1、 西北大学学报(自然科学网络版) 2004 年 8 月，第 2 卷，第 8 期Science Journal of Northwest University Online Oct. 2004，Vol.2，No. 8 _收稿日期：2003-10-24基金项目：陕西省自然科学基金资助项目（2002A11）审 稿 人：张文鹏，男，西北大学数学系教授，博土生导师一个新的数论函数及其均值性质张 健（西安财经学院 数学系，陕西 西安 710061）摘 要：引入了一个新的数论函数，并利用解析方法及可乘性 质研究了这个数论函数的均值性质，给出了这个数论函数的几个渐近公式。关 键 词：数论函数；均值；渐近公式中
2、图分类号：O156.4 文献标识码：A 文章编号： 1000-274X(2004)0085-041 引言及结论众所周知，数论函数的均值性质在解析数论研究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关，因而其研究工作具有十分重要的理论意义。本文的主要目的是引入一个新的数论函数 ，)(nR其定义如下 1)(R对任意素数 及正整数 ，定义 ，当正整数 的标准分解式为 时，定义p)(pnkpn1。kknR 11)()()这样定义的数论函数显然是可乘的，但不是完全可乘函数，本文的主要目的是研究 的均值性质，)(nR并利用解析方法证明下面两个有趣的定理。定理 1 对任意实数 ，有渐进公式xpxn
3、xOR2121)(其中： 为任意给定的正实数； 表示对所有素数 求积。 p定理 2 对任意实数 ，有1x。 xnp xOpxR)(1)ln(6)( 212 2 定理的证明首先证明定理 1，对任意复数 ，引入函数)(es21)()(nsRsf显然，当 时， 是绝对收敛的，于是由 Euler 积公式（文献1 中定理 11.7）和 的可乘性Re )(nR质可得pnssns pRRsf )()(1)()(1 pssp nsss 122 pss21)(在 Perron 公式（参阅文献2中定理（6.2）中取 ，可得2,3Tb xOdsfinRiTx 223)(1)(在上式积分线移至 处，此时经过被积函数在
4、 处的一阶极点，其留数为es 1,于是取 可得px21xT 21212)(1)( xOdsfipnRxp iT pTtitfO)(|1| 2122 pxx2121这就证明了定理 1。同理设 1)()(nsRsg则由 Euler 积公式可得3psp nssspsg 1ln121)( p ppssssss p1)l(lnpss1)l(1)2(由于 ，于是 ，所以)()1ln(2xO sssp2lnp pssss O211l从而当 时， 是绝对收敛的非零常数，然后由 Perron 公式以及证明定理 1 的1spp1)ln(方法，并注意到 ，容易得到6)2(。 xnp xOpxR)(1)ln()(12
5、12 于是完成了定理 2 的证明。参考文献：1 APSTOL T M. Introduction to Analytic Number TheoryM. New York: Springer-Verlag, 1976.2 PAN Cheng-dong, PAN Cheng-biao. Foundation of Analytic Number TheoryM. Beijing: Science Press,1997.(编辑 曹大刚)A new arithmetical function and its mean value propertiesZHANG Jian(Department of
6、Applied Mathematics , Xian Economic College, Xian 710061,China)Abstract:A new arithmetical function is introduced ,and some asymptotic formulas about it are given.4Key words: arithmetical function; mean value; asymptotic formula作 者 简 介张 健，女，陕西乾县人，生于 1963 年 9 月。 1984 年毕业于汉中师范学院数学系,2000 年 7 月，西北大学基础数学
7、研究生 课程班结业。 现为 西安财经学院数学系讲师，主讲高等数学、线性代数与线性规 划、概率与数理 统计等课程。近年来，在多种重要学术期刊上发表科研论文 20 余篇。其中 :“Banach 空间的次强收敛”，定义了一种新的收敛次强收敛，并讨论了强收敛、弱收敛与次强收敛之间的关系；“关于正整数的立方部分 ”研究了两个数列u(n)和v (n)（对于任意正整数 n，定 义 u(n)为不大于 n的最大立方数， v(n)为不小于 n的最小立方数）的性质，并给出了两个有趣的 渐近公式；“ 一个新的算术函数及其均值的上界估计”，通过对一个著名的算术函数的研究，给出了一个新的算 术函数，并 对其均值进 行了上界估计。
