1、第八章 复合材料细观力学基础,8-1 引言,复合材料至少由两种材料构成，微观性质是不均匀的。,前几章中复合材料“模量”和“强度”的含义是什么？,平均值，等效均匀材料,复合材料细观力学就是在研究如何用一个均匀材料的响应来代替非均匀复合材料的平均响应。,复合材料的结构分析涉及两个尺度：,宏观的，平均意义的量,微观的，涉及组分属性和微结构分布,模量、强度,组分的含量、形状、结合状态等,细观力学建立二者之间的关联,8-2 有效模量理论,一、有效模量理论,1、宏观均匀、代表性体积单元,复合材料中的增强体的几何分布可以是规则的（如图），也可以是不规则的。,总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此研究其某些性能
2、时，只须取其一代表性体积单元（representative volume element）来研究即可代表总体，见图。,RVE的要求：,1、RVE的尺寸纤维直径；,3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。,纤维体积分数：,纤维总体积；,复合材料体积,注意：只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。,二、复合材料的应力、应变及有效模量,（复合材料） （均匀等效体）,按体积平均，定义复合材料的应力、应变为：,平均应力,平均应变,则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：,三、有效模量理论,1、边界条件：（不能随意！）,均匀应变边界条件：,均匀应力边界条
3、件：,2、可证明的两个特性：,在给定均匀应变边界下，有：,在给定均匀应力边界下，有：,证明可见复合材料力学（周履等）P223。,3、有效模量理论,1）给定均匀应变边界条件,而,其应变能为：,此时，复合材料的应变能也为：,2）给定均匀应力边界条件,而,3）有效模量的严格理论解,只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效弹性模量才是严格的理论解。,则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。,一、长纤维复合材料,8-3 有效模量的材料力学半经验解法,（一）纵向有效模量,采用平面假设，在P
4、力作用下，对RVE有：,（下标f、m表示纤维和基体）,所以有,而,利用,称为纵向有效模量的混合律。,（二）纵向泊松比,RVE的纵向应变关系式：,（三）纵横（面内）剪切模量,在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下关系：,（倒数混合律）,（四）横向有效模量,设,而由平均值关系有：,（倒数混合律）,（五）Halpin-Tsai方程,单向纤维增强的单层的五个有效模量分别由下式计算：,其中：,：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于 相几何和载荷条件。,*,另外，*式还可以用于沿直线排列的短纤维增强单层的纵向和横向有效模量的计算：,计算E1时，取：,计算E2时，取：,二、短纤维复合材料,（一）单向短纤维复合材
5、料,1、修正复合法则（修正混合定律）,2、Halpin-Tsai方程,此时，对L取：,对T取：,（二）随机分布短纤维复合材料,1、修正混合律：,2、基于halpin-Tsai的经验公式：,8-4 有效模量的其他力学模型解,一、复合圆柱模型,可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：,1、,2、,3、,（平面应变体积模量）,4、,具体见复合材料力学（周履等）P250-256！,二、Eshelby夹杂模型,1、Eshelby等效夹杂理论,同质等效夹杂,：特征应变,设整个系统在无穷远边界处受均匀应力边界条件，如没有夹杂，则D内的应力应变为,而实际的
6、应力应变场还应该加上由夹杂引起的扰动应力和扰动应变，即：,则夹杂中的应力场可表示为,由Eshelby的研究得出扰动应变和特征应变的关系为：,其中四阶张量Sijkl称为Eshelby张量，仅与基体的材料性能和夹杂物的形状和尺寸有关。如果夹杂物的形状为椭球，则夹杂内的应变和应力场是均匀的。关键在于如何求得特征应变的值。利用等效夹杂理论有：,（*）,将（*）代入该式则可求得特征应变，进而求得夹杂内外的弹性场。,2、单向短纤维复合材料的弹性性能预测,设沿1方向作用均匀应力,因为材料内部有：,表示平均值。,由Eshelby夹杂理论可得：,为基体材料的弹性张量；,为夹杂的弹性张量。,由此可得：,2、斜向纤
7、维情况：,（方法同前）,然后利用坐标变换求得,（为角的函数）,求有效模量，注意此时的模量为角的函数。,3、随机分布短纤维复合材料：,对不同的角，按前述方法求得其,然后对其求对于得平均值：,在,作用下可求得,和,，进而求得,和,。最后可得：,注意：上述计算均未计及纤维之间的互相作用。,由前面的分析可知,三、数值计算方法（有限元法）,；而,该积分的值可由FEM进行数值计算，即有：,p为离散的单元号，n为单元总数。,对复合材料有效性能的计算均需要建立一定的体积代表性单元，如：,单向短纤维复合材料的理想化模型,三维代表性体积单元,所有的计算都是基于上述代表性体积单元。对随机分布短纤维复合材料的处理方法
8、与前一致。,不同的方法得到的结果不同，见下表。,8-5 复合材料强度的细观力学分析,8-5-1 长纤维复合材料的强度材料力学分析,、纵向拉伸强度X,（*）,由图c可见：,复合材料强度由基体控制,复合材料强度由纤维控制,3、当,时，,说明复合材料强度低于基体本身强度，纤维未增强。,说明复合材料强度高于基体本身强度，纤维增强。,复合材料的强度总由纤维控制。,二、纵向压缩强度,压缩时可能的破坏形式：,因纤维屈曲而导致破坏；,因横向界面拉裂而破坏；,基体和/或纤维剪切破坏；,纤维与基体压坏；,纤维弯坏等等；,下面只介绍根据纤维屈曲理论得到的结果：,两种模型：,a）横向型（拉压型）：“异向”屈 曲，基体
9、横向受拉压作用；,b）剪切型：“同相”屈曲，基体受剪切作用。,（1）横向型,可求得：,其中：l为纤维长度，h为纤维直径，2c为纤维间距，m为屈曲时的半波数目。由于m为一很大的数，可对上式进行连续函数求解最小值，可得：,最后有：,（2）剪切型：,同理可得：,三、横向拉伸强度,理论计算可得：,四、横向压缩强度,其破坏原因为基体剪切破坏，经验公式为：,五、面内剪切强度,8-5-2短纤维复合材料强度的细观力学分析,一、单向短纤维复合材料,一般采用修正混合律公式进行研究。,对长纤维复合材料应力有：,对短纤维复合材料，由于必须计及纤维端部效应，所以上式应写为：,其中,（需要知道纤维中的应力分布）,由COX
10、提出的剪切滞后理论，通过图b的平衡有：,则,则纤维的应力,沿z方向是,线性分布的,将能达到最大纤维应力的最小纤维长度定义为载荷传递长度,（d ：纤维直径）,上式中,短纤维最大纤维应力发生在纤维长度中点处,则,（临界载荷传递长度）,临界载荷传递长度是载荷传递长度的最大值。,又因为,此即为长纤维复合材料的强度公式。,其中,二、随机分布短纤维复合材料的强度模型,1、纤维长度随机分布的单向短纤维复合材料,2、纤维位向随机分布的短纤维复合材料,1）修正混合律：,2）统计积分法,由Tsai-Hill判据可得单向短纤维复合材料的偏轴拉伸强度为：,为横向拉伸强度，等于,为剪切破坏强度，等于,即：,8-6 单层
11、板热、湿胀系数的预测,1、平衡方程：,2、几何方程：,（平面假设）,3、物理方程：,对单层板：,对纤维：,对基体：,由上面各式可得：,则,为纤维与基体横向应变,二、横向热膨胀系数2的确定,由前图有：,从细观上看：,则有：,而：,可由前节所得。,进而可得：,又因为,所以有：,三、纵向湿膨胀系数1的确定,由于湿度效应与温度效应在宏观上是类似的，故可以仿照1的推导求解1：,平衡方程：,几何方程：,物理方程：,对单层板：,对纤维：,对基体：,吸水浓度C表示材料吸水分多少的质量指标：,材料在干燥状态下的质量；,纤维，基体的质量。,则在均匀吸湿情况下，有：,则有,进而,综上述各式可得：,又因为,因此,最后可得：,四、纵向湿膨胀系数2的确定,推导与2相仿：,从细观上看：,式中,由前节给出。,
