1、1求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一 观察法(猜想法)由数列的前几项的特点观察猜想出数列的通项公式，关键是找出各项与项数 n 的关系。例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2） （3）,1764,093,521 ,521,（4） （5） ）,3,8,析:（1） （2） （3） （4） .10na;12na;2na1)(nan（5） 二、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项
2、的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例 2等差数列 是递增数列，前 n 项和为 ，且 成等比数列， 求数列 的通项公式.nanS931,a25aSn解：设数列 公差为 )0(d 成等比数列， ，即931,a9123a)8()2(1ddd12 ， 0d1 25S145由得： ， 1ad nan53)(53点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。三、 累加法 （叠加法）求形如 （f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令1()nafn=2，3 ，n 1 得到 n1 个式子累加求得通项。1232121() )()
3、(2)3(n1)(n nnaafff例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1n， n解：由 得 则12n12na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转1n2a1n化为 ，进而求出1n2a1n所123a)()a()()( 以数列 的通项公式为 。 即得数列 的通项公式。na2naan四、累积法（叠乘法）对形如 的数列的通项，可用累乘法，即令 n=2，3，n1 得到 n1 个式子累乘求得通项。1(n)af23 12()()()()35(1)n nna a23121 12(2)3(n1)(nnaafff 例 4：在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式。11na解：由(n+
4、1) =n 得 ，即naan= = 所以na21341234 n1五、公式法：若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式nSanan求解。 （注意：是否需要验证 n=1 时结论是否成立）21an 例 5：已知下列两数列 的前 n 项和 sn 的公式，求 的通项公式。n（1） 。 （2）3S12解： （1） 时当 1a时， = = =32n当 n1nS33()()(1)232n此时， 满足上式。 =3 为所求数列的通项公式。1 22n（2） ） 时 ，当 01sa当 时 2)1()( nnn由于 不适合于此等式 。 1 )20na注意要先分 n=1 和 两种情况分别进行运算，然后
5、验证能否统一。2例 6 设数列 满足na3,nns求解析： 111 1111,222, 33, -,22nnnnnn nasasaa 时 即时 由 得 两 式 相 减 的即 所 以 是 首 项 为 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 于 是例 7. 设数列 的首项为 a1=1，前 n 项和 Sn 满足关系n ),432,0(3)2(3tSttn求证：数列 是等比数列。解析：因为 )1(,()1 tn所以 2(21 nttn得 ：)2(1所以，数列 是等比数列。na例 8、数列 的前 n 项和为 sn， 且满足 1120(n2),nasa（1） 求证： 成等差数列；（2）求数列 的通项公式1ns
6、),(30)3( ,430)3112Nttt SSnn （3（1）证明： 11111202,2=,nnnnnasssss当 时 ， 由 得 所 以又 故 是 首 项 为 ， 公 差 为 2的 等 差 数 列（2）解：由（1）得 1,nns112nnas当 时 ，当 时 ， 不 适 合 上 式 n1,2,an故六、构造等差或等比数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。1、形如 其中 p，q 均为常数1nnpaq解法：这种类型一般是等式两边取倒数后转化为 1 1nn npqaqpap 即例 8：已知数列 满足 ，求证： 是等差数列，并求 的通项公式。na,13nnann解： ， ，即31nn1n13.n是首项为 1，公差为 3 的等差数列。 .na ,2na231na3、形如 （其中 p，q 均为常数， ） 。pann1 )01(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。1()nnattt例 10:已知数列 中， ， ，求 .na132nn解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,321 1()att123nat)3(21nna令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则nab41ab3nbnb41,所以 .124n 21n
