1、用不动点法求数列的通项定义：方程 xf)(的根称为函数 )(xf的不动点.利用递推数列 的不动点，可将某些递推关系 )(1nnaf所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理 1：若 ),10()(abxf p是 )(xf的不动点， n满足递推关系1,nan，则 (nn，即 pan是公比为 a的等比数列.证明：因为 p是 )(xf的不动点ba由 bann1得 )(11pabapnnn 所以 pn是公比为 的等比数列.定理 2：设 )0,()( cdcxf ， n满足递推关系 1),(nfn，初值条件 1a（1 ）：若 )(xf有两个相异的不动点 qp,，则 qapkp
2、nn1 （这里 qcapk）（2 ）：若 )(xf只有唯一不动点 ，则 kpann1 （这里 dk2）证明：由 f得 xdcbf)(，所以 0)(2bxadc（1 ）因为 qp,是不动点，所以 0)(2bqapqcap，所以 qapcqabdpcpqdbacpqdcabqp nnnnnn 11111)(令 k，则 knn1（2 ）因为 p是方程 0)(2bxadcx的唯一解，所以 0)(2bpadc所以 db， cp所以 dcapdcapdacap nnnnn 11211 )()()(所以 dacpcppcpdcp nnnnn 2)( 1111令 dak2，则 kann1 例 1：设 n满足
3、*11,2,Nnn，求数列 na的通项公式例 2：数列 na满足下列关系： 0,211 ann，求数列 na的通项公式定理 3：设函数 ),0()(2efexcbf 有两个不同的不动点 21,x,且由)(1nnuf确定着数列 nu,那么当且仅当 ab2,时, 2121)(unn证明: kx是 f的两个不动点fecbxakk2即 kkbxaefx2)()2,1(222 11222112211 )()()()( bxaeuxbaufxcuebaufexcbuaxu nnnnnnn 于是, 2121)(xnn221222 11)()( xxexba nnnn 22122211)( xuabxeuax
4、u nnnn 221xaeb0)(21xeab12x0 方程组有唯一解 ,0例 3：已知数列 na中, *211,Nnan,求数列 na的通项.其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例 4：已知 ,01且 )1(4621nn,求数列 n的通项.解: 作函数为 )()(24xf,解方程 xf得 )(f的不动点为iix3,1, 4321.取 1,qp,作如下代换: 42342421 )1(461)(6 nnnnnn aaaaa逐次迭代后,得 : 1144)()(nn已知曲线 从点 向曲线 引斜率为22:0,nCxy (,0)PnC的切线 ，切点为 (0)nkl(
5、)nPx（）求数列 的通项公式；nxy与（）证明： 135212sinnnxxy设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ，pq， ， 20pqnx1p， （ ） （1）证明： ， ；（2 ）2x12nnxqx34， ， pq求数列 的通项公式；（3 ）若 ， ，求 的前 项和 nxnS已知函数 ， 是方程 的两个根（ ） ， 是2()1fx， ()0fx()fx的导数，设 ， fa12nna， ，（1 ）求 的值；，（2 ）证明：对任意的正整数 ，都有 ；n（3 ）记 ，求数列 的前 项和ln(12)ab， ， bnnS13 陕西文 21 （本小题满分 12 分）已知数列 满足， na.*112,2naaN 令 ，证明： 是等比数列； ()求 的通项公式。1nnbnbna2山东文 20.（本小题满分 12 分）等比数列 的前 n 项和为 ， 已知对任意的 aSnN，点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；(,)nS(0xyr,r（11）当 b=2 时，记 求数列 的前 项和1)4nbNanbnTw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
