1、第二章 Langevin 方程与数值模拟问题：系统的作用量或 Hamiltonian量为 S平衡态分布为 ，Se（这里温度已吸收到 S） 。假设系统 时处于一初始状态0t系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。第一节 单自由度的 Langevin方程和 Fokker-Planck方程实 数:xxSLangevin方程 txdtx: 02ttt 高 斯 随 机 数对固定 t P2e2201edZt这里的 t 通常也是介观时间。如果没有随机力，平衡态为 ，即能量取极小值。0dxtSx如果存在随机力，体系会被推离能量极
2、小，处于某种能量较高的平衡态。例如：布朗运动 花粉在液体中的运动0ttvdtm一维解 01t ttmmetdve 2222 20ttt tvtv dt 2220t ttmmee如 22210t tv如 ，这便是随机行走。2tm在布朗运动的方程中加入自身的相互作用 dvSvt ttx可以理解为广义的 Langevin 方程。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。由于随机力的存在，Langevin 方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时间分立化 在数值模拟中应用 较直观，tt2 tt01Z =212lnZ 4t
3、Langevin方程()Sxtxttxt t令 2t ()()ttttxStx2方程的解 是随机变量，在数值模拟中给定初始值 还t tx,0不确定，与随机力有关。也就是说，在 t时刻，x 遵从一个分布。;Pxt物理量 的平均值x;tdxPtx时 刻 遵 从 的 分 布在是 xtxP;问题： 的含义？t答：必须对 t之前的所有随机力做平均。 221txttxttt 221 ttxStxttt 以 及 更 早 的 随 机 力 有 关只 与无 关 ，与 tttx txStxtxt 0t又 22 ttx 2xSt txPxtxSxdP;22还 作 用 于分 步 积 分 这里做分步积分时，假设 0);(
4、tP另一方面 txPdxtx,Fokker-Planck方程0;,;txPtSHtxtxPFPFP当 ;FP显然 ;xPxSe思考题：试讨论 为平衡态的条件Se第二节 多自由度的 Langevin方程和自由场这里 是空间指标xSxtxtxt ttdtx 2,0,时空分立化 20jii i iii ijijtStttt tt ;i iidP221i j ijj ijjjjjStt 2;iiiiiSdPtt 2 ;iiiiiPt ; ;iFPiPtHtiiiiFP SH不 仅 仅 作 用 于注 意 ， ;PSe关于 Kernel 02tjiji ijjii KtttSKt 练习：推导 F-P方程，
5、证明平衡态为 。Se自由场 txtxtmdtxS 2,0,2120动量变换 xpixpiedp4421 2, ,tmtpt 2 22 2020, ,0,0,tpmt mttpmt pmtpededteptdeptpt 关于 Kernel的作用tpKtpmpKtp ,2 20 0tt Kpmtede Kernel不改变平衡态，但可以改变动力学演化过程。e.g.如 ，演化极慢，我们可取 ，则2mp 21/()p0, ,0tt teptde 这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题，称为Fourier加速法。但在有相互作用时，如何选取 可以达到“加速”K的目的，是重合悬而未决的问题。第三节 L
6、angevin 方程的路径积分表述txStx,生成泛函 14,JJJxtZedeABtAxtBtd对 的微商，可以得到任何物理量的平均值。JZ求恒等式,1det,xtSAt0de为 积 分 变 换 ，对单自由度如果 只有唯一解0,xyfxyfd,1这恒等式对任意 成立。作积分变换 )(yxfyd,1在积分号内， 是 的任意函数。 但积分后，由于 函数的作x 用， 取 的解。y0,yf关键：令 ，则积分后 为 Langevin方程的解。i.e. tx,detJJ Se 由于 函数的存在，这里的 可以看成和 无关。214142dettJJSJ SZdeA 引入辅助场玻色场 ，费米场tx,txct,
7、22HJJ tZdeSSHcc第四节 复 Langevin方程xSixSxS Ir，为 复 数自然延拓 yiZ到 tZdt注意: 保持为实数。t问题：这样的 Langevin方程是否给出平衡态分布 ?Se引入复分布 ，令txPC;xdtZ注意：这里 为实数形式上不难推导xSHtPtxPxFCFCt ;假设当 0;ttCt练 习似乎也有平衡态 ;xPCxSe作相似变换txPetxCxSC;2xSxSeeexSHxxSxxS xxxSxFPFPt 212122 222则注意：在类似于量子力学的框架下，定义内积(),*()fxgdxfg则 xiitxtx 对 比假设 为实函数，则SxSxSHxtxFP2121 为正定算符设 nnFPE200 xSe假设 的基态没简并FPH0, 0nE
