1、平面向量易错题解析1平面向量易错题解析赵玉苗整理1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积） 、运算性质和运算的几何意义吗？2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用 ； ）2|a2|yx3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（向量运算；向量的坐标运算）4、你弄清“ ”与“ ”了吗？021yxba 0/121yxba问题：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1） 在实数中：若 ，且 ab=0,则 b=0,但在向量的数量积中，若 ，且 ，不能a0b推出 .0b（2） 已知实数 ，且 ，则 a=c,但在向量的数量积中没有)(,ocabca.（3） 在实数中有 ，但
2、是在向量的数量积中 ，这是因)()(cba )()(cba为左边是与 共线的向量，而右边是与 共线的向量.ca5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 按向AB量 （1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0） ）a（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任
3、意的；0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作：ab ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；ab两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；三点 共线 共线；0ABC、 、 A、（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。aa如下列命
4、题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相ab同。 （3）若 ，则 是平行四边形。 （4）若 是平行四边形，则 。 （5）若ABDC DD，则 。 （6）若 ，则 。其中正确的是_（答：（4） （5） ）,abc /,c/a2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点AB平面向量易错题解析2在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；（3）坐标表示法：在平面内abc建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，则平面内的任一向量 可表xyij a示为 ，称 为向量 的坐标，
5、叫做向量 的坐标表示。如果向量的起,axiyj,a,xy点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如（ 1）若12(,)ab，则 _（答： ） ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 (1,)(,2)cc3bA. B. C. D. 0(,)e1(,)(5,7)12(3,5)(6,10)e（答：B） ；（3）已知 分别是 的边 上的中线,且121(,3)4ADBEACB,则 可用向量 表示为_（答： ） ；（4）已知 中，点 在 边
6、ADaEbC,ab23abADBC上，且 ， ，则 的值是_（答：0） CsrDsr4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0；当 P 点在线段 P P11平面向量易错题解析5的延长线上时 = 得：cos= = 由 =-1 得 x+y=-1 m43mn22yxmn联立两式得 或 =(0,-1)或(-1,0)10yxn(2) = 得 =0 若 =(1,0)则 =-10 故 (-1,0) =(0,-1)nq2nqqnn2B=A+C，A+B+C= B= C= + =(cosA,2cos2 ) =(cosA,cosC)3
7、A2p1c + = = = =npCA2cos2cos1csC2osCA12)34cos(A= = =12in3cos1sin3sA1)3cs(00adc 42平面向量易错题解析8当 m0 时，2mcos20，即 f( )f( ) 当 m为锐角，求实数 x 的取值范围.b解：要满足为锐角 只须 0 且 （ ）ba, babaR= = = 即 x (mx-1) 0xm1212xm011当 m 0 时 x 0 时， x = 0 时， x 0，（1）用 k 表示 ab;（2）求 ab 的最小值，并求此时 ab 的夹角的大小。解 （1）要求用 k 表示 ab,而已知|ka+b|= |akb|，故采用两
8、边平方，得|ka+b| 2=( |akb|) 233k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b2 2kab) 8kab=(3k 2)a2+(3k21)b 2ab = a=(cos，sin ), b=(cos,sin)，a 2=1, b2=1,k813()(ab = =242平面向量易错题解析9（2）k 2+12k，即 = ，ab 的最小值为 ，k41221又ab =| a|b |cos ，|a|=|b|=1 =11cos 。 =60,此时 a 与 b 的夹角为60。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a +b|2=|(a+b)2|=a2
9、+b2+2ab 或|a| 2+|b|2+2ab。例题 9 已知向量 ， ， (cos,in)(cos,in)25（）求 的值；（）若 ， ，且 ，求 的值)020sin13sin解（） , . cosincosinab， ， ， coab，, ,25b225is即 . . 4cos3cos5（） 0,0,2， 3cs54sin.， in112co.sisicossin.4235516例题 10 已知 O 为坐标原点，点 E、F 的坐标分别为（-1，0） 、 （1，0） ，动点 A、M、N 满足（ ） ， ， ， |AEmFMNA()2OAF/E（）求点 M 的轨迹 W 的方程；（）点 在轨迹
10、W 上，直线 PF 交轨迹 W 于点 Q，且 ，若 ，求实0(,)2Py P12 数 的范围解：（） ， ，NAF1()2OAF MN 垂直平分 AF又 ， 点 M 在 AE 上，/E ， ，|2AmEF|AMF平面向量易错题解析10 ， |2|MEFmE 点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴 ，半焦距 ，am1c 221bac 点 M 的轨迹 W 的方程为 （ ） 21xym（）设 1(,)Qxy ， ，02mPF 10(),.xy10(),2.mxy由点 P、Q 均在椭圆 W 上， 消去 并整理，得 ，2022021,4()1.()mym 0y21m由 及 ，解得 21 2基础练习题1、设平面向量 =(2，1)， =(，1) ，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）ababA、 B、),(),( ),2(C、 D、,2 1,答案：A点评：易误选 C，错因：忽视 与 反向的情况。ab2、O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足,则 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) )0),|(ABP(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心正确答案：B。错误原因：对 理解不够。不清楚),0),|(CO|AB
