1、1行测数学运算 49种经典类型一、容斥原理 容斥原理关键就两个公式： 1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=AB+AB2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=ABC+AB+BC+CA-ABC请看例题：【例题 1】某大学某班学生总数是 32人，在第一次考试中有 26人及格，在第二次考试中有 24人及格，若两次考试中，都没及格的有 4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22 B.18 C.28 D.26【解析】设 A=第一次考试中及格的人数(26 人),B=第二次考试中及格的人数(24 人),显然,A+B=26+24=50； AB=32-4=28，则根据 AB=A+B-AB=50-28=2
2、2。答案为 A。【例题 2】电视台向 100人调查前一天收看电视的情况，有 62人看过 2频道，34 人看过 8频道，11 人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？ 【解析】设 A=看过 2频道的人(62)，B=看过 8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；AB=两个频道都看过的人(11)，则根据公式 AB= A+B-AB=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为 100-85=15人。二、作对或做错题问题 某次考试由 30到判断题，每作对一道题得 4分，做错一题倒扣2分，小周共得 96分，问他做错了多少道题？ A.12 B.4 C.2 D.5【解析】 方法一 假设
3、某人在做题时前面 24道题都做对了,这时他应该得到 96分,后面还有 6道题,如果让这最后 6道题的得分为 0,即可满足题意.这 6道题的得分怎么才能为 0分呢?根据规则,只要作对 2道题,做错 4道题即可,据此我们可知做错的题为 4道,作对的题为 26道.方法二 作对一道可得 4分,如果每作对反而扣 2分,这一正一负差距就变成了 6分.30道题全做对可得 120分,而现在只得到 96分,意味着差距为 24分,用 246=4即可得到做错的题,所以可知选择 B三、植树问题 总路线长间距(棵距)长棵数。只要知道三个要素中的任意两个要素，就可以求出第三个。【例题 1】李大爷在马路边散步，路边均匀的栽
4、着一行树，李大爷从第一棵数走到底15棵树共用了 7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第 5棵树是共用了30分钟。李大爷步行到第几棵数时就开始往回走？2A.第 32棵 B.第 32棵 C.第 32棵 D.第 32棵解析：李大爷从第一棵数走到第 15棵树共用了 7分钟，也即走 14个棵距用了 7分钟，所以走没个棵距用 0.5分钟。当他回到第 5棵树时，共用了 30分钟，计共走了300.5=60个棵距，所以答案为 B。第一棵到第 33棵共 32个棵距，第 33可回到第 5棵共28个棵距，32+28=60 个棵距。【例题 2】为了把 2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保
5、，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多 6000米，若每隔 4米栽一棵，则少 2754棵；若每隔 5米栽一棵，则多 396棵，则共有树苗：( ） A.8500 棵 B.12500 棵 C.12596棵 D.13000 棵解析：设两条路共有树苗棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可根据路程相等列出方程：(+2754-4)4=(-396-4)5(因为 2条路共栽 4排，所以要减 4)解得=13000，即选择 D。四、和差倍问题 核心要点提示：和、差、倍问题是已知大小两个数的和或差与它们的倍数关系，求大小
6、两个数的值。(和+差)2=较大数；(和差)2=较小数；较大数差=较小数。【例题】甲班和乙班共有图书 160本，甲班的图书是乙班的 3倍，甲班和乙班各有图书多少本？解析：设乙班的图书本数为 1份，则甲班和乙班图书本书的合相当于乙班图书本数的4倍。乙班 160（3+1)=40(本)，甲班 403=120(本)。五浓度问题【例 1】(2008 年北京市应届第 14题) 甲杯中有浓度为 17%的溶液 400克，乙杯中有浓度为 23%的溶液 600克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两倍溶液的浓度是多少( )
7、 A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 【答案】B。【解析】这道题要解决两个问题： (1)浓度问题的计算方法浓度问题在国考、京考当中出现次数很少，但是在浙江省的考试中，每年都会遇到浓度问题。这类问题的计算需要掌握的最基本公式是(2)本题的陷阱条件 “现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两倍溶液的浓度相同。”这句话3描述了一个非常复杂的过程，令很多人望而却步。然而，只要抓住了整个过程最为核心的结果“甲、乙两杯溶液的浓度相同”这个条件，问题就变得很简单了。因为两杯溶液最终浓度相同，因此整个过程可以等效为将甲、乙
8、两杯溶液混合均匀之后，再分开成为 400克的一杯和 600克的一杯。因此这道题就简单的变成了“甲、乙两杯溶液混合之后的浓度是多少”这个问题了。根据浓度计算公式可得，所求浓度为：如果本题采用题设条件所述的过程来进行计算，将相当繁琐。六行程问题【例 1】(2006 年北京市社招第 21题)2 某单位围墙外面的公路围成了边长为 300米的正方形，甲乙两人分别从两个对角沿逆时针同时出发，如果甲每分钟走 90米，乙每分钟走 70米，那么经过( )甲才能看到乙 A.16分 40秒 B.16 分 C.15 分 D.14 分 40秒【答案】A。这道题是一道较难的行程问题，其难点在于“甲看到乙”这个条件。有一种
9、错误的理解就是“甲看到乙”则是甲与乙在同一边上的时候甲就能看到乙，也就是甲、乙之间的距离小于 300米时候甲就能看到乙了，其实不然。考虑一种特殊情况，就是甲、乙都来到了这个正方形的某个角旁边，但是不在同一条边上，这个时候虽然甲、乙之间距离很短，但是这时候甲还是不能看到乙。由此看出这道题的难度甲看到乙的时候两人之间的距离是无法确定的。有两种方法来“避开”这个难点解法一：借助一张图来求解虽然甲、乙两人沿正方形路线行走，但是行进过程完全可以等效的视为两人沿着直线行走，甲、乙的初始状态如图所示。图中的每一个“格档”长为 300米，如此可以将题目化为这样的问题“经过多长时间，甲、乙能走入同一格档？”观察
10、题目选项，发现有 15分钟、16 分钟两个整数时间，比较方便计算。因此代入 15分钟值试探一下经过 15分钟甲、乙的位置关系。经过 15分钟之后，甲、乙分别前进了90151350 米(4300150)米 70151050 米(3300150)米4也就是说，甲向前行进了 4个半格档，乙向前行进了 3个半格档，此时两人所在的地点如图所示。甲、乙两人恰好分别在两个相邻的格档的中点处。这时甲、乙两人相距 300米，但是很明显甲还看不到乙，正如解析开始处所说，如果单纯的认为甲、乙距离差为 300米时，甲就能看到乙的话就会出错。考虑由于甲行走的比乙快，因此当甲再行走 150米，来到拐弯处的时候，乙行走的路
11、程还不到 150米。此时甲只要拐过弯就能看到乙。因此再过 150/901 分 40秒之后，甲恰好拐过弯看到乙。所以甲从出发到看到乙，总共需要 16分 40秒，甲就能看到乙。这种解法不是常规解法，数学基础较为薄弱的考生可能很难想到。解法二：考虑实际情况由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此实际情况下，甲能够看到乙恰好是当甲经过了正方形的一个顶点之后就能看到乙了。也就是说甲从一个顶点出发，在到某个顶点时，甲就能看到乙了。题目要求的是甲运动的时间，根据上面的分析可知，经过这段时间之后，甲正好走了整数个正方形的边长，转化成数学运算式就是90t300n其中，t 是甲运动的时间，n 是一个整数。带入题目四个
12、选项，经过检验可知，只有 A选项 16分 40秒过后，甲运动的距离为90（166040)/6015003005符合“甲正好走了整数个正方形的边长”这个要求，它是正确答案。七抽屉问题三个例子： （1）3 个苹果放到 2个抽屉里，那么一定有 1个抽屉里至少有2个苹果。 （2）5 块手帕分给 4个小朋友，那么一定有 1个小朋友至少拿了 2块手帕。 （3）6 只鸽子飞进 5个鸽笼，那么一定有 1个鸽笼至少飞进 2只鸽子。 我们用列表法来证明例题（1）： 放 法 抽 屉 种 种 种 种 第 1 个抽屉 3个 2个 1个 0个 5第 2 个抽屉 0个 1个 2个 3个 从上表可以看出，将 3个苹果放在 2
13、个抽屉里，共有 4种不同的放法。 第、两种放法使得在第 1个抽屉里，至少有 2个苹果；第、两种放法使得在第 2个抽屉里，至少有 2个苹果。 即：可以肯定地说，3 个苹果放到 2个抽屉里，一定有 1个抽屉里至少有 2个苹果。 由上可以得出： 题 号 物 体 数 量 抽屉数 结 果 （1） 苹 果 3个 放入 2个抽屉 有一个抽屉至少有 2个苹果 （2） 手 帕 5块 分给 4个人 有一人至少拿了 2块手帕 （3） 鸽 子 6只 飞进 5个笼子 有一个笼子至少飞进 2只鸽 上面三个例子的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有 2个这样的物体。从而得出： 抽屉原理 1：把多于 n
14、个的物体放到 n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 2个或 2个以上的物体。 再看下面的两个例子： （4）把 30个苹果放到 6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于 5？ （5）把 30个以上的苹果放到 6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于 5？ 解答:（4）存在这样的放法。即：每个抽屉中都放 5个苹果；（5）不存在这样的放法。即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有 6个苹果。 从上述两例中我们还可以得到如下规律： 抽屉原理 2：把多于 mn个的物体放到 n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 m1 个或多于 ml 个的物体。 可以看
15、出，“原理 1”和“原理 2”的区别是：“原理 1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“原理 2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。 以上两个原理，就是我们解决抽屉问题的重要依据。抽屉问题可以简单归结为一句话：有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。解此类问题的重点就是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了，“苹果”才好放。 6我们先从简单的问题入手： （1）3 只鸽子飞进了 2个鸟巢，则总有 1个鸟巢中至少有几只鸽子？（答案：2 只） （2）把 3本书放进 2个书架，则总有 1个书架上至少放着几本书？（答案：2 本） （3）把 3封信投进 2个邮筒，则
16、总有 1个邮筒投进了不止几封信？（答案：1 封） （4）1000 只鸽子飞进 50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？（答案：10005020，所以答案为 20只） （5）从 8个抽屉中拿出 17个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？（答案：17821，213，所以答案为3） （6）从几个抽屉中（填最大数）拿出 25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了 7个苹果？（答案：256，可见除数为 4，余数为 1，抽屉数为 4，所以答案为 4个） 抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。如上面（1
17、）、（2）、（3）题，讲的就是这些原理。上面（4）、（5）、（6）题的规律是：物体数比抽屉数的几倍还多几的情况，可用“苹果数”除以“抽屉数”，若余数不为零，则“答案”为商加 1；若余数为零，则“答案”为商。其中第（6）题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。 抽屉问题的用处很广，如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手，实际上却是相当有趣的数学问题。 例 1：某班共有 13个同学，那么至少有几人是同月出生？（ ）A. 13 B. 12 C. 6 D. 2 解 1：找准题中两个量，一个是人数，一个是月份，把人数当作“苹果”，把月份当作“抽屉”，那么问题就变成：13 个苹果放
18、12个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放两个苹果。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理 1”】 例 2：某班参加一次数学竞赛，试卷满分是 30分。为保证有 2人的得分一样，该班至少得有几人参赛？（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解 2：毫无疑问，参赛总人数可作“苹果”，这里需要找“抽屉”，使找到的“抽屉”满足：总人数放进去之后，保证有 1个“抽屉”里，有 2人。仔细分析题目，“抽屉”当然是得分，满分是 30分，则一个人可能的得分有 31种情况（从 0分到 30分），所以“苹果”数应该是 31132。【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理 2”】 7例 3. 在某校数学乐园中，五年级学生共有
19、 400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到 1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这 400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？ 解 3：因为年龄最大的与年龄最小的相差不到 1岁，所以这 400名学生出生的日期总数不会超过 366天，把 400名学生看作 400个苹果，366 天看作是 366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由“抽屉原则2”知“无论怎么放这 400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有2（40036611，112）个苹果”。即：一定能找到 2个学生，他们是同年同月同日出生的。 例 4：有红色、白色、黑
20、色的筷子各 10根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？ 解 4：把 3种颜色的筷子当作 3个抽屉。则： （1）根据“抽屉原理 1”，至少拿 4根筷子，才能保证有 2根同色筷子；（2）从最特殊的情况想起，假定 3种颜色的筷子各拿了 3根，也就是在 3个“抽屉”里各拿了 3根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿 1根筷子，就有 4根筷子是同色的，所以一次至少应拿出 33110（根）筷子，就能保证有 4根筷子同色。 例 5. 证明在任意的 37人中，至少有 4人的属相相同。 解 5：将 37人看
21、作 37个苹果，12 个属相看作是 12个抽屉，由“抽屉原理 2”知，“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有 4个苹果”。即在任意的 37人中，至少有 4（371231，314）人属相相同。 例 6：某班有个小书架，40 个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有 1个同学能借到 2本或 2本以上的书？ 分析：从问题“有 1个同学能借到 2本或 2本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有 2个或 2个以上的苹果”。所以我们应将 40个同学看作 40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。 解 6：将 40个同学看作
22、40个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理 1”知：要保证有一个抽屉中至少有 2个苹果，苹果数应至少为 40141（个）。即：小书架上至少要有41本书。 例 7：（国家公务员考试 2004年 B类第 48题的珠子问题）： 有红、黄、蓝、白珠子各 10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色 相同，应至少摸出几粒？（ ） A3 B4 C5 D6 解 7：把珠子当成“苹果”，一共有 10个，则珠子的颜色可以当作“抽屉”，为保证 8摸出的珠子有 2颗颜色一样，我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里，摸了 4 个颜色不同的珠子之后，所有“抽屉”里都各有一个，这时候再任意摸 1个，则一定有 一
23、个“抽屉”有 2颗，也就是有 2颗珠子颜色一样。答案选 C。 例 8：（国家公务员考试 2007年第 49题的扑克牌问题）： 从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少 6张牌的花色相同？ A21 B22 C23 D24 解 8：完整的扑克牌有 54张，看成 54个“苹果”，抽屉就是 6个（黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王），为保证有 6张花色一样，我们假设现在前 4个“抽屉”里各放了 5张，后两个“抽屉”里各放了 1张，这时候再任意抽取 1张牌，那么前 4个“抽屉”里必然有 1个“抽屉”里有 6张花色一样。答案选 C。 归纳小结：解抽屉问题，最关键的是要找到谁为“苹果”，谁为“
24、抽屉”，再结合两个原理进行相应分析。可以看出来，并不是每一个类似问题的“抽屉”都很明显，有时候“抽屉”需要我们构造，这个“抽屉”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等等变化的量，但是整体的出题模式不会超出这个范围。八“牛吃草”问题牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1（牛的头数吃草较多的天数牛头数吃草较少的天数）（吃的较多的天数吃的较少的天
25、数）=草地每天新长草的量。 2牛的头数吃草天数每天新长量吃草天数=草地原有的草。下面来看几道典型试题：例 1 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供 20头牛吃 5天，或供 16头牛吃 6天。那么可供 11头牛吃几天？（ ） A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C。9解析：设每头牛每天吃 1份草，则牧场上的草每天减少（205166）（65）=4份草，原来牧场上有 205+54=120份草，故可供 11头牛吃 120（11+4）=8 天。例 2 有一片牧场，24 头牛 6天可以将草吃完；21 头牛 8天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？（
26、） A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C。解析：设每头牛每天吃 1份草，则牧场上的草每天生长出（218246）（86）=12 份，如果放牧 12头牛正好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧 12头牛。例 3 有一个水池，池底有一个打开的出水口。用 5台抽水机 20小时可将水抽完，用 8台抽水机 15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？（ ） A.25 B.30 C.40 D.45【答案】D。解析：出水口每小时漏水为（815520）（2015）=4 份水，原来有水815+415=180份，故需要 1804=45小时漏完。练习： 1一片牧草，可供 16头牛吃 20天，
27、也可以供 80只羊吃 12天，如果每头牛每天吃草量等于每天 4只羊的吃草量，那么 10头牛与 60只羊一起吃这一片草，几天可以吃完？（ ） A.10 B.8 C.6 D.42两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20 秒内男孩走 27级，女孩走了 24级，按此速度男孩 2分钟到达另一端，而女孩需要 3分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级可以看见？（ ） A.54 B.48 C.42 D.36322 头牛吃 33公亩牧场的草，54 天可以吃尽，17 头牛吃同样牧场 28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场 40公亩的草，24 天吃尽？（ ）A.50 B.46 C.38 D.35九利润问题利
28、润就是挣的钱。利润占成本的百分数就是利润率。商店有时减价出售商品，我们把它称为“打折”，几折就是百分之几十。如果某种商品打“八折”出售，就是按原价的 80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原价的 85%出售。利润问题中，还有一种利息和利率的问题，属于百分数应用题。本金是存入银行的钱。利率是银行公布的，是把本金看做单位“1”，按百分之几或千分之几付给储户的。利息是存款到期后，除本金外，按利率付给储户的钱。本息和是本金与利息的和。 这一问题常用的公式有： 定价=成本+利润 利润=成本利润率 定价=成本（1+利润率) 利润率=利润成本 10利润的百分数=(售价-成本)成本100% 售价=定价
29、折扣的百分数 利息=本金利率期数 本息和=本金（1+利率期数) 例 1 某商品按 20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损 4元钱。这件商品的成本是多少元？ A.80 B.100 C.120 D.150 【答案】B。解析：现在的价格为(1+20%)80%=96%，故成本为 4（1-96%)=100 元。 例 2 某商品按定价出售，每个可以获得 45元的利润，现在按定价的八五折出售 8个，按定价每个减价 35元出售 12个，所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元？ ( ) A.100 B.120 C.180 D.200 【答案】D。解析：每个减价 35元出售可获得利润(45-35)12=12
30、0 元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润 1208=15元，少获得 45-15=30元，故每个定价为30（1-85%)=200 元。 例 3 一种商品，甲店进货价比乙店便宜 12%，两店同样按 20%的利润定价，这样 1件商品乙店比甲店多收入 24元，甲店的定价是多少元？( ) A.1000 B.1024 C.1056 D.1200 【答案】C。解析：设乙店进货价为 x元，可列方程 20%x-20%（1-12%)x=24，解得x=1000，故甲店定价为 1000（1-12%)（1+20%)=1056 元。 练习： 1.书店卖书，凡购同一种书 100本以上，就按书价的 90%收款，某学校
31、到书店购买甲、乙两种书，其中乙书的册数是甲书册数的 ，只有甲种书得到了优惠，这时，买甲种书所付总钱数是买乙种书所付钱数的 2倍，已知乙种书每本定价是 1.5元，优惠前甲种书每本定价多少元？ A.4 B.3 C.2 D.1 2.某书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书 200元至 499.99元者优惠 5%，每次买书 500元以上者(含 500元)优惠 10%。某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜 13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜 39.4元。已知第一次付款是第三次付款的 ，这位顾客第二次买了多少钱的书？ A.115 B.120 C.125 D.130 3.商店新进一批洗衣机，按 30%的利润定价，售出 60%以后，打八折出售，这批洗衣机实际利润的百分数是多少？ A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20 十平均数问题这里的平均数是指算术平均数，就是 n个数的和被个数 n除所得的商，这里的 n大于或等于 2。通常把与两个或两个以上数的算术平均数有关的应用题，叫做平均数问题。 平均数应用题的基本数量关系是： 总数量和总份数=平均数
