1、从双线性映射谈起龙岩学院 周金森 梁俊平 刘宏锦定义 1 设 V、U 与 W都是域 F的线性空间， 是 V U到 W的一个映射，如A果对于 ， ,任意 ，有2,12,klF(1) 1 2klklAA(2) 21, ,l l则称 是 V U到 W的双线性映射；(i)若 W=F，则称 为 V U上的双线性函数；(ii)若 W=F，V=U，则称 为 V上的双线性函数；(iii) 若 W=F，V=U，且 ，则称 为 V的一个对称双线,AA性函数；记 ，称 为 V上的二次函数；,q(iv) 若 W=F=R，V=U， ，且 当且仅当,0,时 ，则称 为正定的实对称双线性函数，或称 为 V上一0,0AAA个
2、实内积, 常记为 。,一、考虑 V上的双线性函数与矩阵之间的一一对应关系V中取一个基 ，V 中向量 在此基下的坐标分别为12,n ,， ，则12,nXx 12,nYy 111, ,AAnij ijijij ijxxy令 A= ， ,称 A是双线性函数 在此基12212nnnaa ijij下的度量矩阵，它是由 及基唯一决定， ，反之，12, ,XAY任给一个域 F的一个 n级矩阵，可以定义 V上的一个双线性函数，满足。,Aijija命题 1 (1)V上的双线性函数 在 V的不同基下的度量矩阵是合同的。A(2)V上的对称双线性函数 在 V的一个基下的度量矩阵是对称阵。(3) 实内积 在 V的一个基
3、下的度量矩阵是正定阵。命题 2 设 是特征不为 2的域 F的 n维线性空间 V上的对称双线性函数，A则 V中存在一个基，使得 在此基下的度量矩阵是对角阵。命题 3 任一对称阵都合同于对角阵。 （矩阵语言）因为矩阵的合同关系是一个等价关系，下面从等价关系进一步考虑命题 4 （1）在复数域上，n 级对称阵按合同关系分成 n+1类，秩为 r的代表元为 ，秩是完全等价不变量。0rE（2）在实数域上，n 级对称阵按合同关系分成 类，秩为 r12n且正惯性指数为 p的代表元为 ，秩，正惯性指数，负惯性指数，0prE符号差是等价不变量，不是完全等价不变量，但四个量中任取两个量是完全等价不变量。注 1 在丘维
4、声高等代数学习指导书中给出惯性定理中唯一性的三种证法。在实数域上，我们考虑一个特殊的类就是正定阵命题 5 n级对称阵 A是正定阵10,0nXR正惯性指数=nA合同于 E存在可逆阵 P，使得 A=P PkA是正定阵 （k0）是正定阵1AA的伴随矩阵是正定阵A的所有特征值全大于 0A的所有顺序主子式全大于 0A的所有主子式全大于 0存在主对角线上的元素全是 1的上三角阵 B，使得 A=B DB，其中 D是正定的对角阵存在主对角线上的元素全是正的上三角阵 C，使得 A=C C0AiaiA的绝对值最大的元素必在主对角线上。注 2 利用必要性可以很快地判断某些矩阵不是正定阵。注 3 A的特征多项式中的1
5、211knnnnEbbb 就是 A的所有 k阶主子式的和，其中 ， ,而kb 2naa A且 , 是 A的所有特征12n12n, i,值。二、考虑对称双线性函数与二次型（二次函数）的关系命题 6 设 V是特征不为 2的域 F的一个线性空间，q 是 V上一个二次函数，则存在 V的唯一的对称双线性函数 ，使得 ， 。A,q三、双线性函数空间域 F的线性空间 V上的所有线性函数构成的集合，定义加法、纯量乘法，可以构成域 F的一个线性空间，称为 V上的线性函数空间（或对偶空间） ，记作V 。*依此类推，我们把域 F的线性空间 V上的所有双线性函数构成的集合，定义加法、纯量乘法，易证 对于函数的加法、纯
6、量乘法构成域 F2T2T的一个线性空间，称 为 V的双线性函数空间。由于双线性函数与它在 V2T的一个基下的度量矩阵是一一对应关系，且保持线性运算，因此两个线性空间同构 ，从而 。2VnMF22dimn为了构造 V上的双线性函数，想法是给了 V上的两个线性函数 g,h,令， ，容易验证 是 V上的双线性函数，,ghA,A把它记成 ，即 ，把 称为线ghgh性函数 g与 h的张量积。命题 7 V的一个基 ，它的对偶基为 ，则（1）12,n 12nf,f121n2122n1n2nf,f,f,f,f,f,f,f,f 是 的一个基；（2）设双线性函数 在基 下的度量矩阵为TVA1，则双线性函数 在 的
7、一个基ijna 2TV121n12n1n2nf,f,f,f,f,f,f,f,f 下的坐标为 。 2n12aaa 四、考虑 V U上的所有双线性函数构成的线性空间 V,U命题 8 设 V的一个基 ，它的对偶基为 ，U 的一12,n 12nf,f个基 ，它的对偶基为 ，则 nm个双线性函数12,m mg是 的一个基。ijghin,j, V,U命题 9 diVUdii五、线性空间的张量积及泛性（同调代数中一个重要性质）定义 2 设 V、U 与 W都是域 F的线性空间， 是 V U到 W的一个双线性映A射， 具有这样的性质：从 V U到域 F上任意一个线性空间 M的任一个双线性A映射 ，存在 W到 M
8、的唯一的线性映射 ，使得 (即存在交换图),那么 W就称为 V与 U的一个张量积。注 4 定义 2中的性质称为张量积的特征性质，在同调代数中常称为泛性。命题 10 V U到 的双线性映射 , ,具*,:,V,U有张量积的特征性质。注 5 命题 10说明了两个线性空间的张量积存在。命题 11 设 M 是域 F上的一个线性空间， 是 V U到 M 的双线性映射， 1它也具有张量积的特征性质，则有线性空间同构 。*,注 6 命题 11说明了两个线性空间的张量积在同构的意义下是唯一的，我们用 表示 V与 U的张量积，它就是线性空间 ，而且比原来的两*,个空间都“大” 。 命题 12 设 ， 中的元素具
9、有如下性质：1212,V12（1） ，12121212（2） kk,kF（3）设 是 的一个基, 是 的一个基，那么12n, 1V12m 2V是 的一个基，因而 的维数ijij, 12V为 nm，即 。1212dimdii（4） 中的元素可表示成有限和的形式，即 ，12Vriii1i2i1,，但表示法不唯一。i,r注 7 （1） （因为双线性映射未必具有对称性） ；（2） ，说明双线性映射不是单射；00（3）表示法不唯一，说明双线性映射不是满射。命题 13 设 是域 F上的有限维线性空间，则有同构映射123V,，使 ；1223: V1有同构映射 ，使 ，其中11: 2。123V,注 8 命题 13说明在同构的意义下，张量积满足结合律，交换律。六、进一步推广1、由双线性映射推广到多重线性映射、多重线性函数，例如可以把 n级行列式看成是 上的一个 n重线性函数。nF2、由两个线性空间的张量积推广到多个线性空间的张量积。3、线性空间的张量积推广到线性变换的张量积、矩阵的张量积、模的张量积，代数的张量积等等。4、通过张量积建立张量代数，外代数（格拉斯曼代数）等。参考文献1、丘维声.高等代数学习指导书(上、下册)2、聂灵沼,丁石孙.代数学引论3、厦门大学.高等代数精品课程网站
