1、高等代数简介一、高等代数的教学目的及重要性代数学是以代数结构作为研究对象的一门学科。所谓代数结构, 就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。高等代数是代数学的基础部分,是高等学校数学学院的学生的一门专业基础课程，它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。高等代数这门课程概念多, 理论性强, 内容抽象, 充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征。通过该课程的学习, 可逐渐培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生的数学素质。随着科学技术的进步, 特别是计算机技术的迅速发展与普及,代数学在信息科学、计算机科学和物理学等许多领
2、域都有着非常广泛的应用。高等代数作为数学学院各专业的重要基础课,学习的好坏, 直接关系到多门后续课程的学习, 同时又关系到学生以后从事科学与技术研究的基本功。二、高等代数简要发展史代数学是一门古老的数学学科，最简单的代数运算正整数和有理数的算术运算及这些运算的代数性质在古代就知道了，17-18世纪“代数学”被理解为在代数符合上进行运算的科学，即对由字母组成的公式的“恒等”变换、解代数方程等，到18世纪中叶，代数学或多或少地相当于现在的“初等代数”。18世纪和19世纪的代数学处理的主要内容是多项式。历史上，首要的问题是求解一个未知数的代数方程即求解下述类型的方程 100nnaxa其目的是推导出由
3、方程的系数经加、减、乘、除及开方所构成的公式来表示方程的根。事实上，人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。16世纪意大利数学家发现了解三次方程和四次方程的求解公式。这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的求解公式。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家大量的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决。同时，这个时期对于任意复系数代数方程的复根的存在性就成为数学家的主要兴趣，在18世纪和19世纪交替的时候，德国数学家高斯证明了代数方程有解存在的基本定理即代数基本定理。到了19 世纪初, 挪威青年数学家阿贝尔证明了五次或五次以上的方程一般不能用根式求解,
4、即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。19 世纪初30年代，法国一位青年数学家伽罗华对代数方程使用根式求解的可能性给出了一个一般性的判别法，使高次代数方程求解问题得到彻底解决。到19世纪中叶和后半世纪，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。他在数学史上做出的贡献, 不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他所引入的思想，大大推动了对于群、域以及其它一些代数体系的研究，开辟了代数学的一个崭新的天地, 直接影响了代数学研究方法的变革，促进了代数学的进一步发展。三、高等代数的基本内容数学学院的学生的数学教育是从三大基
5、础课程开始的。这三大课程就是数学分析、高等代数和解析几何。这三门课程在很多地方是有联系的，而且有些地方是彼此重复的学科，共同构成了近代数学的基础。高等代数比初等代数提高一步，是中学初等代数课程的基本内容的扩展。中学代数课程的中心内容是关于解方程的问题。而中学初等代数研究的方程是从只含一个未知量的一次方程这种很简单的方程开始的，然后向两个方面去扩展。一方面，讨论含有两个未知量两个方程的方程组，以及三个未知量三个方程的方程组；另一方面，研究只含一个未知量的二次方程和某些很容易化为二次方程的特殊类型的高次方程。在高等代数课程中，这两个方向都得到进一步的发展，把它们分成了两个大的部分。其中的一个是线性
6、代数，线性代数基本上是讨论线性方程组、矩阵理论以及和矩阵结合的线性空间和线性变换理论的一个大的学科。它是从线性方程组这个问题的研究开始的。为了解出方程的个数等于未知量的个数这样的线性方程组，我们需要研究行列式的理论。关于行列式这部分内容，主要讨论行列式的定义、性质和计算，然后以行列式为工具给出方程的个数等于未知量的个数这样的线性方程组的解的公式表示式克莱姆法则。对于方程的个数与未知量的个数不等的线性方程组的研究，行列式这个工具是不够用的。为此，我们需要研究矩阵的理论。事实上，矩阵本质上是独立的理论，矩阵和它的应用范围远远超出了求解线性方程组，它不仅在数学领域里, 而且在力学、物理、经济学等方面
7、都有十分广泛的应用。另一方面，研究线性方程组解的结构时，还要讨论n维向量及n维向量空间。向量空间在很多数学学科的研究中，同时在物理学和力学中，都是重要的工具。线性空间是向量空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性。线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用。线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换的抽象和推广,它的理论和方法特别是与之相适应的矩阵理论和方法在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用。线性变换这部分的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上主要是利用线性变换与
8、矩阵的对应关系和相互转换。高等代数的另一部分是多项式代数，多项式代数是以探讨代数方程的根的存在性作为中心问题的。多项式代数所研究的内容, 包括整除性理论、最大公因式、重因式等。研究多项式代数, 主要在于探讨代数方程的性质。我们知道关于二次、三次和四次方程有公式解，而对于五次或五次以上的高次方程不存在公式解。事实上，不能给出高次方程的公式解，并不影响多项式代数的研究和发展。即使对于三次和四次方程来说，这种公式虽然存在，但是非常麻烦而且几乎是没有什么实际用途的。另一方面，在解决物理和工程问题时，所得出的这些方程的系数，常常是从测量的结果得出来的数值，只是一些近似值，所以我们只需要在已知准确度内给出
9、根的近似值。因此，多项式的中心问题不是具体的来求出方程的根，而是关于根的存在性。我们知道实系数二次方程不一定有实根存在。但把数扩大到全部复数，我们就能得到任何实系数二次方程的根。那么，是否有这样的高次方程存在，它并没有一个复数根，或者为了求出它的根，必须把复数扩大到更大的一类数？代数基本定理回答了这个问题。这个定理给出了每一个方程，不管它的系数是实数还是复数，都有复根存在，而且根的个数和方程的次数相等。上面我们简略的描绘了高等代数的主要内容。事实上高等代数只是内容丰富，分支很多的代数学的开端。高等代数范围以外的代数分支很多，比如群、环、域、格等，而且应用非常广泛，代数学的概念、思想和方法广泛应用于数论、泛函分析、微分方程理论、几何学、张量代数及其它数学学科中。除了在数学学科中的基本作用外，代数学在物理学、控制论、数理经济学等都有重要应用。无可否认，代数学的辉煌发展，达到今天的成就，决不是偶然的现象，它是数学总的发展的一部分，一方面，代数学是为了回答从其他数学学科向代数学提出的问题所发展起来的。另一方面，代数学自身的发展对于它临近的数学分支的发展，已经显示而且正在显示出它的作用。
