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第 五 章 动 态 电 磁 场Ⅱ: 电 磁 辐 射 与 电 磁 波,当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波。,5.1 电磁辐射,随时间变化的场源 或J产生的电磁场以波的形式在空间传播，这种现象被称为场源的电磁辐射。今后主要讨论时谐电磁场。这主要基于两方面的考虑：一是在实际工程中，电磁发射往往是以某一频率的正弦波为载频；二是时谐电磁场分析相对比较简单，其结果易于延拓到整个频域，并可借助傅里叶分析计算其它类型的动态电磁场。,图示电偶极子Il是最简单的电磁辐射元件，通常称产生电磁辐射的元件为天线。设电偶极子长度 l远小于其上电流频率对应的电磁波波长，其横截面忽略不计。,1．电偶极子的电磁场,图 电偶极子(元天线),为电流有效值相量。,，得,,将上式在球坐标系下展开，可写成,根据,，可得,,2．近场与远场,近场：首先，定义靠近电偶极子的区域即,(相当于,)为近区。此时,,利用电流与电荷的关系即,，电场强度又可写为,将上述电场强度和磁场强度分别与电偶极子产生的静电场的电场强度和电流元产生的恒定磁场的磁场强度相对比，可以看出，其场分布是相同的。此外，场与源的相位完全相同，两者之间没有时差。因此，虽然源随时间变化，但它产生的近场与静态电磁场的特性完全相同，无滞后效应，所以近场也称为似稳场。同时，从上式还可看出，电场强度和磁场强度的相位差为90，故坡印廷矢量的平均值Sav为零。这说明存储在电偶极子附近空间的能量表现为电场与磁场之间相互交换的方式，而并不产生向无限远空间传送的电磁辐射。,应指出，事实上近场也有平均功率在传输，而且正是这部分功率提供了向外空间传送的辐射功率，只是相对于存储在近场的功率而言，其值可以忽略不计。,(相当于,)为远区。此时,远场：其次，定义远离电偶极子的区域即,,,可以看出，远场中电场强度和磁场强度在空间上相互垂直并与半径为r的球面相切，且同相位。它们的振幅均反比于r，其振幅之比定义为介质的特性阻抗，即,在自由空间中,由于特性阻抗反映了电磁波的电场强度和磁场强度之比，它又被称为介质的波阻抗。,和,确定，当jkr前取“-”时，沿er方向传播；反之，
沿-er方向传播。可见，在无限大空间中，只需知道,同相位且它们的振幅之比为介质的特性阻抗；(3)传播方向由相位因子,可以看出，对于远场中的电磁波，无论是电场强度还是磁场强度，它们的相位在以电偶极子为中心形成的球面上是等相位的，称等相位面为球面的电磁波为球面波。它具有如下特点：(1),,求空间任意一点复坡印廷矢量的平均值,这表明电磁能量向无限远辐射。由此可见，时谐振荡的电流以波的形式向空间辐射电磁能量。此种辐射电磁能量的电磁场称之为辐射场，亦即电磁波。,、,和Sav相互垂直，且满足右手螺旋关系；(2),和,中的一个，另一个就可以利用上述的特点求出。所以今后将只分析电磁波的电场强度。,3．方向图,电偶极子是最简单的天线，它产生的辐射场不仅与场点到源点的距离有关，还与同一球面上的和角度有关。当=0，即在z轴方向上辐射为零；当 ＝90，也就是在垂直z轴的方向上辐射最强。,图 电偶极子天线的方向图,辐射场的电场强度随和角度变化的函数f(,)被称为天线的方向图因子，根据f(,)画出的图形被称为该天线的方向图。方向图描述了天线辐射场强在空间的分布情况。由上式，得电偶极子的方向图因子为,右图为电偶极子天线在子午面上的方向图。,在远场选一个包围电偶极子的半径为r的球面，由复坡印廷矢量的平均值，得电偶极子向外发出的总辐射功率为,可见总辐射功率与半径无关，即总辐射功率辐射到无限远。将其写为,形式，则,称为天线的辐射电阻，它表示天线的辐射能力。Rr愈大则天线的辐射功率也就愈强。由于辐射电阻与l/有关，当电源频率较高即较小时，可使用长度较短的天线发送一定量的辐射功率；而当电源频率较低即较大时，就必须使用相当长的天线才能发送一定量的辐射功率。,或,有时还常用P或Rr表示坡印廷矢量的平均值，即,例1：个人通信系统频率范围为800MHz～3GHz。GSM系统双频移动电话天线的发射功率，当f=900MHz时为0.1～2W；当f =1.8 GHz时为0.1～1W。若将该移动电话天线近似看作为偶极子天线，试分别计算距移动电话3 cm处的最大功率面密度。,[解]：在距离一定的情况下，最大功率面密度出现在＝90情况，,当f＝900MHz时，Savmax＝265.2W/m2＝26.52mW/cm2,当f＝1.8GHz时，Savmax＝132.6W/m2＝13.26mW/cm2,需要说明的是，以上仅是估算值。这是因为，在自由空间中，900MHz电磁波对应的波长为33.3cm，1.8 GHz电磁波对应的波长为16.7cm。而移动电话的天线长度既不满足远小于波长，也不满足远场条件，并且还未考虑使用移动电话时人体头部媒质对电磁场的扰动。但是1～3GHz频率范围内的电磁波能够全部被皮肤、脂肪和肌肉所吸收，使人体深处的细胞加热，导致内部器官损伤。因此，世界各国均对功率面密度限值作了规定，如美国IEEE/ANSI标准规定功率面密度限值为1mW/cm2。显然，本例在两个工作频率下的最大功率面密度均超过了1mW/cm2。所以，从健康的角度考虑，不应长时间使用移动电话。,4．线天线与天线阵,线天线：线天线是指具有一定长度，且线半径远小于长度的直线导体构成的天线。图示为半波线天线的形成示意图，图(a)为终端开路的传输线，图中画出了电压和电流沿线分布曲线。在距终端四分之一波长处，将传输线分别向上和向下折90，就形成了图图示的半波线天线。这表明半波线天线易于与传输线匹配，天线上的电流分布可以用终端开路传输线上的电流分布予以近似表示，如图(b)所示，其电场强度为,(a) 终端开路的传输线 (b) 半波线天线的形成
图 由终端开路传输线形成半波线天线 图 半波线天线,,由于,，有,，电场强度可改写为,,方向图因子为,,右图为半波线天线的方向图，可以看出，它比电偶极子有更好的方向性。,天线阵：将多个线天线组合在一起即构成天线阵。以右图所示由N个相互平行的线天线构成的天线阵( N元天线阵)为例。设相邻两天线距离为d，电流振幅分布相同，相位依次滞后为。从图中可以看出，相邻两天线在场点由于波程差和电流相位差产生的总相位差为,，则N元天线阵在场点
总的辐射电场为,设图中原点线天线的辐射电场强度为,,式中,被称为N元天线阵的阵因子。如果上述N元天线阵均由半波线天线组成，则总辐射电场强度为,上式表明，N元天线阵的方向图因子为线天线方向图因子与天线阵阵因子的乘积。为理解天线阵的方向性，取 = 90，,为了确定天线阵的最大辐射方向，右上图画出了阵因子g()随的变化曲线。可见，当＝0时，辐射最强，最强的主瓣宽度为/N，由上式得最强辐射的角度为,上式表明，当d一定时，调整各个线天线的相位差，可以改变天线阵的最大辐射方向，这就是相控天线阵的工作原理。下图画出d=/2的六元天线阵对应不同 时的方向图。,，它们在空间任
意点产生的辐射电场分别为,当线天线用作接收天线时，其方向图和发射天线的方向图是等同的。这一结论被称为天线的互易定理。设在空间中有体积为V1的电流源,5．天线的互易性,,和体积为V2的电流源,、,和,、,。,利用矢量恒等式有,,将上式下标1和2互换，得,两式相减且在无限大空间积分，并应用散度定理，得,,表示线天线1在线天线 2处产生的电场强度。若令这两线天线电流和几何尺寸完全相同，则上式为,在上式推导中，应用了在非V1和V2的体积中,=,的条件。上式的面积分为零，且均为线天线，上式改为,= 0,,由于假定线天线为理想导体，这意味着在线天线表面上无电场强度的切向分量。上式线积分仅在线天线信号馈入点成立，如图所示，应为,式中,表示线天线2在线天线1处产生的电场强度，,图 两个线天线,,,如果将线天线1作为发射天线，线天线2作为接收天线。则在线天线2馈入点感应的电场强度应正比于线天线1的方向图因子，即,现在将线天线1作为接收天线，线天线2作为发射天线，则在线天线1馈入点感应的电场强度为,上式表明，当线天线1在以线天线2为中心的球面上移动时，在线天线1馈入点感应的电场强度正比于将它作为发射天线的方向图因子。这就证明了天线用作接收时的方向图因子与用作发射时的方向图因子是相同的。,6．电磁波频谱,天线向空间发射电磁波信号，并占用一定的频谱宽度。因此，频谱成为一种特殊资源。为了防止电磁波信号相互干扰，必须将电磁波的频谱进行合理分配，并进行有效的管理。我国由全国无线电管理委员会负责频谱分配、协调和管理。下图是电磁波频谱分配图，图中不仅给出了频率、波长范围，还简明地描述了相应的应用领域。,5.2 理想介质中的均匀平面电磁波,平面电磁波：电偶极子产生的辐射电磁场是球面电磁波，其等相位面是球面。当观察点远离电偶极子，且讨论范围限于观察点附近区域时，可以将球面近似为平面，且该平面上电场强度和磁场强度的振幅可近似看作为常量。这样，即称电场强度、磁场强度和传播方向满足右手螺旋关系、等相位面为平面的电磁波为平面电磁波；并进而称电场强度和磁场强度振幅为常量的平面电磁波为均匀平面电磁波。,TEM波：无论是平面电磁波还是均匀平面电磁波，电场强度和磁场强度均垂直于传播方向，即在传播方向上无电磁场分量，称这种电磁波为横电磁波，也称为TEM波。,1．波动方程及其解,,在无源理想介质空间中，麦克斯韦方程组为,对于电场强度，有,由矢量恒等式,，上式变为,同理，对磁场强度可导出,以上两式即为齐次波动方程。可见，在无源理想介质空间，电场强度和磁场强度的变化规律均满足齐次波动方程。,对于时谐电磁场，上述两式的复数形式为,,,以上两式又被称为齐次亥姆霍兹方程。,假设均匀平面电磁波沿z轴方向传播，其波振面平行于xoy平面，且电场强度和磁场强度在该波振面上为常量，电场强度矢量与x轴平行，即,,代入齐次波动方程，得,,由直接代入法可以证明，上式的解为,对应的磁场强度为,2．均匀平面电磁波的物理意义,在无源理想介质空间，波动方程的解由两项组成。,第一项分别为电场强度Ex＋(z-t)和磁场强度Hy＋(z-t)=Ex＋(z-t)/，这是沿z轴正方向传播的电磁波，又称为正向行波或入射波，如图(a)所示。它的传播速度为，电场强度、磁场强度和传播方向相互垂直且满足右手螺旋关系，电场强度与磁场强度之比为介质的波阻抗。,第二项分别为电场强度Ex－(z+t)和磁场强度Hy－(z+t)=－Ex－(z+t)/。考察Ex－(z+t)的一个定值点的运动情况，也就是z+t=const，对其微分，得运动速度为,,上式表明，电场强度Ex－(z+t)和磁场强度Hy－(z+t)=－Ex－(z+t)/分别是沿z轴反方向传播的电磁波，称为反向行波或反射波，如图(b)所示。,上述分析表明，均匀平面电磁波是由正向行波和反向行波叠加组成的。,分别为复常数,式中，,3．波矢量,,在时谐电磁场中，设电场强度复数形式为,代入齐次亥姆霍兹方程，得,其解为,式中,和,为两个复常数，上式对应的时域表达形式为,和,和,上式中第一项为电场正向行波，第二项为电场反向行波。磁场强度为,的幅角(初相位)。,同理，上式第一项为磁场正向行波；第二项为磁场反向行波。再次看出，正向行波(或反向行波)的电场强度、磁场强度和传播方向相互垂直且满足右手螺旋关系，电场强度与磁场强度的振幅之比等于介质的特性阻抗。,对于任意方向ek传播的均匀平面电磁波，定义波矢量k如下,,图 任意方向的均匀平面电磁波,k=ekk,式中k为波数。对于图示的均匀平面电磁波，等相位平面方程为,k r =const,这样，电场强度可以写为,磁场强度为,显然，电场强度、磁场强度和波矢量的关系可以写为,例1：从移动电话基站发射电磁波的磁场为,A/m。试求：(1)频率和波长；(2)电场强度；(3)坡印廷矢量的平均值。,[解]：已知空气中的波速,，波阻抗为,，则,，,(1),(2)从磁场强度表达式中看出，电磁波的传播方向为y轴正方向，利用右手螺旋关系，电场强度方向为z轴正方向，即,(3),,可见，移动电话基站发射的电磁波的功率面密度远低于1mW/cm2的安全标准限值。,例2：已知调频广播电磁波的电场强度为,试求：(1)频率与波长；(2)磁场强度；(3)坡印廷矢量的平均值。,。,[解]：由电场强度表达式，波矢量为,，,(1),(2)磁场强度为,(3)坡印廷矢量的平均值为,可见，调频广播电台发射的电磁波的功率面密度也远低于1mW/cm2的安全标准限值。,5.3 均匀平面电磁波的反射与透射,1．反射定律与透射定律,设两理想介质交界面为无限大平面，均匀平面电磁波以入射角1由介质1向介质2传播，如图示。称波矢量k与en形成的平面为入射平面。1为反射角，2为透射角。,图 电磁波的反射与透射,根据边界条件，o点两侧电场强度和磁场强度的切向分量应分别相等，且在电磁波的传播过程中，入射波、反射波和透射波沿交界面的传播速度必须相同，即,由上式即得反射定律为,透射定律为,通常,，且,被称为介质的折射率。上式可改写为光学中透射定律，即,,例1：光纤是芯径极细外涂包层的二氧化硅棒，其沿轴线的子午面如图示。n1为光纤芯的折射率，n2为包层的折射率。为使光在光纤芯和包层交界面上形成全反射，制造时使n1略大于n2。试求：光在光纤中持续传输的最大入射角c(已知在空气中n0 = 1)。,图 光纤子午面上的光线,,,[解]：使光在光纤中持续传输的必要条件是2 =90，由透射定律，可得,,在光纤端面点A处，再次透射定律，得,一般光纤芯径在几个微米至几十个微米之间。显然，c的大小直接关系到光源与光纤的耦合效率。称sinc为光纤的数值孔径，它是光纤的一个重要参数。,2．反射系数与透射系数,分两种情况即图(a)和图(b)研究均匀平面电磁波的反射和透射问题。图(a)中的电场强度矢量与入射面平行，称为平行极化情况；图(b)中的电场强度矢量与入射面垂直，称为垂直极化情况。,(a)平行极化情况 (b)垂直极化情况
图 均匀平面电磁波的反射与透射,,平行极化情况：由图(a)和边界条件，得,联立求解以上方程，得：,,按电场强度在介质交界面的切向分量分别定义反射系数和透射系数,,一般,应用透射定律，上式可简化为,,,垂直极化情况：类似地，可以得到,此时，反射系数和透射系数为,,一般,，并由透射定律，以上两式简化为,从,和,或,和,的表达式中看出，反射系数和透射系数之间存在如下关系，即,时才有意义。因此，全反射只
能出现在入射角,,全反射：若均匀平面电磁波入射到理想导体表面时，则由于理想导体内部电场强度必须为零，这时对于平行极化情况，在交界面上，应有,此时，,。同理可得,。,当,时，,，发生全发射。这时,显然，上述情况只有当,，且光由光密介质到光疏介质传播时的情况，,被称为全反射的临界角。,。这说明对于垂直极化情况，不存在全透射现象。对于平行极化情况，令,，得,全透射：即反射系数等于零的情况。从上式可见，使,的条件是,求解上式得,称上式的入射角P为布儒斯特角。它表明当平行极化入射波以布儒斯特角入射到两介质交界面时，不存在反射波。在实际中，可以利用测量布儒斯特角来测量介质的介电常数，也可以利用布儒斯特角提取入射波的垂直极化分量。,等于零的情况。此时，平行极化和垂直极化并为同一种情况。介质交界面上的反射和透射系数为,3．垂直入射电磁波的反射与透射,垂直入射电磁波的反射与透射问题是上节的一个特例，即入射角,当,，反射系数和透射系数又可写为,图 垂直入射到理想导电平面上的均匀平面波,理想导电平面问题：如图所示，设入射电磁波为,在理想导电平面上，电场强度的反射波分量和入射波分量量值相等而相位相反，即,，而透射电场为零，即,这表明在理想导电平面上发生全反射。此时在理想导电平面上,。,在,的空间内，反射电场强度为,,总电场强度为,相应的磁场强度为,图 E和H的振幅波形,从上式看出，空间电磁波不再是行波，而是驻波。电场强度和磁场强度的振幅分布如图所示。显然，电场强度的波节即为磁场强度的波腹，同样，电场强度的波腹即为磁场强度的波节，且电场强度(或磁场强度)相邻波节或相邻波腹的空间距离为半波长。此时，能量不能通过波节传递，所以电场能和磁场能之间的交换只限于在空间距离为/4的范围内进行。,图5-24 垂直入射到两理想
介质交界面上的均匀平面波,理想介质平面问题：如图所示，仍设入射波电场强度为,显然，在介质交界面上有,,,在介质1内，电场强度和磁场强度为,在介质2内，电场强度和磁场强度为,从以上四个表达式不难看出，由于在介质交界面上存在反射，介质1中的电磁波由行波和驻波两部分组成，而在介质2中只有行波。可以求得介质1中的电场强度的模值为,右图画出了当R＞0时电场强度模值分布图。由图可见，由于在,处介质的波阻抗不匹配，在介质1中存在反射波。通常用驻波比反映这种不匹配情况，即令,可见，全反射时,而匹配时,显然，可以通过测量驻波比来测定反射系数，即,图 电场强度的有效值分布,例2：均匀平面电磁波由空气垂直入射到水面上，设水无损且相对介电常数为81。试求：(1)水平面的反射系数和透射系数；(2)驻波比；(3)水中的坡印廷矢量。,，则,[解]：设空气和水的相对磁导率,(1)反射系数和透射系数为,(2)驻波比为,,(3)水中坡印廷矢量为,可以看出，由于水面存在反射，水中的功率面密度始终小于空气中入射波的功率面密度。在实际中，可以采取匹配措施使反射系数等于零，实现功率的最大传输。,介质板可以实现波阻抗分别为,匹配问题：定义介质1中空间任一点的波阻抗如下,特别是当,或,（其中n为整数）时，有,上式表明，借助波阻抗为,，厚度为,和,两种不同介质之间的波阻抗匹配。,此外，当,或,（其中n为整数）时，,,[解]：已知天线的波阻抗与空气相同，在空气中插入一介质板，使其在空气中不存在反射波。由上述讨论知，只有用厚度为,这表明，借助波阻抗为,，厚度为,的介质板可以将波阻抗为,的同一种介质分成两部分，而波阻抗不变。,例3：设飞机地面导航雷达的波阻抗与空气相同，雷达的中心工作频率为5GHz。为保护雷达天线的清洁，通常覆加一个非磁性塑料天线罩，其相对介电常数为3。为使雷达天线工作时无反射波，天线罩的厚度应为多少？,或,介质板时，才可使空气中无反射波存在。按题设，介质板中波长为,,所以，天线罩的厚度可选为1.73cm。,例4：在光纤技术中，常在光学元件表面镀膜以减少光的反射。设激光在自由空间中的波长为550nm，光学玻璃为非磁性玻璃，其折射率为1.52。为使激光照射在该光学玻璃上无反射，试确定镀膜厚度和镀膜材料的折射率。,[解]：由于空气与光学玻璃的波阻抗不同，需要采取/4匹配技术，此时,又因为镀膜的波阻抗可以写为,所以，镀膜材料的折射率为,镀膜厚度为,的x和y分量的初相位。定义琼斯矢量为,5.4 琼斯矢量和琼斯矩阵,在上节讨论的均匀平面波的电场强度矢量在等相位面上仅有一个分量。采用琼斯矢量可以方便地讨论等相位面上电场强度为二维矢量的情况。,1．琼斯矢量,设z轴方向为均匀平面波的传播方向，且令其电场强度矢量的一般形式为,式中，,和,分别是,可见，琼斯矢量事实上是电场强度矢量的一种矩阵表示。,2．波的极化,电场强度矢量随时间在等相位面上的轨迹称为电磁波的极化特性。若轨迹是直线，则称为直线极化，简称线极化；轨迹是圆，称为圆极化；轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。为判断电磁波的极化特性，讨论在z=0等相位面上的电场强度，即,图 线极化波,线极化：若上述电场强度的两分量Ex和Ey相位相同或反相(为简化分析，令初相位x =y =0)，则合成场强 E(t)为,E(t)的取向为,可见，E(t)的取向与x轴的夹角始终保持不变，而其大小随时间作正弦变化，即E(t)矢量末端随时间变化的轨迹为一直线，如图所示，称之为线极化波，对应的琼斯矢量为,,图 圆极化波,,圆极化：若电场强度的两分量振幅相等，即,90，则E(t)矢量末端的轨迹为圆，称为圆极化波。例如，取 x =0，y =-90，即得E(t)的模值为,，,但相位差为,而E(t)的取向为,可见，E(t)矢量末端的轨迹是半径为,并以角速度,旋转的圆，如图所示。显然，E(t)的旋转是有方向的。本书规定，让拇指指向电磁波传播方向，当E(t)的旋向与右手其他四指指向相同时，称为右旋；当E(t)的旋向与左手其他四指指向相同时，称为左旋。图示为右旋圆极化波，对应的琼斯矢量为,可见，对于圆极化波，当琼斯矢量的x分量超前y分量90时，为右旋；反之，当琼斯矢量的x分量滞后y分量90时，为左旋。,为右旋椭圆极化波，如图所示；反之，当琼斯矢量的x分量滞后y分量时，即,这说明一般均匀平面波的电场强度的轨迹为椭圆，如图所示。线极化和圆极化都是椭圆极化的特例。类同于右旋、左旋圆极化波定义，当琼斯矢量的x分量相位超前y分量时，即,椭圆极化：对于一般情况，取,消去,，可解得E(t)的轨迹方程为,,图 椭圆极化波,，为左旋椭圆极化波。,，,,归一化琼斯矢量：定义归一正交化琼斯矢量为,可见，它们是一对由线极化波构成的单位正交基，模为1，且,与,正交，即,,同理，定义归一化右旋和左旋圆极化波为一组单位正交基，即,,它们的模也为1且正交，即,因此，任意一个均匀平面电磁波的琼斯矢量均能展开成为两个相互正交的线极化波或右旋圆极化波与左旋圆极化波叠加的形式。,图 旋向判断,,,V/m。试分析该电磁波的极化特性。,例1：设空气中均匀平面电磁波为,[解]：由E(x,t)表达式知，该电磁波的传播方向为x方向，当x=0时，得,由图可知，该电磁波为右旋椭圆极化波。,和,与圆极化正交基,和,的变换关系。,例2：试讨论线极化正交基,,[解]：归一化右旋和左旋圆极化波可以写为,求得,上式说明，任意一个均匀平面电磁波都可分解为右旋圆极化波与左旋圆极化波的叠加。,3．琼斯矩阵,琼斯矩阵法是分析均匀平面电磁波在一些器件中传输的有效方法，在琼斯矩阵法中，假定在各个器件的两端面上均无反射波存在，即电磁波全部透过各个端面。图为一个均匀平面波器件，设其琼斯矩阵为,,则透射波的琼斯矢量为,对于图示两个器件的情况，则透射波的琼斯矢量为,该系统总琼斯矩阵为,可见，应用琼斯矩阵法可以使均匀平面波的传输计算变得十分简单，只要找出器件的琼斯矩阵即可。,4. 均匀平面电磁波在各向异性介质中的传播,各向异性介质常用来制作各种平面电磁波器件。一般，各向异性介质的介电常数和磁导率可以表示为三维二阶张量，即,应用麦克斯韦方程组，可以全面分析均匀平面波在各向异性介质中的传播规律，但这些内容已超出本教材范围。在此仅概括地介绍其传播规律，不作推导。,图 相位延迟板,相位延迟板：由称为波片，是用各向异性介质制作的。在垂直于传播方向的平面上，取决于相速的差异，存在着所谓“快轴f”和“慢轴s”两个正交方向，如图所示。由于沿快轴和慢轴的相对介电常数不同，使平行于快轴方向的线极化波的相速高于平行于慢轴方向的线极化波。导致快轴方向与慢轴方向的两个线极化波产生相对的相位延迟Γ，这种效应被称为双折射效应。在图示的sof 坐标系下，它的琼斯矩阵为,,式中，Γ不仅与介质有关，还与波长和波片厚度有关。图中的角被称为波片的方位角。由于xoy坐标系和sof坐标系存在如下正交变换关系,式中变换矩阵记为,由,，得,，即,所以波片在xoy坐标系下的琼斯矩阵为,通常称=的波片为/2波片，它的琼斯矩阵记为,而称=/2的波片为/4波片，它的琼斯矩阵记为,。,。,泡克尔斯效应：对于某些各向异性介质，如锗酸铋(Bi12GeO20)、硅酸铋(Bi12SiO20)和铌酸锂(LiNbO3)等晶体，在适当方向上施加电场E0后，将产生双折射效应，称这种效应为电光效应。当电光效应与外加电场呈线性关系时，称为泡克尔斯效应，即,,式中，ke是由各向异性介质和波长确定的常数，l为均匀平面波在各向异性介质中的波程长度。显然，借助于泡克尔斯效应可以控制平面波的极化状态或测量电场或电压。,例3：试证明/2波片可以改变线极化波的极化方向，可以使右旋圆极化波与左旋圆极化波相互转化。,[证]：设/2波片中的方位角为，其琼斯矩阵为,取入射波是x方向的线极化波，则透射波的琼斯矢量为,显然，/2波片使线极化波的极化方向旋转了2 。特别是当=/4时，/2波片可以使x方向的线极化波转化为y方向的线极化波。,又取入射波为右旋圆极化波，则透射波的琼斯矢量为,这表明透射波为左旋圆极化波；同理，当入射波为左旋圆极化波时，透射波为右旋圆极化波。 证毕。,例4：试证明方位角=/4的/4 波片可以将y方向线极化波转换成左旋圆极化波，将x方向线极化波转换成右旋圆极化波。,[证]：/2波片的琼斯矩阵为,当入射波为x方向线极化波时，则透射波为,当入射波为y方向线极化波时，则透射波为,证毕。,图 极化方向的旋转,,旋光器：各向异性介质的另一种效应是右旋圆极化波与左旋圆极化波的相速在介质中不同。当入射波为线极化波时，由于分解的右旋圆极化波和左旋圆极化波的相速不同，当它们离开该介质时，将合成一个极化方向相对于入射波极化方向偏转的线极化波。也就是说，线极化波的极化方向通过介质后发生了旋转，如图所示。 称为旋转角，它与各向异性介质、波长和波在该介质中的传播距离有关。它的琼斯矩阵为,,法拉第效应：对于铁氧体、等离子体、锗酸铋(Bi12GeO20)、硅酸铋(Bi12SiO20)等晶体和一些磁性玻璃等各向异性介质，当在均匀平面电磁波的传播方向上施加磁场时，线极化波的极化方向发生旋转，即,式中，V为维尔德常数，B为外加磁场的磁感应强度。这种效应被称为法拉第效应。借助于法拉第效应，可以控制线极化波的极化方向或测量磁场或电流。,5.5 有损媒质中的均匀平面电磁波,1．波动方程及其解,,,对于时谐电磁场，在无源有损媒质空间中，麦克斯韦方程组可写为,式中，,和,分别为媒质的复介电常数和复磁导率，,为有损媒质的等效复介电常数。为简化分析，忽略媒质的磁化损耗，即,。可以导出有损媒质的波动方程为,,式中，ke为有损媒质的传播系数，它是一个复数，由下式确定,不难看出，上述波动方程与理想介质中的波动方程同形。因此，它们的解也应同形。设均匀平面电磁波的电场强度矢量与x轴平行，且沿z轴方向传播，则波动方程的解为,,式中，e为有损媒质的特性阻抗(波阻抗)，它也是一个复数，即,可见，入射波的振幅随着波的行进按指数规律衰减，且磁场强度在相位上滞后电场强度，如图所示。系数,2．传播系数与波阻抗,显然，传播系数ke和波阻抗e是与频率相关的复数，设,,图 有损媒质的入射波,,则入射波为,被称为有损媒质的衰减
系数，解得,,,可见，在有损媒质中，相位系数,不再是频率的线性函数，从而导致均匀平面波的相速也不再是常数，而是频率的函数。通常由于信号是由不同的频率成分组成的，当载有信号的均匀平面波在有损媒质中传播时，不同频率成分因相速不同而产生相位差，最终导致信号的失真。对于数字信号将产生误码。我们称这种现象为有损媒质的色散现象，因此，有损媒质又称为色散媒质。,3．低损耗介质情况,。此时，有,对于低损耗介质，其损耗角正切,,均匀平面电磁波的相速为,可见，对于低损耗介质，电磁波的相速近似等于理想介质中的相速，只是振幅沿传播方向略有衰减。,4．良导体情况,对于良导体，其损耗角正切,。由于可以忽略,的影响，书写中不再区别,和,。此时，有,波阻抗为,可见，在良导体中磁场强度分量在相位上滞后电场强度/4，且电磁波在良导体中衰减很快。为了反映衰减程度，工程上定义了透入深度(或称趋肤深度)d，即,如铜导体的 = 5.8107S/m。当f=50Hz时，d=9.45mm；当f=1MHz时，d=66.7m；当f=100 MHz时，d=6.67m。所以，在高频下，铜可以作为优异的屏蔽材料。,这样，在导体单位宽度内(0≤y≤1)分布在电磁波传播方向上的总电流,上式良导体的波阻抗又被称为其表面阻抗。设良导体表面电场切向分量为,，如图所示，则导体表面的电流密度为,，导体内任意点的电流密度为,(0≤z≤∞)为,,图 平表面良导体中电流的集肤效应,将k’和k’’代入到上式ke，并整理得,式中,式中,。,可见，基于集肤效应，流经良导体的正弦交变电流,可以用分布在导体表面层的表面电流来等效，其等效的面电流密度即为导体表面切向电场强度除以导体的表面阻抗(波阻抗),，而平表面导体的表面电阻RS是导体沿电流方向取表面层截面为(d×1)所对应的单位长度电阻。利用表面电流和表面阻抗的概念，可以方便地计算电磁波垂直进入导体的功率面密度，即,；海水2 =4S/m，,)。,例1：湖水1 = 410-3S/m，,求频率为10MHz电磁波在湖水和海水透入深度(设,。,[解]：对于湖水，在10MHz下,可见，湖水在10MHz下可以看作低损耗介质，由透入深度定义，得,而对于海水，在10MHz下,在10MHz下，海水可以视作良导体，透入深度为,这说明10MHz的电磁波难以在海水中传播，但在湖水中可采用这个频率进行水下通信。,式中，,5.6 导引电磁波,1．非均匀平面电磁波,,，,取z轴为传播方向，平面电磁波的电场强度和磁场强度可写为,和,是平面电磁波在等相位面上的二维电场强度矢量和二维磁场强度矢量，一般是x和y的函数，称这种振幅在等相位面上不是常量的平面电磁波为非均匀平面电磁波。将算子,写成如下形式,式中，,为垂直于传输方向z轴平面上的二维算子。在无源空间中，,比较上式两端，得,不难看出，非均匀平面电磁波的磁场强度与电场强度的关系式与均匀平面电磁波相同，也就是说在等相位面的任意点上，非均匀平面电磁波的电场强度、磁场强度和波矢量在空间上仍然满足右手螺旋关系，且电场强度与磁场强度振幅之比为波阻抗。,同理，将其余三个麦克斯韦方程展开，可得,满足的方程与平行平面静态电磁场的方程相同。这说明能够建立平行平面静态电磁场的系统也一定能够导引平面电磁波。例如，各类均匀传输线主要用来导引平面电磁波。,从上式可以看出，平面电磁波横向电场强度,和横向磁场强度,例1：已知半无限长同轴电缆内外导体半径分别为a和b，激励电源的角频率为，内外导体间电压和电流的有效值为U0和I0 。试求同轴电缆内非均匀平面电磁波的分布。,[解]：设z轴为电磁波传播方向。由于非均匀平面电磁波的横向电场和横向磁场与同轴电缆内的静态电磁场分布相同，所以，同轴电缆内非均匀平面电磁波分布为,顺便指出，既可以用电磁波理论也可以用分布参数电路理论来研究传输线问题。这可以通过考察波阻抗和相速来说明。首先，由本章分析可知波阻抗,可得,而由静态电磁场的分析得知，同轴电缆单位长度电容C0和单位长度电感L0分别为,因此，由分布参数电路理论可知,另外，电压和电流行波的相速为,显然，两种理论获得的结果一致。人们更偏爱应用分布参数电路理论研究传输线问题。,，且沿z轴方向传播，波数为kz。将麦克斯韦方程组中的两旋度方程展开，并消去,图示为一平行板波导(简称平板波导)。设上下板为理想导体板，板宽a远大于板间距离b，且在z轴方向无限延展。因此，设场量与x无关，即,图 平板波导,2．平行板波导,因子，得,,可得,,,式中,显然，平板波导是一种均匀传输线。然而，上式表明，该导波系统还可以导引其它形式的电磁波。也就是说，沿电磁波传输方向的纵向磁场可以产生横向电场和横向磁场，或沿电磁波传输方向的纵向电场可以产生横向磁场和横向电场。在传输方向仅存在纵向磁场的电磁波被称为横电波(简称TE波)或磁波(简称H波)，在传输方向上仅存在纵向电场的电磁波被称为横磁波(简称TM波)或电波(简称E波)。因此，对于一个导波系统，可能存在三种波型，即TEM波、TE波和TM波。,TE波：由波动方程，得,引入y方向波数,，使其满足,则纵向磁场分量为,进一步，得,由图示边界条件知，当y＝0和y＝b时，,，代入上式，得,， n = 1,2,3,…,称为平板波导的特征值。所以，TE波的电磁场为,,需要注意的是，上式中，n0。当n=0时，不存在电磁波。下图分别画出了n=1和n=2时的场图。,,(a) TE1 (n＝1)波型 (b) TE2 (n＝2)波型
图 TEn波型场图,从图示场图不难看出，在横向y方向上电磁场呈驻波分布，n为横向y方向的半波长数。对应不同n值的TE波型，称为TEn波。由波的传播规律可知，当,为零或虚数时，电磁波不能传播。因此，TEn波型的截止条件为,称为TEn波的截止波长，对应的截止频率为,可见，只有,或,的电磁波才能在平板波导中以TEn波型进行传播。显然，在平板波导中，TE波型中的最低阶波型为TE1波，其截止波长最长，截止频率最低。,除通过求解波动方程的方法外，也可以通过均匀平面电磁波在理想导体平板内的全反射来分析平板波导问题。,TM波：图示为均匀平面电磁波以平行极化方式入射理想导体平板。波矢量为,图 平行极化情况,入射波电场强度和磁场强度为,反射波电场强度和磁场强度为,,在y＝0的理想导体边界上有,，即,合成电场强度和磁场强度分别为,，,,,从上式可以看出，合成电场和磁场沿z轴方向传播，在y轴方向呈驻波分布。电场切向分量(z分量)在y轴方向的波节位置为,,， n = 0,1,2…,显然，在这些波节位置插入一个与原理想导体板平行的新的理想导体平板，并不会改变场的分布。设两板间距为b，则有,， n = 0,1,2…,导体平板内的电磁场分布为,,式中,,上式描述的波型被称为TMn波型。下图画出了TM1波和TM2波的波型场图。,(a) TM1 (n＝1)波型 (b) TM2 (n＝2)波型
图 TMn波型场图,可见，TMn波型的截止波长和截止频率也与TEn波型对应相同。,与TEn波型不同的是，在TMn波型中的n是可以取零的。当,时，相当于入射角等于90，Ez 始终等于零，即TM波型退化为TEM波型。此时，TM0(TEM)波型不存在截止波长。,以上分析表明，平板波导不仅可以导引TEM波，也可以导引TE波和TM波。下图显示了平板波导中各种波型截止波长和截止频率的对应关系。,(a) 截止波长 (b)截止频率
图 平板波导中截止波长和截止频率的对应关系,至此可见，在平板波导的波型分析中，既可以采用求解波动方程的方法，也可以采用均匀平面电磁波的入射和反射分析方法。当平板波导的板间距b和电磁波的波数k确定后，入射角θ便决定了波型阶数n，即,下图画出了波型与入射角θ的关系。借助于下图可以更好地理解平板波导的导波机理。,(a) 垂直极化（TE波型） (b) 平行极化（TM波型） (c) TEM波型（=0）
图 波型与入射角θ的关系,例1：间距为1.25cm的微带线内充满空气。试求：(1)TM0、TE1、TM1和TM2波的截止频率；(2)这些波型在f =15GHz时对应的相速度；(3)当f =25GHz时，该微带线不能传输的最低阶波型。,[解]：(1)截止频率,,(2)相速度,TM0(TEM)波：,TE1和TM1波：,TM2波：,。此时，微带线中不存在这个波型。,，由于,(3)可以求出TE3和TM3波的截止频率为,所以，当,时，不能传输的最低阶波型为TE3和TM3波。,3．矩形波导和谐振腔,如果在平板波导两侧再放上两片完纯导体板就形成了一个矩形截面的完纯导体通道，如图所示。,从平板波导中的TM波的波型分布图可以看出，在加入的两片完纯导体板后，并未改变导体的边界条件。所以也不会改变其内电磁场分布，表明这种矩形截面的完纯导体管道可以导引电磁波。们称这种矩形截面的金属管道为矩形波导。,由于在矩形波导内无法建立静态电磁场，因此，矩形波导不能导引TEM波，只能导引TE波和TM波。为记述波型方便，我们使用TEmn和TMmn符号，m和n分别代表TE波和TM波在x方向和y方向的半波长数。,
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