1、第 1 页 共 45 页一元二次方程及其应用一.选择题1.（2015 上海,第 10 题 4 分）如果关于 x 的一元二次方程 x24xm 0 没有实数根，那么m 的取值范围是_【答案】【解析】2 （2015湖南省衡阳市，第 8 题 3 分）若关于 的方程 有一个根为1，则另一个根为（ ） A2 B2 C4 D33 （2015湖南省衡阳市，第 11 题 3 分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米设绿地的宽为 米，根据题意，可列方程为（ ） A B C D4 （2015湖南省益阳市，第 7 题 5 分）沅江市近年来大力发展芦
2、笋产业，某芦笋生产企业第 2 页 共 45 页在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为（ ）A20（1+2x）=80 B 220（1+x）=80 C 20（1+x 2）=80 D20（1+x） 2=80考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 增长率问题分析： 根据第一年的销售额（1+平均年增长率） 2=第三年的销售额，列出方程即可解答： 解：设增长率为 x，根据题意得 20（1+x） 2=80，故选 D点评： 本题考查一元二次方程的应用求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后
3、的数量关系为 a（1x） 2=B （当增长时中间的“”号选“+”，当下降时中间的“” 号选“ ”） 5(2015湖南株洲 ,第 8 题 3 分)有两个一元二次方程：M： N：20axbc，其中 ，以下列四个结论中，错误的是 ( )20cxba0cA如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根；B如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同；C如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根；15D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 1x【试题分析】本题是关于一元二次方程的判别式，及根与系数的关系：A M 有两个不相等的
4、实数根0即 24bac而此时 N 的判别式 ，故它也有两个不相等的实数根；240bac第 3 页 共 45 页BM 的两根符号相同：即 ，而 N 的两根之积 0 也大于 0，故 N 的两120cxaac个根也是同号的。C如果 5 是 M 的一个根，则有： ，我们只需要考虑将 代入 N 方程250abc15看是否成立，代入得： ，比较 与 ，可知式是由式两边同时1c除以 25 得到，故式成立。D比较方程 M 与 N 可得：故可知，它们如果有根相同的根可是 1 或1答案为：D6. （2015四川成都 ,第 8 题 3 分）关于 的一元二次方程 有两个不相等实x012xk数根，则 的取值范围是k（A
5、） （B） （C） （D） 且11k0kk【答案】：D【解析】：这是一道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则 ，然后有两个不想0k等的实数根，则 ，则有 ，所以 且 ，因024(1)01k10k此选择 。7. （2015四川凉山州,第 7 题 4 分）关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）A B C 且 D 且【答案】D- 2()()1 acx 第 4 页 共 45 页考点：1根的判别式；2一元二次方程的定义8. （2015 四川泸州,第 10 题 3 分）若关于 的一元二次方程 有两个不x210xkb相等的实数根,则一次函数 的大致图象可能是 ykbDCBA OOO
6、O xyxyxyyx考点：根的判别式；一次函数的图象.分析：根据一元二次方程 x22x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，得到判别式大于 0，求出kb 的符号，对各个图象进行判断即可解答：解：x 22x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，=44（kb+1）0，解得 kb0，Ak0，b0，即 kb0，故 A 不正确；Bk 0，b 0，即 kb0，故 B 正确；Ck 0，b 0，即 kb0，故 C 不正确；Dk0，b=0，即 kb=0，故 D 不正确；故选：B点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=
7、0 方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根第 5 页 共 45 页9. （2015 四川眉山，第 8 题 3 分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）A（x1） 2=0 B x2+2x19=0 C x2+4=0 Dx2+x+l=0考点： 根的判别式.分析： 根据一元二次方程根的判别式，分别计算 的值，进行判断即可解答： 解：A、=0，方程有两个相等的实数根；B、=4+76=800，方程有两个不相等的实数根；C、= 160，方程没有实数根；D、=14= 3 0，方程没有实数根故选：B点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac：当
8、0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根10 （2015 山东日照 ，第 9 题 4 分） ）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014 年县政府已投资 5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）A 20% B 40% C 220% D 30%考点： 一元二次方程的应用.专题： 增长率问题分析： 首先设每年投资的增长率为 x根据 2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2016 年投资
9、7.2 亿元人民币，列方程求解解答： 解：设每年投资的增长率为 x，根据题意，得：5（1+x） 2=7.2，解得：x 1=0.2=20%，x 2=2.2（舍去） ，第 6 页 共 45 页故每年投资的增长率为为 20%故选：A点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为 a（1+x） n，其中 n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，x 是增长率11 （2015 四川广安，第 8 题 3 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A12 B 9 C 13 D12 或 9考点： 解一元二次方程因式
10、分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质.分析： 求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可解答： 解：x 27x+10=0，（x2） （x 5）=0，x2=0，x 5=0，x1=2，x 2=5，等腰三角形的三边是 2，2，52+25，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是 12故选：A点评： 本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长12. （2015 山东济宁，5，3 分）三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程
11、的根，则三角形的周长为( )A.13 B.15 C.18 D.13 或 18第 7 页 共 45 页【答案】A【解析】试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为 ，那么根据三角形的三边关系，可知 3第三边9，得到合题意的边为 4，进而求得三角形周长为 3+4+6=13故选 A考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长13 （2015 甘肃兰州 ,第 6 题，4 分）一元二次方程 配方后可变形为0182xA. B. 17)4(2x 5)4(xC. D. 2【 答 案 】C【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质，以及乘法公式中的相关知识。【知识准备】完全平方公式：22)(cabba【解答
12、过程】将各选项左边展开，并整理成一般式：A： ， ；17682x0182xB： ， ；5C： ， ；2x2xD： ， ，168018因此正确选项为 C【思维模式】此类题的关键在于配方【一题多解】由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西，因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，所以本题亦可采用如下方式进行：在原方程中，取 ，此时，左边=1，右边=0，0x在各选择支中，如果变形是正确的话，左边应该始终比右边的值小 1，在 时，0xA 左=16，A 右=17； B 左=16，B 右=15，则 (
13、即 B 被排除)；C 左=16 ，C 右=17 ； D 左=16，D 右=15，则 ；第 8 页 共 45 页现在留下 A、C 两个选项，难道两个都是正确的吗？当然不是。我们再换一个 的值试试：取 ，那么原式左边=8，原式右边=0，x1x也就是说：在同样的条件下，如果是正确的变形，那么一定是满足左边=右边8，反之，如果不满足这一条件，那么就一定是错的。当 时，A 左=25A 右8，所以1xA这里需要提醒注意的是：这样的方法只能用来排除错误，不能保证正确。如在本题中，当 时，虽然也有 C 左=C 右8，但不能就此判言 C 为正确，但因为xA，B，D 都已被排除，所以唯一留下的 C 选项必为对的。
14、再啰嗦一句：上面介绍的“特殊值法”，在本题中其实反而显得很笨拙，但如果换个场合，有可能是一个高效、灵活的解题方法。【题目星级】14 （2015 广东省 ,第 8 题，3 分）若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，2904xa则实数 a 的取值范围是【 】A. B. C. D.2 2a 2a【答案】C.【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式. 【分析】关于 的方程 有两个不相等的实数根，x2904xa ，即 14 90，解得 .29140 a 2a故选 C.15 （2015 甘肃兰州 ,第 11 题，4 分）股票每天的涨、跌幅均不超过 10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫
15、做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 ，x则 满足的方程是xA. B. 10)(2910)(2x第 9 页 共 45 页C. D. 102x 9102x【 答 案 】B【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质【知识准备】所谓某个量 ，它增长了 ，意味着增长部分是 ，那么它就由原m%p%pm来的 ，增长到了（ ） ，也就是m)1(【思路点拔】我们可以将整个原价假设为 1（如果你觉得不放心，也可以假设为 或 等a与现有字母不冲突的任何字母） ，那么跌停后的价格就是 0.9。之后两天中的第一天
16、，是在 0.9 的基础上增加了 ，那么就是到了 ；x)1(9.0x接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为 ，但是起步价变了，已经不是 0.9，而是前一天收市之后的 ，它是在 的基础上增加到了 倍（请注意增加和)1(9.0x)1(9.0)(增加到的区别） ，因此，现在的股价是 ，也就是 。)(.x219.0x【解答过程】跌停后，股价为 0.9，连续两天按照 的增长率增长后，股价为 ，2)(.根据题意，得方程 ，那么正确选项为 B。1)(9.02x【易错点津】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。【题目星级】16 （20
17、15 安徽省 ,第 6 题，4 分）我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014 年增速位居全国第一若 2015年的快递业务量达到 4.5 亿件，设 2014 年与 2013 年这两年的平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）A1.4(1x) 4.5 B1.4(12x)4.5C1.4(1x) 24.5 D1.4(1x)1.4(1 x) 24.5考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：增长率问题分析：根据题意可得等量关系：2013 年的快递业务量（1+增长率） 2=2015 年的快递业务第 10 页 共 45 页量，根
18、据等量关系列出方程即可解答：解：设 2014 年与 2013 年这两年的平均增长率为 x，由题意得1.4（1+x） 2=4.5，故选：C点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x） 2=B17.（2015 山东聊城 ,第 13 题 3 分）一元二次方程 x22x=0 的解是 x 1=0，x 2=2 考点： 解一元二次方程因式分解法.分析： 本题应对方程左边进行变形，提取公因式 x，可得 x（x2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0 ”，即可求得方程的解解答： 解：原方程变形为：x（x 2）=0，x1=0，x 2=2故答案为：x 1=0，x 2=2点评： 本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法18. （2015浙江金华，第 5 题 3 分）一元二次方程 的两根为 ， ，则2x4301x2的值是【 】12xA. 4 B. 4 C. 3 D. 3【答案】D.【考点】一元二次方程根与系数的关系.【分析】一元二次方程 的两根为 ， ，2x4301x2 .123x
