1、点，直线，平面之间的位置关系一、知识网络 二、高考考点1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.三、知识要点（一）空间直线1、空间两条直线的位置关系（1）相交直线有且仅有一个公共点； （2）平行直线在同一个平面内，没有公共点；（3）异面直线不同
2、在任何一个平面内，没有公共点.2、平行直线（1）公理 4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示：设 a,b,c 为直线， （2）空间等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.3、异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.（2）有关概念：（）设直线 a,b 为异面直线，经过空间任意一点 O 作直线，并使/a，/b,则把和所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角.特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两
3、条异面直线互相垂直.认知：设 为异面直线 a， b 所成的角，则 .（）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.（）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.（二）空间直线与平面直线与平面的位置关系： （1）直线在平面内直线与平面有无数个公共点；（2）直线和平面相交直线与平面有且仅有一个公共点； （3）直线和平面平行直线与平面没有公共点.其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.1、直线与平面平行（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.
4、（2）判定 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出 .（3）性质 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、直线与平面垂直（1）定义：如果直线 l 和平面 内的任何一条直线都垂直，则说直线 l 和平面 互相垂直，记作 l.（2）判定：判定定理 1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理 2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 符号表示：.（3）性质性质定理：如果两条直线垂直于同
5、一个平面，那么这两条直线平行. 符号表示： （4）概念（）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.（）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.（三）空间两个平面1、两个平面的位置关系（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.（2）两个平面的位置关系 （）两个平面平行没有公共点； （）两个平面相交有一条公共直线.2、两个平面平行（1）判定判定定理 1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理 2：（线面垂直性质定理）
6、：垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）性质性质定理 1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.性质定理 2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.3、有关概念（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.（2）两个平行平面的公垂线段都相等. （3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.4、认知：两平面平行的判定定理的特征：线面平行 面面平行，或线线平行 面面平行；两平面平行的性质定理的特征：面面平行 线面平行，或面面平行 线线平行.它们恰是平行范畴中同一
7、事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.四、高考真题（一）选择题1，设 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 ，有如下的两个命题：若 ；若 那么（ ）A、是真命题，是假命题； B、是假命题，是真命题； C 、都是真命题； D、都是假命题.分析：这里 . 对于，若 ，则 l，m 可能平行，也可能异面；对于，若 则 可能垂直，也可能不垂直. 故应选 D.2、已知 m,n 是两条不重合的直线， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： 若 m,n 是异面直线，其中真命题是（ ）A、和 B、和 C 、 和 D、和分析： 由面面平行判定定理知为真命题； 注意到垂直于同一个平面的两个平面不一定
8、平行，为假命题；显然为假命题； 由于 m,n 为异面直线，故可在 内确立两条相交直线与 平行，因而为真命题. 故应选 D.3，设 为平面，m,n,l 为直线，则 m 的一个充分条件是（ ）分析：对于选项 A，由于这里的直线 m 不一定在 内，故不一定有 m ；对于选项 B，它与 m 构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，则其中一个平面与第三个平面的交线垂直于另一个平面，此命题为假； 对于选项 C，它与 m 构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，且直线 m 垂直于其中一个平面，则 m 也垂直于另一个平面，此命题亦为假命题； 排除法可知应选 D.选项 D 与 m 构成的命题是：若直线
9、m 与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它和另一个平面也垂直，这显然为真命题.4、对于不重合的两个平面 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 都垂直于 ； 存在平面 ，使得 都平行于 ； 内有不共线三点到 的距离相等； 存在异面直线 l,m，使得 ；其中可以判定 平行的条件有（ ）A、1 个 B、2 个 C 、3 个 D、4 个分析：对于，垂直于同一平面 的两个平面 可能相交；对于，由面面平行的传递性可以判定 ；对于，当 相交时， 内仍可存在不共线三点到的距离等；对于，在 m 上取定点 P，经过点 P 在 l 与点 P 确定的平面内作 l/l ，则与 m 可确定平面 .由于于是可知，本题应选 B.
10、（二）填空题1、已知 m,n 是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：若 若 若 m,n 是两条异面直线，若上面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）分析：显然为假命题； 对于， 内的直线 m,n 不一定相交，故亦为假命题；对于，由题设知 为真命题； 对于，由前面选择题第 4 题知此为真命题.因此，答案为、.2、在正方体 中，过对角线 的一个平面交 于 E，交 于 F，则四边形 一定是平行四边形； 四边形 有可能是正方形；四边形 在底面 ABCD 的投影一定是正方形； 平面 有可能垂直于平面以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）分析：注意到正方体的特性，由面面平行性质定
11、理和 ，故四边形 为平行四边形，正确；在这里，当 时，平行四边形 即 为矩形，且不可能为正方形，不正确；正确；而当平面 与底面 ABCD（或 ）重合时有平面，故正确.于是可知答案为，.（三）解答题1、如图 1，已知 ABCD 是上下底面边长分别为 2 和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 折成直二面角，如图 2. （1）证明： ；（2）求二面角 的大小. 分析：循着解决平面图形折叠问题的基本思路：（1）认知平面图形中有关线段的长度与联系；（2）了解折叠前后有关线段的长度或联系的变与不变； （3）利用不变的量与不变的关系解题.在这里，由图 1 知， .至此（1）易证；对于（2），由（1）知 ，
12、，故 ，于是可利用三垂线定理构造所求二面角的平面角.解：（1）证明：由题设知 AOB 是所成的直二面角的平面角，即， OC 是 AC 在平面 上的射影 又由题设得 从而 根据三垂线定理由得， .（2）解：由（1）知 ， ， 设 ，在平面 AOC 内过点 E 作 EFAC 于 F，连结 （三垂线定理）由题设知， 又 即所求二面角的大小为.点评：利用原来平面图形折叠后“不变的量” 与线段间不变的垂直或平行关系，推出立体图形中，是证明（ 1）以及解答（2）的基础与关键.由此可见，这类问题中认知平面图形的重要.2、在四面体 P-ABC 中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB .F
13、是线段 PB 上一点，点 E 在线段 AB 上，且 EFPB.（1）证明：PB平面 CEF； （2）求：二面角 B-CEF 的大小 .分析：（1）要证 PB平面 CEF，只要证 PB 垂直于 CE 或 CF.这一设想的实现与否，要看对有关三角形的特性的认知与把握.在这里， ， 故易得BC平面 PAC，BC AC 等.注意到 ，便得 PBCF，于是问题获证 .（2）由（1）知 CEPB，从而 CE平面 PAB，CEAB，CEEF，故BEF 为所求二面角的平面角.至此，解题的难点得以突破.解：（1）证明： PA 2+AC2=36+64=100=PC2 PAC 是以PAC 为直角的直角三角形，同理可
14、证：PAB 是以PAB 为直角的直角三角形， PCB 是以PCB 为直角的直角三角形。故 PA 平面 ABC 而故 CFPB, 又已知 EFPB PB 平面 CEF（II）由（I）知 PBCE，PA平面 ABC AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影， 故 ABCE在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1平面 ABC， EF 1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，EFEC 故FEB 是二面角 BCEF 的平面角。 tanFEB=cotPBA= 二面角 BCEF 的大小为 arctan 点评：条件求值或证明中的已知数据经常具有双重作用，一是明确给出可
15、用于计算或推理的量值，二是从中隐含有关各量之间的特殊联系.对于本题，揭露并认知有关线段的垂直关系，乃是解题取胜的关键环节.3、如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE.（1）求证：AE平面 BCE； （2）求二面角 B-AC-E 的大小；（3）求点 D 到平面 ACE 的距离. 分析：（1）注意到 BF平面 ACE，故 AEBF.又 AECB 明显，问题易证.（2）注意到四边形 ABCD 为正方形，故想到连结 BD 交 AC 于 G，若取 AC 中点为 G，连结BG，则 ACBG. 再连结 GF，只要证 G
16、FAC，便得出BGF 为所求二面角的平面角.（3）注意到平面 ACE 经过线段 BD 的中点，故 B、D 两点到平面 ACE 的距离相等.据此，在直接画出并求解这一距离有困难时，可转而去求点 B 到平面 ACE 的距离，或运用体积法求这一距离.解法一：（1） 平面 ACE. 二面角 DABE 为直二面角，且 ， 平面 ABE，（2）连结 BD 交 AC 于 G，连结 FG， 正方形 ABCD 边长为 2，BGAC ，BG= ， 平面 ACE， 由三垂线定理的逆定理得 FGAC. 是二面角 BACE 的平面角. 由（）AE平面 BCE， AEEB，又 ， 在等腰直角三角形 AEB 中，BE= .
17、又 直角 ，二面角 BACE 等于 （3）方法一：过点 E 作 交 AB 于点 O.，OE=1. 二面角 DABE 为直二面角， EO平面 ABCD设 D 到平面 ACE 的距离为 h， 平面 BCE， 点 D 到平面 ACE的距离为 方法二： G 为 BD 中点， D 到平面 ACE 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离.BF平面 ACE BF 即为点 B 到平面 ACE 的距离.又由（2）知， 所求点 D 到平面 ACE 的距离为 .解法二：（1）同解法一.（2）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴，
18、建立空间直角坐标系 Oxyz，如图.面 BCE，BE 面 BCE， ，在 的中点，设平面 AEC 的一个法向量为 ， 则 即 解得令 得 是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为 ，cos= 二面角 BACE 的大小为 （3）AD/z 轴，AD=2 ， ， 点 D 到平面 ACE 的距离点评：直面点到平面的距离，当垂线段难以作出或者难以求出时，要注意适时转化或变通。这里（3）的解法，便给出了变通与转化的范例.4、如图，在长方体 中， ，AB2，点 E 在棱 AB 上移动. （1）证明： ； （2）当 E 为 AB 中点时，求点 E 到平面 的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 的大小为 . 分析：（1）注意到这里的 不管在什么位置，它在侧面 的射影总是 ，要证，只要证 ，问题易证. （2）注意到 面积易求，想到运用“体积法”.（3）注意到 ，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.解法一：（1）证明：在长方体中， ，四边形 为正方形 ， 为 在侧面 上的射影.
