资源描述
数学建模讲座（2004年7月~8月江西）
优化模型与LINDO/LINGO优化软件,谢金星
清华大学数学科学系
Tel: 010-62787812
Email:jxie@math.tsinghua.edu.cn
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie,简要提纲,优化模型简介
LINDO公司的主要软件产品及功能简介
LINDO软件的使用简介
LINGO软件的使用简介
建模与求解实例（结合软件使用）,优化模型,实际问题中
的优化模型,x~决策变量,f(x)~目标函数,gi(x)0~约束条件,数学规划,线性规划(LP)
二次规划(QP)
非线性规划(NLP),纯整数规划(PIP)
混合整数规划(MIP),整数规划(IP),,,,0-1整数规划
一般整数规划,连续规划,,LINDO 公司软件产品简要介绍,美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：http://www.lindo.com,LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1)
LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V8.0)
LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V2.0)
What’s Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V7.0),演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版… （求解问题规模和选件不同）,LINDO和LINGO软件能求解的优化模型,,LINGO,LINDO,优化模型,线性规划
(LP),非线性规划
(NLP),二次规划
(QP),,,,连续优化,整数规划(IP),,,,,,LP QP NLP IP 全局优化(选)
ILP IQP INLP,LINDO/LINGO软件的求解过程,LINDO/LINGO预处理程序,线性优化求解程序,非线性优化求解程序,,,,分枝定界管理程序,,,1. 确定常数
2. 识别类型,,1. 单纯形算法
2. 内点算法(选),,1、顺序线性规划法(SLP)
2、广义既约梯度法(GRG) (选)
3、多点搜索(Multistart) (选),,建模时需要注意的几个基本问题,1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量
2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数
如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大/最小值、四舍五入、取整函数等
3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数 （如x/y <5 改为x<5y）
4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值
5、模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103),需要掌握的几个重要方面,1、LINDO:
正确阅读求解报告（尤其要掌握敏感性分析）
2、LINGO：
掌握集合(SETS)的应用；
正确阅读求解报告；
正确理解求解状态窗口；
学会设置基本的求解选项(OPTIONS) ；
掌握与外部文件的基本接口方法,例1 加工奶制品的生产计划,50桶牛奶,时间480小时,至多加工100公斤A1,制订生产计划，使每天获利最大,35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?,可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?,A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？,每天：,x1桶牛奶生产A1,x2桶牛奶生产A2,获利 24×3x1,获利 16×4 x2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,每天获利,约束条件,非负约束,线性规划模型(LP),时间480小时,至多加工100公斤A1,模型求解,max 72x1+64x2
st
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<480
4）3x1<100
end,OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20.000000 0.000000
X2 30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 48.000000
3) 0.000000 2.000000
4) 40.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 2,DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?,No,20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。,模型求解,reduced cost值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量(对max型问题),OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20.000000 0.000000
X2 30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 48.000000
3) 0.000000 2.000000
4) 40.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 2,也可理解为：
为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数应增加的量,OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20.000000 0.000000
X2 30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 48.000000
3) 0.000000 2.000000
4) 40.000000 0.000000,原料无剩余,时间无剩余,加工能力剩余40,max 72x1+64x2
st
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<480
4）3x1<100
end,三种资源,“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）,结果解释,OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20.000000 0.000000
X2 30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 48.000000
3) 0.000000 2.000000
4) 40.000000 0.000000,结果解释,最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量,原料增1单位, 利润增48,时间加1单位, 利润增2,能力增减不影响利润,影子价格,35元可买到1桶牛奶，要买吗？,35 <48, 应该买！,聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？,2元！,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 72.000000 24.000000 8.000000
X2 64.000000 8.000000 16.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 50.000000 10.000000 6.666667
3 480.000000 53.333332 80.000000
4 100.000000 INFINITY 40.000000,最优解不变时目标系数允许变化范围,DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?,Yes,x1系数范围(64,96),x2系数范围(48,72),A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划,x1系数由243= 72 增加为303= 90，在允许范围内,不变！,(约束条件不变),结果解释,结果解释,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 72.000000 24.000000 8.000000
X2 64.000000 8.000000 16.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 50.000000 10.000000 6.666667
3 480.000000 53.333332 80.000000
4 100.000000 INFINITY 40.000000,影子价格有意义时约束右端的允许变化范围,原料最多增加10,时间最多增加53,35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？,最多买10桶？,(目标函数不变),注意: 充分但可能不必要,使用LINDO的一些注意事项,“>”（或“=”（或“<=”）功能相同
变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符
变量名以字母开头，不能超过8个字符
变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字）
目标函数所在行是第一行，第二行起为约束条件
行号(行名)自动产生或人为定义。行名以“）”结束
行中注有“!”符号的后面部分为注释。如:
! It’s Comment.
在模型的任何地方都可以用“TITLE” 对模型命名（最多72个字符），如：
TITLE This Model is only an Example,变量不能出现在一个约束条件的右端
表达式中不接受括号“( )”和逗号“,”等任何符号, 例: 400(X1+X2)需写为400X1+400X2
表达式应化简，如2X1+3X2- 4X1应写成 -2X1+3X2
缺省假定所有变量非负；可在模型的“END”语句后用“FREE name”将变量name的非负假定取消
可在 “END”后用“SUB” 或“SLB” 设定变量上下界
例如： “sub x1 10”的作用等价于“x1<=10”
但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模型的约束，也不能给出其松紧判断和敏感性分析。
14. “END”后对0-1变量说明：INT n 或 INT name
15. “END”后对整数变量说明：GIN n 或 GIN name,使用LINDO的一些注意事项,二次规划(QP)问题,LINDO可求解二次规划(QP)问题，但输入方式较复杂，因为在LINDO中不许出现非线性表达式
需要为每一个实际约束增加一个对偶变量（LAGRANGE乘子），在实际约束前增加有关变量的一阶最优条件，转化为互补问题
“END”后面使用QCP命令指明实际约束开始的行号，然后才能求解
建议总是用LINGO解QP
[注意]对QP和IP: 敏感性分析意义不大,状态窗口（LINDO Solver Status）,当前状态：已达最优解
迭代次数：18次
约束不满足的“量”(不是“约束个数”)：0
当前的目标值：94
最好的整数解：94
整数规划的界：93.5
分枝数：1
所用时间：0.00秒（太快了，还不到0.005秒）
刷新本界面的间隔:1(秒),选项设置,Preprocess：预处理(生成割平面)；
Preferred Branch：优先的分枝方式：
“Default”（缺省方式）、
“Up”（向上取整优先）、
“Down”（向下取整优先）；
IP Optimality Tol：IP最优值允许的误差上限（一个百分数，如5%即0.05）；
IP Objective Hurdle：IP目标函数的篱笆值，即只寻找比这个值更优最优解（如当知道当前模型的某个整数可行解时，就可以设置这个值）；
IP Var Fixing Tol：固定一个整数变量取值所依据的一个上限（如果一个整数变量的判别数（REDUCED COST）的值很大，超过该上限，则以后求解中把该整数变量固定下来）。,Nonzero Limit：
非零系数的个数上限；
Iteration Limit：
最大迭代步数；
Initial Contraint Tol：
约束的初始误差上限；
Final Contraint Tol：
约束的最后误差上限；
Entering Var Tol：
进基变量的REDUCED COST的误差限；
Pivot Size Tol：
旋转元的误差限,Report/Statistics,第一行：模型有5行（约束4行），4个变量，两个整数变量（没有0-1变量），从第4行开始是二次规划的实际约束。
第二行：非零系数19个，约束中非零系数12个(其中6个为1或-1)，模型密度为0.760(密度=非零系数/[行数＊(变量数＋１)]) 。
第三行的意思：按绝对值看，系数最小、最大分别为0.3和277。
第四行的意思：模型目标为极小化；小于等于、等于、大于等于约束分别有２、０、２个；广义上界约束（GUBS）不超过１个；变量上界约束（VUBS）不少于０个。所谓GUBS，是指一组不含有相同变量的约束；所谓VUBS，是指一个蕴涵变量上界的约束，如从约束X1+X2-X3=0可以看出，若X3=0，则X1=0，X2=0（因为有非负限制），因此X1+X2-X3=0是一个VUBS约束。
第五行的意思：只含１个变量的约束个数=０个；冗余的列数=０个,ROWS= 5 VARS= 4 INTEGER VARS= 2( 0 = 0/1) QCP= 4
NONZEROS= 19 CONSTRAINT NONZ= 12( 6 = +-1) DENSITY=0.760
SMALLEST AND LARGEST ELEMENTS IN ABSOLUTE VALUE= 0.300000 277.000
OBJ=MIN, NO. : 2 0 2, GUBS = 0
SINGLE COLS= 0 REDUNDANT COLS= 0,LINDO行命令、命令脚本文件,批处理：可以采用命令脚本（行命令序列）,WINDOWS环境下行命令的意义不大,Example 演示,,用FILE / TAKE COMMANDS (F11) 命令调入,,必须是以LINDO PACKED形式（压缩）保存的文件,FILE / SAVE命令,SAVE行命令,LINGO软件简介,目标与约束段
集合段（SETS ENDSETS）
数据段（DATA ENDDATA）
初始段（INIT ENDINIT）,,,LINGO模型的构成：4个段,LINGO模型的优点,包含了LINDO的全部功能
提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）,LINGO模型 — 例：选址问题,某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里),水泥日用量di (单位：吨）,假设：料场和工地之间有直线道路,用例中数据计算，最优解为,总吨公里数为136.2,线性规划模型,决策变量：ci j (料场j到工地i的运量）~12维,选址问题：NLP,2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。,决策变量：
ci j，(xj,yj)~16维,非线性规划模型,LINGO模型的构成：4个段,集合段（SETS ENDSETS）,数据段（DATA ENDDATA）,初始段（INIT ENDINIT）,目标与
约束段,局部最优：89.8835(吨公里 ),,,LP：移到数据段,边界,集合的类型,集合
派生集合 基本集合
稀疏集合 稠密集合
元素列表法 元素过滤法 直接列举法 隐式列举法,setname [/member_list/] [: attribute_list];,setname(parent_set_list) [/member_list/]
[: attribute_list];,SETS:
CITIES /A1,A2,A3,B1,B2/;
ROADS(CITIES, CITIES)/ A1,B1 A1,B2 A2,B1 A3,B2/:D;
ENDSETS,SETS:
STUDENTS /S1..S8/;
PAIRS( STUDENTS, STUDENTS) |
ENDSETS,集合元素的隐式列举,运算符的优先级,三类运算符：
算术运算符 逻辑运算符 关系运算符,集合循环函数,四个集合循环函数：FOR、SUM 、 MAX、MIN
@function( setname [ ( set_index_list)[ | condition]] : expression_list);,[objective] MAX = @SUM( PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J) * MATCH( I, J));
@FOR(STUDENTS( I): [constraints]
@SUM( PAIRS( J, K) | J #EQ# I #OR# K #EQ# I: MATCH( J, K)) =1);
@FOR(PAIRS( I, J): @BIN( MATCH( I, J)));
MAXB=@MAX(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J));
MINB=@MIN(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J));,Example:,状态窗口,Solver Type:
B-and-B
Global
Multistart,Model Class:
LP， QP，ILP， IQP，PILP, PIQP，NLP，INLP，PINLP,State:
Global Optimum
Local Optimum
Feasible
Infeasible
Unbounded
Interrupted
Undetermined,7个选项卡(可设置80-90个控制参数),程序与数据分离,文
本
文
件,使用外部数据文件,Cut (or Copy) – Paste 方法
@FILE 输入数据、@TEXT输出数据（文本文件）
@OLE函数与电子表格软件（如EXCEL）连接
@ODBC函数与数据库连接
LINGO命令脚本文件,LG4 （LONGO模型文件）
LNG （LONGO模型文件）
LTF （LONGO脚本文件）
LDT （LONGO数据文件）
LRP （LONGO报告文件）,常用文件后缀,@FILE和@TEXT：文本文件输入输出,MODEL:
SETS:
MYSET / @FILE(‘myfile.txt’) / : @FILE(‘myfile.txt’);
ENDSETS
MIN = @SUM( MYSET( I):
SHIP( I) * COST( I));
@FOR( MYSET( I):
[CON1] SHIP( I) > NEED( I);
[CON2] SHIP( I) < SUPPLY( I));
DATA:
COST = @FILE(‘myfile.txt’);
NEED = @FILE(‘myfile.txt’);
SUPPLY = @FILE(‘myfile.txt’);
@TEXT(‘result.txt’)=SHIP, @DUAL(SHIP), @DUAL(CON1);
ENDDATA
END,myfile.txt文件
的内容、格式：
Seattle,Detroit,Chicago,Denver~
COST,NEED,SUPPLY,SHIP~
12,28,15,20~
1600,1800,1200,1000~
1700,1900,1300,1100,演示 MyfileExample.lg4,,@OLE ：与EXCEL连接,MODEL:
SETS:
MYSET: COST,SHIP,NEED,SUPPLY;
ENDSETS
MIN = @SUM( MYSET( I): SHIP( I) * COST( I));
@FOR( MYSET( I):
[CON1] SHIP( I) > NEED( I);
[CON2] SHIP( I) < SUPPLY( I));
DATA:
MYSET =@OLE('D:\JXIE\BJ2004MCM\mydata.xls','CITIES');
COST,NEED,SUPPLY =@OLE(mydata.xls);
@OLE(mydata.xls,'SOLUTION')=SHIP;
ENDDATA
END,mydata.xls文件中必须有下列名称(及数据)：
CITIES， COST，NEED，SUPPLY，SOLUTION,在EXCEL中还可以通过“宏”自动调用LINGO(略)
也可以将EXCEL表格嵌入到LINGO模型中(略),演示 MydataExample.lg4,,@ODBC ：与数据库连接,输入基本集合元素：
setname/@ODBC([‘datasource’ [, ‘tablename’ [, ‘columnname’]]])/
输入派生集合元素：
setname/@ODBC([‘source’[,‘table’ [, ‘column1’[, ‘column2’…]]]])/,目前支持下列DBMS: (如为其他数据库，则需自行安装驱动)
ACCESS， DBASE，EXCEL，FOXPRO，ORACLE，
PARADOX，SQL SERVER， TEXE FILES,使用数据库之前，数据源需要在ODBC管理器注册,输入数据：
Attr_list=@ODBC([‘source’[,‘table’ [, ‘column1’[, ‘column2’…]]]])
输出数据：
@ODBC([‘source’[,‘table’ [, ‘column1’[, ‘column2’…]]]])= Attr_list,具体例子略,建模实例与求解,最短路问题
下料问题
露天矿的运输问题
钢管运输问题,最短路问题,求各点到T的最短路,问题1. 如何下料最节省 ?,例 钢管下料,问题2. 客户增加需求：,节省的标准是什么？,由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？,按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。,切割模式,合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸,钢管下料,为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？,合理切割模式,2. 所用原料钢管总根数最少,钢管下料问题1,两种标准,1. 原料钢管剩余总余量最小,xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7),约束,满足需求,决策变量,目标1（总余量）,按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米,最优解：x2=12, x5=15,
其余为0；
最优值：27,整数约束： xi 为整数,当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标,目标2（总根数）,钢管下料问题1,约束条件不变,最优解：x2=15, x5=5, x7=5,
其余为0；
最优值：25。,xi 为整数,按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米,虽余料增加8米，但减少了2根,与目标1的结果“共切割27根，余料27米” 相比,钢管下料问题2,对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式,增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。,现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。,决策变量,xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3),r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量,满足需求,模式合理：每根余料不超过3米,整数非线性规划模型,钢管下料问题2,目标函数（总根数）,约束条件,整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数,增加约束，缩小可行域，便于求解,原料钢管总根数下界：,特殊生产计划：对每根原料钢管
模式1：切割成4根4米钢管，需13根；
模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；
模式3：切割成2根8米钢管，需8根。
原料钢管总根数上界：31,模式排列顺序可任定,钢管下料问题2,需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根,每根原料钢管长19米,LINGO求解整数非线性规划模型,Local optimal solution found at iteration: 12211
Objective value: 28.00000
Variable Value Reduced Cost
X1 10.00000 0.000000
X2 10.00000 2.000000
X3 8.000000 1.000000
R11 3.000000 0.000000
R12 2.000000 0.000000
R13 0.000000 0.000000
R21 0.000000 0.000000
R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000,模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6米钢管，共10根；
模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5米和1根6米钢管，共10根；
模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管，共8根。
原料钢管总根数为28根。,演示cut02a.lg4； cut02b.lg4,露天矿里铲位已分成矿石和岩石: 平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多安置一台电铲，电铲平均装车时间5分钟,卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。,露天矿生产的车辆安排(CUMCM-2003B),矿石卸点需要的铁含量要求都为29.5%1%(品位限制），搭配量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。卸点在一个班次内不变。卡车载重量为154吨，平均时速28km,平均卸车时间为3分钟。,问题：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次 ?,平面示意图,问题数据,问题分析,与典型的运输问题明显有以下不同：
这是运输矿石与岩石两种物资的问题；
属于产量大于销量的不平衡运输问题；
为了完成品位约束，矿石要搭配运输；
产地、销地均有单位时间的流量限制；
运输车辆只有一种，每次满载运输，154吨/车次；
铲位数多于铲车数意味着要最优的选择不多于7个产地作为最后结果中的产地；
最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。,近似处理：
先求出产位、卸点每条线路上的运输量(MIP模型)
然后求出各条路线上的派出车辆数及安排,模型假设,卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；
在铲位或卸点处由两条路线以上造成的冲突问题面前，我们认为只要平均时间能完成任务，就认为不冲突。我们不排时地进行讨论；
空载与重载的速度都是28km/h，耗油相差很大；
卡车可提前退出系统，等等。,如理解为严格不等待，难以用数学规划模型来解
个别参数队找到了可行解 （略）,符号,xij ：从i铲位到j号卸点的石料运量 （车） 单位： 吨；
cij ：从i号铲位到j号卸点的距离 公里；
Tij :从i号铲位到号j卸点路线上运行一个周期平均时间 分；
Aij ：从号铲位到号卸点最多能同时运行的卡车数 辆；
Bij ：从号铲位到号卸点路线上一辆车最多可运行的次数 次；
pi：i号铲位的矿石铁含量 p=(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) %
qj : j号卸点任务需求，q=(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000 吨
cki ：i号铲位的铁矿石储量 万吨
cyi ：i号铲位的岩石储量 万吨
fi :描述第i号铲位是否使用的0-1变量，取1为使用；0为关闭。,,,,(近似),优化模型,,（1）道路能力(卡车数)约束
（2）电铲能力约束
（3）卸点能力约束
（4）铲位储量约束
（5）产量任务约束
（6）铁含量约束
（7）电铲数量约束
（8）整数约束,.,xij为非负整数
fi 为0-1整数,计算结果（LINGO软件）,计算结果（派车）,结论：
铲位1、2、3、4、8、9、10处各放置一台电铲。
一共使用了13辆卡车；总运量为85628.62吨公里；
岩石产量为32186吨；矿石产量为38192吨。,此外：6辆联合派车（方案略）,最大化产量,结论：
（略）,目标函数变化
此外：车辆数量（20辆）限制（其实上面的模型也应该有）,铁路运价表,钢管运输问题（CUMCM-2000B),常用解法: 二次规划
先计算最小运费矩阵
两种运输方式（铁路／公路）混合最短路问题
是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法,
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