a()nnnn.)1(2332)()(11nnn 经验证 也 满足上式，所以a )1(23nna点评：利用公式 求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能合写 时一定要合并11Snn练一练： 已知 的前 项和满足 ，求 ；na2log()n
4、Sna数列 满足 ，求 ；n11154,3nnSan四、待定系数法 适用于 1()naqfn基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如 ,其中 )型0(,1cdana1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列;na（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;n（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.01且dcna待定系数法：设 ,)(1nnca得 ,与题设 比较系数得)(1cn ,1dan,所以 所以有：d)()0(,c )1(1cdacnn因此数列 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列，1can 1cda
5、所以 即： .11)(nnd 1)1(cddann规律：将递推关系 化为 ,构造成公比为 c 的等比数列 从dcan1)(1cnn 1cdan而求得通项公式)(11an逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系 中把 n 换成 n-1 有 ,两式相减有dcan1 dcan1从而化为公比为 c 的等比数列 ,进而求得通项公式. ,再利)(11nnaca )(12an用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例 6 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。na11,2()nana解法一： 12(),n1nna又 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 ，即1,na 12nna1na练习已知数
6、列 中， 求通项 。 答案：na,21,211nnana1)2(na2形如： (其中 q 是常数，且 n 0,1) nnp1 若 p=1 时，即： ，累加即可.nna1若 时，即： ，pnnqp1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等差数列1np即： ,令 ，则 ,然后类型 1，累加求通项.nnqpap)(11nabnnqpb)(1ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： ,1n qann1令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解，nqabqbpnn11iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比
7、数列求通项.)(11 nnnn paa 注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11243nna， na解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，112(nnna)124,则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，143na 11435所以 ，即152nn11nna解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1nq13n1243nna解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1np12n nn)(1练习.（2003 天津理）设 为常数，且 证明对任意 1，0a)(31Nann；12)()(351
8、annn3形如 (其中 k,b 是常数，且 )bknpan1 0k方法 1：逐项相减法（阶差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为 ; )1()(1ynxapyxna解题基本步骤：1、确定 =kn+b 2、设等比数列 ，公比为 p 3、列出关系式f )(yxnabn,即 4、比较系数求 x,y 5、解得数列 的通项公式)1()(1ynxapyxna1npb )(yxna6、解得数列 的通项公式n例 8 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法）na,23,1nanna解： ， 时， ，,231n)1(231nan两式相减得 .令 ,则2)(11nnaa nnab11nb利用类型 5 的方法知 即
9、 35nb3511n再由累加法可得 . 亦可联立 解出 .221ann 212nan例 9. 在数列 中， ,求通项 .（待定系数法）na36,311nan n解：原递推式可化为 yxyxnn )()(21比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 1nb所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 . 即：nb 2961a11)2(9nnbnna)21(96故 .6)(nn4形如 (其中 a,b,c 是常数，且 )cnbapn21 0a基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例 10 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345nana， na解：设
10、 2 21()()()n nxyzxyz比较系数得 ， 3,0,18所以 2 21()()(3108)n nana由 ，得213081320n则 ，故数列 为以 为首项，21()()2nan2318na21301832a以 2 为公比的等比数列，因此 ，则 。3108nna42n5.形如 时将 作为 求解21 nnapqn()f分析：原递推式可化为 的形式，比较系数可求得 ，数列 为等比数211) nnapa 1na列。例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n211256,nnna解：设 比较系数得 或 ，不妨取 ， （取-3 结果形式可能不同，211()nnaa32但本质相同）则
11、，则 是首项为 4，公比为 3 的等比数列23(2nn12na，所以114na 145na练习.数列 中，若 ,且满足 ,求 答案： .n 2,81 03412nnaannna31四、迭代法 (其中 p,r 为常数)型rnnpa1例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nna1212(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)1 12(3)(32(1)33(1)()()(2)132(2)( nnn nnnnnn nnnnnaaaa 2)(1)(1)12! nn 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna注：本
12、题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例 13.（2005 江西卷）已知数列 ，:,且 满 足的 各 项 都 是 正 数naNnaann),4(21,0（1）证明 （2）求数列 的通项公式 an.1,;nNn解：（1）略（2） 所以 ,4)2(1)4(1 nnn aa 21)()2(nnaa又 bn=1，所以nnnnnn bbbbab 22121221 1)()()(, 则令.1212 )(,)(nnnn即方法 2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法 3：设 c ，则 c ,转化为上面类型（1）来解nb2n五、对数变换法 适用于 (其中 p,r 为常数)型 p0， r
13、nnpa1 0na例 14. 设正项数列 满足 ， （n2）.求数列 的通项公式.11解：两边取对数得： ， ，设 ，则 122loglnnaa )1(logl22nnaa 1log2nab12nb是以 2 为公比的等比数列， nbb， ， ，121nnb12lognan 12logna 12na练习 数列 中， ， （n2） ，求数列 的通项公式. na11n n答案：nn2例 15 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。511237nn， 10nn，两边取常用对数得 1lgllg32nna设 （同类型四）1lg()5(l)n naxyxy比
14、较系数得， lg3g2,4164由 ，得 ，1lll3lg2g71064alg3lg204164na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列，则lg3lg24164nl3l，因此1l l3g2g(7)564nna 111 1664444511456lg3l2lll(7)llg(3)g(32)2l7nnnn则 。114556432nna六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,nnana解：求倒数得 为等差数列，首项 ，公差为 ，111,22nnnnaaa1a121(),n十二、四种基本数列1形如 型 等差数列的广义形式，见累加法。)(1nfan2.形如 型 等比数列的广义形式，见累乘法。fn3.形如 型)(1fa（1）若 （d 为常数） ，则数列 为“等和数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和n na偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为 型，通过累加来求出通项;或用逐差法)(1nfan(两式相减)得 ，分奇偶项来分求通项.)1()1nfa
