1、1,工 程,矩阵理论,东南大学数学系 周建华,2,教材 工程矩阵理论 张明淳，东南大学出版社参考书 1.高等代数， 北京大学，高等教育出版社 2.Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 2004 (有中译本，机械工业出版社）,3,要 求,重点是基本理论，基本方法；结合授课内容，熟悉课本；通过例题，理解概念；通过练习题，熟悉理论和方法。,4,本课程大致内容,第0章 复习与引深第1章 线性空间与线性变换第2章 内积空间、等距变换第3章 矩阵的相似标准形第4章 Hermite二次型第5章 范数及矩阵
2、函数第6章 矩阵的广义逆,5,矩阵理论,6,第0章 复习与引深,矩阵运算线性方程组向量组的极大无关组和秩矩阵的秩,7,1.矩阵的乘法中应注意的问题,(1) 存在非零零因子 例1,8,(2) 不可交换,9,（3）由此导致的一些问题,乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立,10,例3,11,（4）分块矩阵,设,将这两个矩阵分块：,其中，,12,条件：上式有意义,13,一些常见的分块形式,1.,14,15,16,17,18,2. 线性方程组,1.,2.,3.,19,齐次线性方程组的基础解系,对于齐次线性方程组,1. 有非零解当且仅当,20,例5,21,简化阶梯形矩阵,22,续例5,23,Gau
3、ss消元法,24,例6,25,例7,26,3.向量组的极大无关组和秩,27,例8,28,4.矩阵的秩,矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的秩,有关矩阵的秩的不等式：,29,例9,30,例10,31,矩阵的等价标准形,32,33,例12：,34,线性空间和线性变换,第一章,35,第一节 线性空间的定义,用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.,36,如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间， V中的元素称为向量。,37,例1,38,例1（续）,39,线性空间的性质,40,第二节 基、维数和坐标,如：,在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极
4、大线性无关组、秩等概念。,41,一些重要结论,42,43,例2,44,定义（基，维数）,45,注：,46,例3,47,定理1,48,定义（坐标）：,49,例5,50,例6,51,注,线性空间的基是有序的。基相当于几何空间中的坐标系。,52,定理2,53,例7,54,例8,55,形式记号,56,形式记号,57,形式记号的性质,58,例9,59,定义(过渡矩阵),60,过渡矩阵的性质,61,例10,62,定理3(坐标变换公式),63,例11,64,第三节 子空间, 交与和,65,定理1,66,两类重要的子空间,67,命题：,68,例12,69,例13,70,例14,71,例15,72,定理2,73
5、,子空间的交与和,74,子空间的交与和,75,注：交与并的区别,76,定理4（维数定理）,77,例16,78,例17,79,例18,80,直和,81,定理5,82,例19,83,例20,84,多个子空间的直和,85,定理6,86,87,第四节 线性映射,88,89,定义：,90,例21,91,例22,92,例23,93,注,94,线性映射的性质：,95,96,例24,97,例25,98,线性变换的运算,它们都是线性映射。,99,线性映射的运算的性质：,100,线性映射（变换）的矩阵：,101,例26,102,例27,103,定理8,104,定理9,105,例28,106,定理10,对线性映射的
6、矩阵有类似的性质。,107,第五节 线性映射的值域及核子空间,108,值域的计算,109,核子空间的计算,110,定理12（线性映射的维数定理）,111,注：对无限维空间，推论不成立。,112,例29,113,定义（不变子空间）：,114,为何要讨论不变子空间？,115,为何要讨论不变子空间？,116,例30,117,线性空间的同构,118,119,120,121,第二章,内积空间、等距变换,122,第一节 基本概念,本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C,123,例1,124,内积的性质,125,度量矩阵,126,向量的模（长度）,127,C-B不等式,128
7、,三角不等式,129,正交性,130,标准正交基,131,标准正交基下的内积,132,Schmidt正交化方法,133,例2,134,例3,135,酉矩阵,136,定理1,137,Schmidt正交化方法的应用,138,注,139,矩阵的UT分解,140,例4,141,定理2,142,第二节 正交补空间,143,正交补空间,144,正交补空间的计算,145,正交补空间的计算,146,例5,147,一个几何问题,空间中点到直线的距离：,148,空间中向量到子空间的距离：,149,150,例6,151,例7,152,应用-Fourier系数,153,最小二乘解,154,第三节 等距变换,155,例
8、8,156,定理7,157,关于直线的反射,158,欧氏空间中的反射,159,镜像变换,160,161,例9,162,第三章,矩阵的相似标准形,163,矩阵与线性变换,本章的目的：对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。,164,第一节 特征值与特征向量,165,矩阵的相似对角化,166,线性变换的特征值、特征向量,167,线性变换的可对角化问题,168,例1,169,线性变换的特征值、特征向量的计算,170,例2,171,定理1,172,特征多项式的计算,173,主子式与子式,174,主子式与子式,175,特征多项式
9、的计算,176,矩阵的迹,177,例3,178,化零多项式,179,第二节 Hamilton-Cayley定理,180,例4,181,例5,182,最小多项式,183,定理5,184,例6,185,例7,186,例8,187,第三节 可对角化的条件,目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵；,对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。,188,已知的判别方法,189,线性变换的可对角化问题,190,特征子空间,191,可对角化的条件,192,例9,193,定理12,194,定理13,195,例10,196,定理14,197,例11,198,例12,199,
10、第四节 Jordan标准形,问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。,200,Jordan形矩阵,201,例13,202,Jordan标准形的存在性、唯一性,203,唯一性的证明思路,204,定理15,205,例14,206,例15,207,例16,208,分块矩阵的最小多项式,209,Jordan标准形与最小多项式,210,例17,211,例18,212,例19,213,例20,214,例21,215,存在性的证明思路,216,存在性的证明思路,217,存在性的证
11、明思路,218,存在性的证明思路,219,存在性的证明思路,220,存在性的证明思路,221,存在性的证明思路,222,存在性的证明思路,223,第五节 特征值的分布,224,定理20,225,例22,226,K-区,227,例23,228,定理21,229,例24,230,谱半径的估计,231,例25,232,例26,233,应用,234,对角占优矩阵,235,对角占优矩阵,236,第四章,Hermite二次型,237,第一节 H阵、正规阵,Hermite二次型与Hermite矩阵标准形惯性定理（唯一性）正定性,238,Hermite矩阵、 Hermite二次型,239,Hermite矩阵、
12、 Hermite二次型,240,实对称矩阵的性质,241,H阵的性质,242,正规阵,243,上三角的正规阵,定理4：,244,定理5,245,推 论,246,例1,247,例2,248,第二节 Hermite二次型,249,250,标准形,251,标准形,配方法（初等变换法）酉变换法：,252,惯性定理,253,惯性定理,254,惯性定理,255,规范形,256,共轭合同的充分必要条件,257,例3,258,正定性,259,如何建立判别方法,260,定理7,261,例4,262,例5,263,例6,264,其它有定性,265,如何建立判别方法,266,定理8,267,例7,268,定理9（奇
13、值分解）,269,奇值分解定理的证明,270,奇值分解定理的证明,271,奇值分解定理的证明,272,奇值分解定理的证明,273,第三节 Rayleigh商,274,定理10,275,例8,276,定理11,277,定理12（Courant极大极小原理）,278,第五章,范数和矩阵函数,279,本章的目的,矩阵函数范数矩阵函数的应用,280,第一节 范数的概念和例子,281,内积与范数,282,Cn中范数的例子,283,更多的例子,284,更多的例子,285,范数与极限,286,范数的可比较性,287,第二节 矩阵范数,288,289,范数的相容性,290,定理2,291,算子范数,292,算
14、子范数,293,定理3,294,定理4,295,例1,296,例2,297,例3,298,第三节 收敛定理,299,矩阵序列的收敛性,300,幂序列,301,谱半径与范数,302,矩阵幂级数,303,矩阵幂级数,304,第四节 矩阵函数,305,几个重要的矩阵函数,306,利用定义计算,307,例5,308,Jordan形矩阵的函数,309,Jordan形矩阵的函数,310,Jordan块的函数,311,Jordan块的函数,312,Jordan块的函数,313,例6,314,利用Jordan标准形计算,315,例7,316,定理11,317,例8,318,待定系数法,319,待定系数法,32
15、0,例9,321,例10,322,矩阵函数的性质,323,例11,324,例12,325,注,326,第四节 线性微分方程组,327,性质,328,常系数线性微分方程,329,常系数线性微分方程组,330,331,定理14,332,矩阵的广义逆,第六章,333,本章目的,将“逆矩阵”推广到一般情形广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的性质应用：不相容线性方程组的求解,334,第一节 广义逆矩阵的概念,1903年，Fredholm，积分算子的广义逆1920年，Moore，矩阵的广义逆1955年，Penrose，证明了唯一性 所以，在下面的矩阵的广义逆的定义中的四个方程也称为Moore- Penrose方程，简称M-P方程。,335,广义逆矩阵的定义,336,例1,337,定理1,338,例2,339,例3,340,例4,341,例5,342,例6,343,例6,344,例7,345,第二节 广义逆矩阵的性质,346,定理2,347,定理1（续）,348,例8,349,例9,350,定理3,351,第三节 广义逆矩阵的应用,352,最小二乘解,353,定理4,354,定理5,
