1、概率论与数理统计,主讲人理学院：周娟,第一章习题1.1(第7页),=1, 2, 3, 4, 5, 6, A=1, 3, 5.,1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:,(1)抛一颗骰子, 观察向上一面的点数, A表示“出现奇数点”.,(2)对一个目标进行射击, 一旦击中便停止射击, 观察射击的次数, A表示“射击不超过3次”.,(3)把单位长度的一根细棒折成 三段, 观察各段的长度, A表示“三段细棒能构成一个三角形”.,=1, 2, 3, ，A=1, 2, 3,=(a, b, 1ab)|a, b0且a+b0且a+bc1,=(a, b, c)|0a, b, c0且x+y+z=
2、l,A=(x, y, z)|0x, y, z0为常数).,所以, c=1/(e1).,2.已知随机变量X只取1, 0,1, 2四个值,相应概率依次为1/2c, 3/4c, 5/8c, 7/16c,试确定常数c, 并求PX1|X0.,解 由分布律的性质有：,1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1,所以, c=37/16.,PX1|X0=PX1且X0/PX0,=PX=1/1PX0,=(8/37)/112/37,=8/25,3. 一批产品分一、二、三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半. 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 试用随机变量描述检验的可能结果, 并
3、写出其分布律.,解 记Xi为检验结果为i级品, 则X只能取1, 2, 3.,若设PX=2=p, 则PX=12p, PX=3 =0.5P, 于是p+2p+0.5p=1, 即p=2/7.,即X的分布律为:,PX=1=4/7.,PX=2=2/7.,PX=3=1/7.,或写成:,4. 某运动员的投篮命中率为0.4, 写出他一次投篮命中数X的分布律.,解 显然, X只能取0，1，其分布律为：,PX=0=0.6, PX=1=0.4.,或写成: , 或,5. 上抛两枚硬币, 写出正面朝上的个数Y的分布律.,解 显然, Y只能取0, 1, 2, 其分布律为：,PY=0=0.25, PY=1=0.5, PY=2
4、=0.25.,7. 设随机变量XB(6, p), 已知PX=1=PX=5, 求PX=2的值.,解 由于XB(6, p), 所以, PX=k=C6kpk(1-p)6-k,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p), 所以, p=0.5.,因此, PX=2=150.520.54=15/640.2344,8. 已知事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于三次时, 指示灯将发出信号, 若按一下两种方式进行试验, 分别求指示灯发出信号的概率.,解 (1) PX3=,(2) PX3=1PXN0.05, 则 PXN0.95,因为:,所以, PX1=0.7374+0.2281=0.96550.9
5、5,因此，取N=1便满足条件。,即, 配备一名技师便可以保证设备发生故障.,11. 某救援站在长度为t的时间(单位:h)内收到救援信号的次数X服从P(t/2)分布且与时间的起点无关, 试求某天下午救援站在1点至6点间至少收到一次救援信号的概率.,解 由已知, 1点至6点收到救援信号的次数XP(5/2),所以, PX1=1PX=0=1e-2.50.9179,12. 若XP()且PX=2=PX=3, 求PX=5.,解 由已知有: 2e/2=3e/6, 所以, =3,所以, PX5=5e/5!35e3/5!0.1008,13. 设步枪射击飞机的命中率为0.001, 今射击6000次,试按泊松分布近似
6、计算步枪至少击中飞机两弹的概率, 并求最可能击中数.,解 记X为击中弹数, 则XB(6000, 0.001),所以, PX2=1PX=0PX=1,1e66e60.9826,实际上,PX2=10.999600060000.0010.9995999,0.9827,X的最可能数为: (n+1)p=6.001=6,即, 最可能击中数为6。,15. 在有8件正品, 2件次品的10件产品中随机地取3件,写出取出的次品数X的分布律.,解 XH(10, 2, 3)，其分布律为:,PX=0=8/107/96/8=7/15,PX=1=38/107/92/8=7/15,PX=2=38/102/91/8=1/15,1
7、6. 在一副扑克牌中(按54张计)随机地抽出5张, 求抽出黑桃张数的概率分布.,解 黑桃张数XH(54, 13, 5)，其分布律为:,17. 一批产品的次品率为0.02, 从中任取20件, 现已初步查出2件次品, 求20件中次品数不小于3的概率.,解 20件中次品数XB(20, 0.02)，于是,PX3|X2=PX3/PX2,=1-PX3/1-PX2,=1-0.9820-200.020.9819-1900.0220.9818/,1-0.9820-200.020.98190.1185,18. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 且生产过程中一旦出现废品即刻重新进行调整. 求在两次调整之间生
8、产的合格品数的分布律.,解 合格品数X1G(P)，于是, 其分布律为:,PX=k=(1-p)kp，k=0, 1, 2, ,19. 某射手有5发子弹,每射一发子弹的命中率都是0.7,如果命中目标就停止射击, 不中目标就一直射击到子弹用完为止, 试求所用子弹数X的分布律.,解 显然, X只能取1, 2, 3, 4, 5, X的分布律为:,PX=1=0.7;,PX=2=0.30.7=0.21;,PX=3=0.320.7=0.063;,PX=4=0.330.7=0.0189;,PX=5=0.34=0.0081.,20. 从有10件正品, 3件次品的产品中一件一件地抽取,每次抽取时, 各件产品被抽到的可
9、能性相等. 在下列三种情形下,分别写出直到取得正品为止所需抽取次数X的分布律.,(1) 每次取出的产品不再放回;,(2) 每次取出的产品立即放回;,(3) 每次取出一件产品后随即放回一件正品.,解 (1) X只能取1, 2, 3, 4, 其分布律为:,PX=3=3/132/1210/11=5/143;,PX=4=3/132/121/11=1/286.,PX=1=10/13;,PX=2=3/1310/12=5/26;,解 (2) XG(10/13), 其分布律为:,PX=1=10/13;,PX=2=3/1311/13=33/169.,PX=k=(3/13)k1(10/13), k=1, 2, 3, ;,(3) X只能取1, 2, 3, 4，其分布律为:,PX=3=3/132/1312/13=72/2197.,PX=4=3/132/131/13=6/2197.,5. 火炮向某目标独立射击, 每发炮弹命中目标的概率为0.6, 且只要命中一发目标就被摧毁. 今发射4发, 求摧毁目标的概率. 若使目标被摧毁的概率达到0.999以上, 则至少要发射多少发炮弹？,
