1、机械振动一章习题解答习题 121 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使单摆与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止位置放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为： (A) 。 (B) 。(C) 0。 (D) 。2解：单摆的振动满足角谐振动方程，这里所给的 是初始角位移，也是角振幅，而非初位相。由旋转矢量法容易判断该单摆振动的初位相为“0”，因此，应当选择答案(C) 。习题 122 轻弹簧上端固定，下端系一质量为 m1 的物体，稳定后在 m1 下边又系一质量为 m2 的物体，于是弹簧又伸长了 ，若将 m2 移去，并令其振动，则x振动周期为： (A) 。 (
2、B) 。gxT12 gxT21(C) 。 (D) 。m)(21m)(21解：谐振子的振动周期只与其本身的弹性与惯性有关，即与其倔强系数 k和质量 m 有关。其倔强系数 k 可由题设条件求出gx2所以 xmk2该振子的质量为 m1，故其振动周期为gkT2112应当选择答案(B)。习题 123 两倔强系数分别为 k1 和 k2 的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为： (A) 。 (B) 。21)(kT 21kmTmm题解 121 图 t=0 (C) 。 (D) 。21)(kmT 21kmT解：两弹簧串联的等效倔强系数为 ，因此，该系统的振动周
3、期21k为21)(2kmkT所以应当选择答案(C)。习题 124 一质点作简谐振动，周期为 T，当它由平衡位置向 X 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为： (A) T/4。 (B) T/12。 (C) T/6。 (D) T/8 。解：参见旋转矢量图，可得关系式tt231有该式解得6Tt所以应当选择答案(C)。习题 125 一倔强系数为 k 的轻弹簧截成三等份，取其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为 m 的物体，如图所示。则振动系统的频率为： (A) 。 (B) 。 k21k621(C) 。 (D) 。m3m3解：弹簧截成三等份，其每一段的倔强系数为
4、3k；再取其中两段并联的等效倔强系数为 6k，因此，我们可得该振动系统的频率为k621故应当选择答案(B)。习题 126 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为 ，当第一个质点从相对平衡位置的正位移)cos(1tAx k m m习题 125 图 tt X A A 60 A/2 题解 124图 处回到平衡位置时，第二个质点正在最大位移处，则第二个质点的振动方程为： (A) 。 (B) 。)21cos(2tAx )21cos(2tAx(C) 。3(D) 。)cs(2tx解：可画出这两个振动的旋转矢量图，容易看出这两个振动的位相差为212因此，只有答案(B)是正确的
5、。习题 127 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为 。解：设质点的振动规律为 )cos(tAx则其运动速度为)cos()2()sin( vv tVttAdtx m式中 是运动速度的初位相，由题给速度曲线用旋转矢量法容易知道23v因此652习题 128 一弹簧振子简谐作振动，振幅为 A，周期为 T，其运动方程用余弦表示。若 t=0(1) 振子在负的最大位移处，则初位相为 ；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为 ；(3) 振子在位移为 A/2 处，且向负方向运动，则初位相为 。 mvt (s) O 2习题 127 图 31mv
6、v 题解 127 图 12X 题解 126 图 O 解：用旋转矢量法可以确定：情况(1)的初位相为 ；情况(2)的初位相为；情况(3) 的初位相为 。23习题 129 一简谐振动的表达式为 ，已知 t=0 时的初位移为)3cos(tAx0.04m，初速度为 0.09m/s，则振幅 A= ，初相 。解：由初位移 x0 和初速度 v0 可求振幅 A 和初相 m05.39.4.22 8.0cosAx而 5.39inv 8760arcos注意：本题的答案可能有误，根据计算结果该振动的初位相应该是负值。习题 1210 一系统作简谐振动，周期为 T，以余玄函数表示振动时，初位相为零。在 范围内，系统在 t
7、= 时刻动能和势能相等。20Tt解：依题意有如下关系221vmkx即 tAtA22sincos1 2k 1tgTX t=0 (1) 题解 128 图 X t=0 2(2) X 3t=0 (3) 或者 42tT432tT故在 范围内，当0Tt或者 8t 8t时刻，系统的动能和势能相等。习题 1211 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 f1:f2= ，加速度最大值之比 a1:a2= ，初始速率之比 v10:v20= 。解：由曲线图可以看出，x 1 的周期是 x2的一半，因此它们的频率之比应为 2:1；而加速度的最大值正比于频率的平方，因此第二个空白应填 4:1；由于初始速度sins
8、in0Av而 x1 和 x2 的初相、振幅都相等，因而它们的初速都应与频率成正比，即它们的初始速率之比 v10:v20 与频率之比相等，也为 2:1。习题 1212 一质点作简谐振动，振动图线如图所示，根据此图，它的周期 T= ，用余玄函数描述时的初位相 。解：根据振动图线可画出旋转矢量图，可得672 12T s43.7从旋转矢量图还可以得到或 34习题 1213 质量为 2kg 的质点，按方程 (SI)沿着 X 轴振动。)65sin(2.0tx求：(1) t=0 时，作用于质点的力的大小；(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。解：(1) 质点的加速度为X X X1 X2 A A t
9、 O 习题 1211 图 t (s) X 2 O 42 习题 1212图 t=0 t=2 X 32题解 1212 图 xtdtxa25)6sin(2.052 作用于质点的力为)si(1tmaF把 t=0s 代入上式得N5)6in(0(2)作用于质点的力的最大值为 102.2maxax AF该力的大小为N10axF由于 5令上式中()10max可得2.习题 1214 一质量为 M 的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是 12cm ,在距平衡位置 6cm 处速度是 24cm/s，求：(1) 周期 T；(2) 当速度是 12cm/s 时的位移。解：(1) 设物体的振动方程为)2cos(1.0)cos
10、(ttAx因而物体的振动速度为)in(4.tTdtv把 x=0.06m 代入得5.0)2cos(t由三角关系23)5.0(1)2(cos1)2sin( tTtT把 v=0.24m/s 和均代入 并取绝对值得.234.02.由此解得 s72.3T(3) 把 v=0.12m/s 代入可得432.0124.0)2sin( vtT可得3164163)(sin1)2cos( 222 tTtT把代入得cm9.42.02x习题 1215 一质点在 X 轴上作简谐振动，取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点(t=0)，经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质
11、点在 A、B 两点具有相同的速率，且 10cm。求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在 A 点的速率。解：(1) 依题意可画出旋转矢量图，由于 ，A、B 相对于原点对称，vAB 中点为平衡位置，也是坐标原点。设质点的振动方程为)cos(tAx显然，由于时间均为 2 秒，图示的两个角度相等，均为 ，因此圆频率满足2， 4初位相（或者写成 ）453振幅m205.0)cos(2AB所以质点的振动方程为(SI)4cos(.txA B vX 习题 1215 图 A B X t=0 t=2 t=4 题解 1215图 (2) 质点的速率 )45sin(205. tdtxv求 A 点的速率，可令 t =0
12、m/s1093.405.)2(405.4sin205. 2 tv注：该题是旋转矢量法的典型应用，用该法能直观、方便地进行求解；用解析法也可以求解，但是较繁而且不直观。 习题 1216 一物体作简谐振动，其速度最大值 vm=310-2m/s，振幅 A=210-2m。若 t =0 时，物体位于平衡位置且向 X 轴的负方向运动。求： (1) 振动周期T；(2) 加速度的最大值 am； (3) 振动方程的数值表达式。解：(1) Amv 12s5.03振动周期s9.4T(2) 加速度的最大值 2222 m/105.5.1Aam(3) 因 t =0 时，物体位于平衡位置且向 X 轴负向运动，所以振动的初位
13、相 ，故振动方程为2(SI)25.1cos(0.tx习题 1217 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为， (SI)8(2cos104tx)41(cos0322tx求：合振动方程。解：设合振动方程为)cos(tAx则 )s(212121m048.6)cos(0)03()14( 2422 初位相满足06.2cos1034cos10inincossinitg 2221 A因此 rad.6.artg故合振动方程为(SI)12.cos(1048.2tx习题 1218 在竖直面内半径为 R 的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处。然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，
14、试证：(1) 此物体作简谐振动；(2) 此简谐振动的周期 。gRT2解：(1) 以半径 R 与竖直方向的夹角 表示小物体的角位移，并且规定在竖直方向右侧，反之在竖直方向左侧，则 。当物体00在任一角位移处时，它所受到的对 O 点的外力矩为mgRgMsin若把小物体看成单质点的“刚体” ，由转动定律有2dt即 02Rgtd可令 则有02dt因此，小物体是作角谐振动。(2) 该物体作角谐振动的周期为 gRT2O R 题解 1218 图 习题 1219 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20cm，与第一个简谐振动的位相差为 ，若第一个简谐振动的振幅为61=17.3cm，则第二个简谐振动的
15、振幅为 cm，第一、二两个简cm310谐振动的位相差 。21解：合振动的振幅矢量与两个分振动的振幅矢量有如下关系21A由此可得第二个简谐振动的振幅为 )6cos(1212 A230)30(cm1从振幅矢量关系图容易看出 和 之间的夹角为 ，也就是说，第一、二两1A22个简谐振动的位相差 。2机械振动一章补充习题及答案习题 728(2000.1 习题集) 一轻弹簧在 60N 的拉力下伸长 30cm，现把质量为4kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体下拉 10cm，然后由静止释放并开始计时，求：(1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方 5cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5cm处所需要的最短时间。解：(1) 1mN203.6xFk 1s7.4设振动方程为 )cos(tAx由初始条件：t =0 时，x 0=0.10m，v 0=0 m10.2x， cos0A (SI)tx7.cos1.(2) 弹簧静止时的伸长量 l0 满足X 1A26题解 1219 图
