1、1小学数学实验研究综述 常州市钟楼实验小学 何佳进入 21 世纪以来，世界各国纷纷将信息技术引入数学课程。数学软件平台的出现更是给传统的以讲授为主的数学教学模式注入了活力，使数学教学由传统的粉笔、尺规模式进入到可操作的实验模式。关于“数学实验”近年来越来越多地出现在数学教育者的研究视野之中。义务教育数学课程标准（2011 年版）明确指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索与合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。这些无一不表明在小学阶段开展数学实验研究，符合国家教育
2、需求，符合课标要求，它在学生对概念的理解和学习方面有非常大的帮助作用。一、关于“数学实验”的历史溯源从历史发展情况来看，在 1996 年的第八届国际数学教育大会上，提出了“实验数学”这一重要概念。数学实验引起了众多数学教育工作者的浓厚兴趣，开始有零星的研究文章出现。到 21 世纪，研究数学实验的教师开始越来越多，从扫射搜索到的资料来看，真正触及数学实验文章是在 2000 年以后，近年来数学实验更受广大的数学教育者所青睐。从传统的数学教学观来看，认为数学实验“只不过是纸上谈兵”，即使进行实验也只是所谓的“思想上的实验”（欧拉、拉卡托斯称之为“准实验”）；教学过程中，学生的数学活动只是“智力活动”
3、，或更为直接地说是解题活动，数学家在纸上做数学，数学教师在黑板上讲数学，而学生则每天在课堂上听数学和在纸上做数学题。这样，对多数学生而言，数学的发现探索活动没有能够真正开展起来。从信息技术的视角来看,随着科学的发展，尤其是计算机的出现，改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式，给数学家的工作带来了最先进的工具，丰富和发展了“数学实验”的内涵，特别是利用计算机成功地解决“四色问题”，对数学领域产生2了巨大的影响。一些数学家正在创立一种新的“做数学”的方法，即主要通过计算机实验从事新的发现。各种先进的计算机软件为学生创新性学习提供了空间，学生可以利用这些软件进行数学实验、数学探究，“发现”数学规律。
4、学生通过观察、实验、归纳进行合理的数学猜想，体验数学思想方法的真谛。应该说，信息技术使传统的数学实验教学注入了新的生命，数学正在成为一门“实验科学”。从课程改革的视野来看，21 世纪初，世界各地掀起了新一轮的课程改革热潮，特别是我国进行了第八次课程改革。我国这次新课程改革的核心理念就是“为了每一位学生的发展”。由此可见，新课改的价值取向定位在人的发展上，就是为了每位学生的发展。另外，要让课程教学走向生活，课程教学要面向儿童的生活世界和社会实践，也是新课程改革的基本理念之一。二、对“数学实验”的基本认识1“数学实验”与课程改革基础教育课程改革指导纲要把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念，提出
5、“改变过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于研究、勤于动手”。义务教育数学课程标准（2011 年版）指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。数学实验课程将有利于体现和实现新课程的理念与目标。 “数学实验”是为了探索数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动。数学实验一般具有可操作性和实践性，注重实测与直观，让数学在“实验”
6、的过程中对所研究的内容“可视化”，让学生从中获得数、形的观念，并逐步对其适度抽象，进行更高层次上的“再实验”或“再创造”过程，进而体会数学的研究方法和构成体系，使学生在活动中认识并改造着自己的数学知识结构。因此，“数学实验”可以有效帮助转变学生的学习方式，使学生逐步学会数学思维的物质实践方法，3掌握数学研究的规律，培养理性思考问题的习惯，能够解决学科中的和实际生活中的问题，检验和论证问题结果的正确性。2“数学实验”与数学学习数学实验，是学生通过观察、操作、试验等实践活动来进行数学学习的一种形式。这种学习方式，不是学生被动接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的“数学现实”出发，通过自
7、己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程。数学实验能很好地激励学生的求知欲与好奇心。一般地说，在数学实验中，学生由于亲自动手操作，从一个旁观者和听众变成了一个参与者，因此更容易对实验结果、产生结果的原因、新的知识、新的学科以及新的方法等等产生强烈的好奇心。长期以来，我国学生对考试以外的题目丧失兴趣，缺乏好奇，这和我们的以“苦读考试”为核心的教育传统是分不开的。而数学实验则超越了“苦读考试”，在课堂教学中创设探究的情境，激励学生的好奇心，使学生具有更高的追求。在数学课堂教学中，常常会碰到学生解题时因为找不到突破口而困惑，此时我们可以引导学生
8、通过数学实验来发现规律，经历动手“做”数学的过程，在“动”手操作的过程中，要一边“做”一边“想”（即思考），这步操作带来了什么“发现”，能得出新结论吗，然后将所得到的结论再运用到新的情境中，对新问题提供有效的思考方法，学会从新的视角思考问题，进而获得新问题的解题途径。数学概念是抽象的，但抽象的概念是来源于现实的生活实践，是从现实中概括出来的，因此在概念数学中，应注意从现实中寻找实物模型或通过演示实验帮助学生对概念形成感性认识。许多数学概念是抽象的，只能借助于感觉和想象来描述，直观和具体是理解数学概念的重要方法和手段，在教学中通过实验变数学抽象为具体，使学生很好地理解新的概念知识，增强学生的概括
9、抽象能力。调查显示，有些学生认为数学是抽象、枯燥、伤心、离实际较远的。数学实验课的开展使学生认知方式有所改变，认知途径得到拓展，许多科学结论不再以完成、完4满的形式出现在学生面前，他们需要参与教学活动，亲身体验数学知识发生、发展的过程，每个学生都可以自由地、大胆的猜想和实验验证，享受数学发现的喜悦，感知数学思想形成的生动历程，实现了从“学数学”到“做数学”再到“玩数学”，从被动学习到主动学习再到创造性学习的飞跃。随之而来的是学习态度的转变和由静态的、绝对的机械反映论的数学观向动态的、经验的、模式论的数学观的转变。因此，数学实验教学对发展学生的积极数学情感是大有裨益的。三、小学数学实验研究现状分
10、析截至 2018 年 4 月底，在中国知网中以“数学实验”为关键词检索到相关研究成果2246 篇，分析这些文献可以看出大部分研究源于大学，因为数学实验首先是在高校开展实践研究的。以“小学数学实验”为主题并含“小学”检索得到与小学数学实验相关的研究成果 63 篇，其中篇名含“小学数学实验”的研究成果 42 篇，时间跨度从1985 年到 2018 年。通过对这 63 篇文献的梳理，可以发现：在实践层面，现有研究成果基本停留在经验的总结和介绍，主要是作者本人对教学过程的一些思考，以及基于对数学实验教学的感性认识所撰写的教学方案等；有些在表层上探讨运用个别教学软件，主要是几何画板、图形计算器等，没有从
11、更深层面上演绎和实践数学实验教学模式，缺乏理论依据和支持。理论研究方面，对小学数学实验的相关研究大多集中在其教育意义与作用，再用相应的例子来验证，很少从教学设计的层面系统地对数学实验进行研究；有些文献则探讨了数学实验的内涵、特征、价值、可行性以及存在的问题等。1.国内研究现状近年来，随着计算机技术的高速发展，数学实验以及与数学实验相关的数学研究方法得到了更多的重视，高等学校广泛的开设了数学实验课程，多个版本的数学实验教程得以出版，一些大学还建立了数学实验室。初中及高中数学实验的研究较以前重视，然而小学阶段对于数学实验教学的研究较少。5进入二十一世纪，数学实验在我国也引起了广大教学研究者和教师的
12、积极关注，并在一些学校得以探索性的实施。张景中院士和王鹏远先生编著的少年数学实验，以“超级画板”数学教学软件为依托，提供了大量有价值的数学实验案例。董林伟先生领衔的课题动手“做”数学“数学实验”的设计与开发研究，对数学实验的设计、数学实验的教学、数学实验概念的界定进行了深入的研究。人教版小学数学教材中增设了数学生活课题研究、课后习题还有调查题；苏教版教材关注数学实验也是有所体现，苏教版小学数学教材独创了“解决问题的策略”、增加了“动手做”、丰富的“综合与实践”活动等。可以看出，教材要求教师开展数学实验教学，鼓励学生探索和交流，为学生搭建了开展数学实验、探索数学问题的良好平台,同时也为开展数学实
13、验教学提供了很好的题材。2.国外研究现状大数学家欧拉认为：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。它的许多定理都是靠实验、归纳发现的，证明只是补充的手续”。荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经历亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的”。著名数学家、数学教育家 G波利亚说：“历史表明，数学不只是逻辑推理，还是实验。数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学。”从国外的研究情况来看，美国的 MOUNT HOLYOKE COLL
14、EGE 数学系经过反复讨论于1989 年起在本科的教学计划中，增加了一门大学二年级水平的导引性课程数学实验室。施普林格出版社出版了该大学数学、统计学和计算机科学系教师集体编写的数学实验室（Laboratories in Mathematical Experimentation）一书。希望使学生们醉心于对数学现象的探索，使学生们自己去发现，让学生们做出猜想并引导他6们找出支持的证据，希望学生们发现那些过去已理解的却可能完全错误的问题。这本书很好的体现了用实验手段进行数学教育的指导思想。1991 年实验数学（Experimental Mathematics ）这一季刊的问世也推动了数学实验的发展，
15、其宗旨是将数学以生动的形象呈现给读者。再由 Springer 出版社 1998 年 8 月出版的Principles and Practice of Mathematics一书是为改革大学数学教学内容而编写的一部创新性数学教材，其中有这样的精辟论述：“在技术领域中，数学具有关键性的重要作用，且新应用性的可能性永无止境。我们知道数学学科的广度和内容极为丰富，从不怀疑连续数学的重要性和优美，但我们必须要用实验的实践去期望大学生们获得这样的领悟。” 在发达国家，“数学实验”也已开始成为数学教学的一种模式。美国的中学里开始有了专门的数学实验室，英国的中学教材中有了数学实验材料。美国全美数学教师协会（N
16、CT）在课程与评价标准中还写道：“让每一个普通教室成为计算机教室，让每一个学生随时随地可以学习和探索数学”。美国学校数学的原则和标准要求，在课堂教学中，教师有责任产生良好的智力环境，促进学生进行认真的数学思考。教师应该选择和使用合适的课程材料，恰当的工具，先进的教学技术，以便支持学生的数学学习，组织适当的实验，让学生在实验与操作的过程中理解数学。由此可见，世界上许多国家在数学实验课程的研究等方面均已广泛开展。国外小学现在已开设数学实验室或实验角，准备各种各样的教具、操作用具，许多用发现法教学的数学课就在数学实验室中进行。四、关于数学实验的特征和教学价值随着研究的不断深入，越来越多的教师开始研究
17、数学实验的特征或者说是特点以及它的教学价值。如文数学实验的内涵与特征一文中给出数学实验的特征为：“1.主体性。数学实验活动的主体是人，而探索和创新是实验活动的首要原则。2.过程性。数学实验是从问题出发，借助一定的条件，让学习中在实验中去学习和探索，并通过自己设计和动手，去体验问题解决的活动过程。3.开放性。由于数学实验是以问题为载体来实施的，而要研究的问题多来自生活中的现实世界，学习者根据自己的兴趣、爱好、特长会选择不同的问题进行研究，因此所遇到的数学实验会呈现各种不同的类7型。4.统一性。数学实验体现了归纳和演绎的统一性。”这四点。而文从数学实验的基本特征看数学哲学的基本问题中则从数学实验的
18、实质和内涵分析，认为数学实验具有以下 3 个特点，即“实践性、创造性和演绎与归纳的统一性”。数学实验主要是使教学的表现形式形象化、多样化、视角化，应既有利于充分揭示数学概念、定理的形成与发展、数学思维的过程和本质，又有利于数学思想的渗透、数学方法的选择、数学新问题的形成。数学实验的教学价值已经得到普遍认可，文论数学实验的教学价值中指出，数学实验的价值表现在“运用实物模型深化对数学概念的理解、通过实验操作体现知识的形成过程、通过实验操作可以概括数学知识、通过实验操作可以发现和验证数学规律、通过实验操作可以获得重要的数学定理、通过实验操作帮助学生形成估算意识”。再比如文重视数学实验，培养探究能力中
19、数学实验的价值在于“运用实物模型深化数学概念、通过实验操作体验知识的形成过程、通过实验操作探究解题思路、通过实验操作培养学生的创造能力、通过实验操作验证和发现数学规律”等。可以说在数学实验的教学价值上有比较趋于一致的认识。我们认为数学实验具有以下价值：一方面是理论价值：（1）丰富学生学习方式；（2）帮助学生积累数学活动经验；（3）培养学生创新精神和实践能力。另一方面是实践价值：（1）促进课程建设与学科发展；（2）促进教师成长与学生发展；（3）促进家校联系与区域发展。五、关于开展数学实验的基本原则数学教学原则是数学教学工作所应遵循的基本要求，是在总结、概括教学经验的基础上依据一定的教学目的、任务
20、和教学规律所制定的准则。小学“数学实验教学作为一种全新的数学教学方法，除应遵循一般教学原则和一般数学教学的原则外，还需根据“数学实验”教学的特点和规律，遵循特有的原则，关于这一点，比较有代表性的观点有如下一些。8小学数学实验开发设计原则与方法例谈一文中指出，开发设计数学实验要遵循以下 5 条原则：1趣味性原则：通过真实的问题情境，将观察、操作、试验等学习方式融入课堂，让学生好玩、好动的天性得以满足，从而主动参与到学习活动中来；2基础性原则：应参考现行教材的知识体系，围绕教材中的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验展开，从而全方位、多角度地夯实学生的数学基础，培养学生的数学素养；3.过程性
21、原则：数学实验应选用合适的实验素材，设计精当的实验步骤，让学生通过观察、猜测、推理、交流、反思等活动，感悟知识的形成和应用过程；4.开放性原则：从实验要求的提出、实验内容的设置、实验方法的选择到实验结果的运用，都应放手让学生主动参与，使学生有更大的自主选择的空间；5.实用性原则：小学数学实验应密切联系实际，精选实验的实验材料、有效的实验方法。文开发数学实验课程，培养探究能力中，认为开展数学实验需要遵循以下原则：1.自主性原则，在数学实验中要突出学生的主人翁角色；2.协调性原则，注重学生的认知、情感两个领域的相互协调、相互促进；3.探究性原则，注重知识的发生过程，交流分析问题解决问题的方法和步骤
22、；4.量力性原则，要符合学生身心发展特征和原有认知水平，注意年龄特征；5.趣味性原则，数学实验形式要富于吸引力，能激起学生积极参与的情绪反应；6.实用性原则，数学实验应简便、易行、有效，要有一定的实际背景和意义。真是英雄所见略同啊！我们认为，小学数学实验教学要遵循以下几个原则：1主体凸显原则。学生是活动的主体，应充分开放活动空间，尊重学生学习的主体性，给学生更多的机会和条件，让学生充分体验过程，调动学生的学习积极性，发挥学生在认知活动中的主观能动作用。但要正确处理学生的自主探究与教师的有效指导之间的关系。2探究合作原则。在教学过程中，应当鼓励学生独立思考、积极探索，提出独到的见解，不唯书、不唯
23、师，只唯实，敢于大胆质疑，敢于向权威挑战。同时，注重让学生在探究的过程中，形成探究兴趣、创新性思维和自主探究学习的良好习惯。3最佳动机原则。精选学生必须的数学知识，遵循学生认知的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。在活动中尽量让学生自己去发现要学习的材料，主动提出并表述问题，培养学生提出问题的意识和能力。教学中还要注重数学知识与数学实验手段的巧妙结合，使得数学实验教学具有浓厚的趣味性，促使学生主动学习，对所活动的材料感兴趣，9并在活动过程中找到乐趣。4.发展性原则。学生学习的过程是主体自我发展的过程，实验教学过程中贯彻发展性原则，要求教师给出探究课题或所设计的探索性实验方案，
24、要切实符合学生的认知结构和身心发展水平，又能促进学生的实验、设计、思维、探索、创新等能力的发展。六、关于数学实验课的基本模式和基本类型数学实验教学模式，通常由教师（也可以由学生自己）提出明确的问题情境，让学生在计算机提供的数学技术的支持下做教学实验，利用小组合作学习或者组织全班讨论，开展研究性学习活动；实验过程中，依靠实验工具，让学生主动参与发现、探究、解决问题，从中获得数学研究、解决实际问题的过程体验、情感体验，产生成就感，进而开发学生的创新潜能。关于模式的研究，在近几年呈现出上升的趋势。文数学实验教学模式探究中指出，教学模式一般主要包括以下五个环节：（一）创设情境。创设情境是数学实验教学过
25、程的前提和条件，其目的是为学生创设思维场景，激发学生的学习兴趣。（二）活动与实验。这是这种教学模式的主体部分和核心环节。教师根据具体情况组织适当的活动和实验；数学活动形式可根据具体情况而定，最好是以 24 人为一组的小组形式进行，也可以是个人探索，或全班进行。这里教师的主导作用仍然是必要的，教师给学生提出实验要求，学生按照教师的要求，在计算机（器）上完成相应的实验，搜集、整理研究问题的相关数据，进行分析、研究，对实验的结果作出清楚的描述。这一环节对创设情境和提出猜想两个环节起承上启下的作用。（三）讨论与交流。这是开展数学实验必不可少的环节，也是培养合作精神、进行数学交流的重要环节。让学生积极主
26、动地参与到数学实验活动中去，对知识的掌握，思维能力的发展，学业成绩的提高以及学习兴趣、态度、意志品质都具有积极的意义。在学生积极参与小组或全班的数学交流和讨论的过程中，通过发言、提问和总结等多种机会培养学生数学思维的条理性，鼓励学生把自己的数学思维活动进行整理，明确表达出来。这是培养学生逻辑思维能力和语言表达能力的一个重要途径。（四）归纳与猜想。归纳与猜想这一环节和活动与实验、讨论与交流密不可分，常常10相互交融在一起，有时甚至是先提出猜想，再通过实验验证。提出猜想是数学实验过程中的重要环节，是实验的高潮阶段；根据实验观察到的现象进行数据分析，寻找规律，通过合情推理、直觉猜想，得到结论是数学实
27、验的教学目标实现程度的体现，是实验能否成功的关键环节。（五）验证与数学化。提出猜想得出结论，并不代表实验结束，还需要验证，通常有实验法、演绎法和反例法。提出猜想是科学发现的一个重要步骤，目前开展研究性学习，培养学生的创新意识，开发学生的创新潜能，需要猜想。但数学不能仅靠猜想来行事，验证猜想是科学精神、思想以及方法不可或缺的关键程序，是对数学实验成功与否的“鉴定”。教师有必要引导学生证明猜想或举反例否定猜想，让学生明白，数学中只有经过理论证明而得出的结论才是可信的。另外，还有文关于数学实验的思考中提出了“七环节实验教学模式”，这 7个环节分别是：1创设情境，激发情趣；2设计方案，分组实验；3反复实验，发现特征；4筛选结果，归纳猜想；5合作交流，行成结论；6反思提高，写成报告；7知识迁移，深化应用。其基本的结构图为：
