1、学英语报社 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源优课轩资源网 http:/ 未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的 第 1 页 共 5 页2.5 平面向量的应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。例 1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图 2.5.1, = + ,ACBD= - ,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻
2、边长度之间的关系DBA吗？DA分析：不妨设 = ， = ，则BaADb= + ， = - ，C= ， = 。22涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算 与2AC2DB解： = =（ + ）（ - ）2ACab= + + + ab= +2 + 。22同理 = -2 + 。DBa观察（1） 、 （2）两式的特点，我们发现， （1）+（2）得+ =2（ + ）=2 （ + ） 。2AC2b2ABD即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。思考 如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？CB学英语报社 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源优课轩资源网 http
3、:/ 未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的 第 2 页 共 5 页平面几何经常涉及距离（线段长度） 、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题
4、；（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。例 2 如图 2.5-2，连接ABCD 的一个顶点至 AD、DC 边的中点E、F， BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点，你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗？DABEFRT分析：由于 R、T 是对角线 AC 上的两点要判断 AR、RT、TC 之间的关系，只需分别判断 AR、RT、TC 与 AC 的关系即可。又因为 AR、RT 、TC、AC 共线，所以只需判断 、 、 、 之间的关系即可。ADTAC解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：设 = ， = ， = ， = ，则 = + 。B
5、abRrtab第二步，通过向量计算，研究几何元素之间的关系：由于 与 共线，所以，我们设ARC=n（ + ） ，n 是实数，rab又因为= - = -EB21与 共线，所以我们设R= =m（ - ）ab因为 = + ，AERC学英语报社 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源优课轩资源网 http:/ 未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的 第 3 页 共 5 页F1F2FGq所以= +m（ - ） 。r21ba21b因此，n（ + ）= +m（ - ）即（n-m） +（n+ ） = a21mb0由于向量 、 不共线，要使上式为 ，必须b021- n解得n=m= 3所以=A
6、R1C=T32第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR=RT=TC思考 用演绎证明的方法如何证明本题的结论？2.5.2 向量在物理中的应用举例例 3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型。只要分析清楚 F、G 和角度三者之间的关系（其中 F为 F 、F 的合力） ，就得到了问题的数学解释。12解：不妨设| F |=| F |,由向量的平行四边形法则，12力的平衡以及直角三角形的知识可以知道12cosGq=学英语报社 http:/www
7、.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源优课轩资源网 http:/ 未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的 第 4 页 共 5 页1 12 0809cos2FFFqq :由 上 面 的 式 子 ， 我 们 发 现 ： 当 由 逐渐 变 大 时 ， 由 逐 渐 变 大 ， 的 值 由大 逐 渐 变 小 ， 因 此 由 小 逐 渐 变 大 ， 即之 间 的 夹 角 越 大 越 费 力 ， 夹 角 越 小 越 省 力探究 （1） 为何值时， |F1|最小，最小值是多少？（2） |F1|能等于 |G|吗？为什么？例 4 ()10/,2/,?dvkmhvkmh= 如 图 ， 一 条 河 的 两 岸 平
8、行 ， 河 的 宽 度 5一 膄 船 从 A处 出 发 到 河 对 岸 。 已 知 船 的 速 度水 流 速 度 问 行 驶 航 程 最 短 时 ， 所 用 时 间 是多 少 精 确 到 0.1 in分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于对岸，如图解：|v|= = （km/h） ，221|v96所以 t= = 60=3.1（min）.|d5.0答：行驶航程最短时，所用时间是 3.1min.学英语报社 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源优课轩资源网 http:/ 未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的 第 5 页 共 5 页小结：物理问题(实际问题）向量问题(数学模型)数学问题的解决解释和验证相关物理现象
