1、智浪教育 -普惠英才文库 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第 1-5小题每题 8分，第 6-10小题每题 10分，共 90分） 1、对于任意实数 a,b，定义 ,ab=a(a+b) +b, 已知 a2.5=28.5，则实数 a的值是 。 【答案】 4， 1322、在三角形 ABC中， 22b 1 , , 2 aA B B C a C A ，其中 a,b是大于 1的整数，则 b-a= 。 【答案】 0 3、一个平行四边形可以被分成 92个边长为 1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】 50,94 4、已知关于 x的方程 4 3 22 ( 3 ) ( 2 ) 2 0x
2、x k x k x k 有实根，并且所有实根的乘积为 2，则所有实根的平方和为 。 【答案】 5 5、如图，直角三角形 ABC中 , AC=1， BC=2， P为斜边 AB上一动点。 PE BC， PF CA，则线段 EF长的最小值为 。 【答案】 255 6、设 a， b是方程 2 68 1 0xx 的两个根， c， d是方程2 86 1 0xx 的两个根，则 (a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。 【答案】 2772 第五题图FECBAP智浪教育 -普惠英才文库 7在平面直角坐标系中有两点 P(-1,1) , Q (2,2)，函数 y=kx1 的图像与线段 PQ 延长
3、线相交（交点不包括 Q），则实数 k的取值范围是 。 【答案】 1332k 8方程 xyz=2009的所有整数解有 组。 【答案】 72 9如图，四边形 ABCD中 AB=BC=CD， ABC=78， BCD=162。 设AD,BC延长线交于 E ，则 AEB= 。 【答案】 21 10、如图，在直角梯形 ABCD中， ABC= BCD= 90， AB=BC=10，点 M在 BC上，使得 ADM是正三 角形，则 ABM与 DCM的面积和是 。 【答案】 300 150 3 二、（本题 15分）如图， ABC 中 ACB =90，点 D在 CA上，使得CD=1, AD=3，并且 BDC=3 BA
4、C，求 BC的长。 解：设 BC=x，则 2 1BD x，2 16AB x，如图，作 ABD平分第九题图ABCDE第十题图MCDAB第二大题图CBAD E智浪教育 -普惠英才文库 线 BE，则 BDE ADB,因此 2 3B D D E D A D E 。 由角平分线定理可知 3D E B D D E B D B DDEA E A B A E D E A B B D A B B D 。 因此 2222911 16 1xx xx ，解得 4 1111BC x 三、（本题 15分）求所有满足下列条件的四位数 abcd ， 2()abcd ab cd其中数字 c可以是 0。 解：设 ,x ab y
5、cd,，则 2100 ( )x y x y ，故 22( 2 1 0 0 ) ( ) 0x y x y y 有整数解，由于 10 x 100，故 y0。因此22( 2 1 0 0 ) 4 ( ) 4 ( 2 5 0 0 9 9 )x y y y y 是完全平方数， 可设 2 2500 99ty，故 9 9 (5 0 )(5 0 )y t t ， 050- t50+ t之和为 100，而且其中有 11的倍数，只能有 50t= 1或 50t=45，相应得到 y=1,25，代入解得 9 8 2 0 3 0,1 2 5 2 5x x xy y y 因此 9 8 0 1, 2 0 2 5 , 3 0 2
6、 5a b c d 。 四、（本题 15分）正整数 n满足以下条件：任意 n个大于 1且不超过 2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的 n。 解：由于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 , 2 9 , 3 1 , 3 7 , 4 1 , 4 3这 14个合数都小于 2009且两两互质，因此 n15。 而 n=15时，我们取 15个不超过 2009的互质合数 1 2 15, , ,a a a 的最小素因子 1 2 15, , ,p p p ，则必有一个素数 47，不失一般性
7、设 15 47p ，由于 15p是合数 15a 的最小素因子，因此 21 5 1 5 4 7 2 0 0 9ap ，矛盾。因此，任意15个大于 1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述， n最小是 15。 五、（本题 15分）若两个实数 a,b,使得 , 2ab 与 2ab 都是有理数，称智浪教育 -普惠英才文库 数对 (a,b)是和谐的。 试找 出一对无理数，使得 (a， b)是和谐的； 证明：若 (a， b)是和谐的，且 a+b是不等于 1的有理数，则 a,b都是有理数； 证明：若 (a， b)是和谐的，且 ab是有理数，则 a,b都是有理数； 解：不难验证 11( , ) ( 2 , 2 )22ab 是和谐的。 由已知 22( ) ( ) ( ) ( 1 )t a b a b a b a b 是有理数， a b s 是有理数，因此 1tab ab ，解得 121tass是有理数，当然 b=sa也是有理数。 若 2 0ab，则 ab b 是有理数，因此 22()a a b b 也是有理数。若2 0ab，由已知 22211 1aab bbxaab bb 是有理数， ay b 也是有理数，因此 211yxb xy ，故2 1xyb yx 是有理数，因此 22()a a b b 也是有理数。
