1、1高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲 几何不等式班级 姓名 一、知识要点：1P tolemy（ 托 勒 密 ） 不 等 式若 ABCD 为 四 边 形 ， 则 ABCD+ADBC ACBD。 等 号 成 立 时A,B,C,D 四 点 共 圆 2E rdos Mordell（ 埃 尔 多 斯 莫 德 尔 ） 不 等 式设 P 是 ABC 内 任 意 一 点 ， P 到 ABC 三 边 BC,CA,AB 的 距 离 分 别 为PD=p,PE=q,PF=r， 记 PA=x,PB=y,PC=z。 则 x+y+z2*(p+q+r) 证 明 ： 因 为 P,E,A,F 四 点 共 圆 ， PA 为 直
2、径 ， 则 有 :EF=PA*sinA。 在 PEF 中 ， 据 余 弦 定 理 得 : EF2=q2+r2-2*q*r*cos(-A)=q2+r2-2*q*r*cos(B+C) =(q*sinC+r*sinB)2+(q*cosC-r*cosB)2(q*sinC+r*sinB)2， 所 以 PA*sinAq*sinC+r*sinB， 即 PA=xq*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。同 理 可 得 : PB=yr*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)，PC=zp*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。 由 (1)+(2)+(
3、3)得 :x+y+zp*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)2*(p+q+r)。 命 题 成 立 。 3W eitzenberk（ 外 森 比 克 ） 不 等 式 ：若 为 三 角 形 三 边 长 ， 是 三 角 形 面 积 , 则 ： 。,acS2243abcS等 号 成 立 当 且 仅 当 为 等 边 三 角 形 。 B证 明 ： 只 需 证 明 ，22 1cos43sinababC只 需 证 明 ， ， 成 立 。2(cos3in)2()6ab4E uler（ 欧 拉 ） 不 等 式设
4、ABC 外 接 圆 与 内 切 圆 的 半 径 分 别 为 R、 r， 则 R2r， 当 且 仅 当ABC 为 正 三 角 形 时 取 等 号 。 5等 周 定 理 （ 等 周 不 等 式 ）周 长 一 定 的 所 有 图 形 中 ， 圆 的 面 积 最 大 ； 面 积 一 定 的 所 有 图 形 中 ， 圆的 周 长 最 小 。 周 长 一 定 的 所 有 n 边 形 中 ， 正 n 边 形 的 面 积 最 大 ； 面 积一 定 的 所 有 n 边 形 中 ， 正 n 边 形 的 周 长 最 小 。6F ermat（ 费 马 ） 问 题到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。 对于
5、一个顶角不超过 的三角形，费尔马点是对各边的张角都是 的点。 对于一个顶角超120 202过 的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。120二、例题精析：例 1. 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I，B= 60,A SPQRSABC29A B C O I E NACBPQ RHP QRr dACBMOlm3三、精选习题：1如图，在ABC 中，P 为边 BC 上任意一点，PEBA，PF CA，若 SABC=1，证明：S BPF、S PCE、S PEAF中至少有一个不小于 (SXYZ 表示多边形 XYZ49的面积)2设凸四边形 ABCD 的面积为 1，求证：在它的边上 (包括顶点
6、)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 143在圆 O 内，弦 CD 平行于弦 EF，且与直径 AB 交成 45角，若 CD 与 EF 分别交直径 AB 于 P 和 Q，且圆 O 的半径为 1，求证： PCQE+PDQF 2 MNADC BFEPQOB CAEFPM NB CAEFPM NADCBE4四、拓展提高：4设一凸四边形 ABCD，它的内角中仅有D 是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成 n 个钝角三角形，但除去 A、B、C、D 外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证 n 应满足的充分必要条件是 n45已知边长为 4 的正三角形 A
7、BCD、E、F 分别是 BC、CA 、AB 上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结 AD、BE、CF，交成RQS点 P 在 RQS 内及边上移动，点 P 到ABC 三边的距离分别记作 x、y、z(1)求证当点 P 在RQS 的顶点位置时乘积 xyz 有极小值；(2)求上述乘积 xyz 的极小值CBADFEG Hl zxyEFB CDAPQRS5高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲 几何不等式例 1. 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I，B= 60,AOH=2R设 OHI=，则 00 时，点 M 在O 外，此时，直线 l 与O 相离；当 k=0 时，点 M 在O 上，
8、此时，直线 l 与 O 相切；当 k0 时，aBQ bAP0，k=0 时，aBQbAP=0，k0 时，bCR cBQ0，k=0 时，bCRcBQ =0，k 0 时，aCRcAP0，k=0 时，aCRcAP =0，k 0 时，ABCR +BCAPACBQ0 ；当 k=0 时，ABCR+ BCAPACBQ=0，当 k SPQRSABC29证明：作ABC 及PQR 的高 CN、RH设ABC 的周长为 1则 PQ= 13则 = = ，但 AB ，SPQRSABCPQRHABCNPQABARAC 12 PQAB23APABPQ ，AC ，从而 ARAC13 SPQRSABC291如图，在ABC 中，P
9、为边 BC 上任意一点，PEBA，PF CA，若 SABC=1，证明：S BPF、 SPCE、S PEAF中至少有一个不小于 (SXYZ 表示多49边形 XYZ 的面积)证明：如图，三等分 BC 于 M、N，若点 P 在 BM 上(含点 M)，则由于 PEAB，则CPE CBACP CB 于是 SPCE 同23 49理，若 P 在 NC 上(含点 N)，则 SBPF 49若点 P 在线段 MN 上连 EF，设 =r( ，则 A、B 、C、D 即为所求14 若 SABD ，取BCD 的重心 G，则以14 34B、C、D、G 这 4 点中的任意 3 点为顶点的三角形面积 14 若 SABD= ，其
10、余三个三角形面积均 SABD= 14 14由于 SABC+SACD=1，而 SACD ，故 SABCSABD，从而 SABESABD= S ACE=SABE ，S 14 14BCE=SABC 即 A、B 、 C、E 四点即为所求14B CAEFPM NB CAEFPM NADCBEh3aaOA DCBFE8 若 SABD= ，其余三个三角形中还有一个的面积= ，这个三角形不可能14 14是BCD ，( 否则 ABCD 的面积 = )，不妨设 SADC= SABD= 则 ADBC，四边12 14形 ABCD 为梯形由于 SABD= ，S ABC= ，故若 AD=a，则 BC=3a，设梯形的高 =
11、h，14 34则 2ah=1设对角线交于 O，过 O 作 EFBC 分别交 AB、CD 于 E、F AEEB=AOOC=ADBC=13 EF= = S EFB=SEFC= a h= ah= a3+3a11+3 32 1232 34 916 93214SEBC=SFBC= 3a h= ah= 于是 B、C、F、E 四点为所12 34 98 91612求综上可知所证成立又证：当 ABCD 为平行四边形时，A、B、C、D 四点即为所求当 ABCD 不是平行四边形，则至少有一组对边的延长线必相交，设延长 AD、 BC 交于 E，且设 D 与 AB 的距离34SABCD= 34 34即 (a+2a)h
12、，ah 12 34 12 SAPQ=SBPQ= ah S PAB=SQAB=ah 即 A、B、Q 、P12 14 1214为所求 若 ED AE，取 AE 中点 P，则 P 在线段 DE 上，作 PRBC 交 CD 于12R，AN BC，交 CD 于 N，由于EAB+ EBASABCD=1问题化为上一种情况3在圆 O 内，弦 CD 平行于弦 EF，且与直径 AB 交成 45角，若 CD 与 EF 分别交直径 AB 于 P 和 Q，且圆 O 的半径为 1，求证： PCQE+PDQF2mn 取“+”号时，M、N 在点 O 同侧，此时 mn，总之，命题成立(当 E、F 交换位置时，且 CD、EF 在
13、点 O 异侧时，可能有 m=n)又证：PC 2+PD2=(CM+OM)2+(CMOM) 2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)2 (PCQE+PDQF)等号当且仅当 PC=QE，PD=QF 时成立但由已知，此二式不成立故证4设一凸四边形 ABCD，它的内角中仅有D 是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成 n 个钝角三角形，但除去 A、B、C、D 外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证 n 应满足的充分必要条件是 n4证明 充分性当 n=4 时，如图，只要连 AC，并在 ABC 内取一点 F
14、，使AFB、BFC、CFA 都为钝角(例如，可以取 ABC 的 Fermat 点，由于 ABC 是锐角三角形，故其 Fermat 点在其形内)于是，ADC、AFB 、 BFC、AFC 都是钝角三角形当 n=5 时，可用上法把凸四边形分成四个钝角三角形再在 AF上任取一点 E，连 EB，则 AEB 也是钝角三角形，这样就得到了 5 个钝角三角形一般的，由得到了 4 个钝角三角形后，只要在 AF 上再取 n4 个点E1、E 2、E n4 ，把这些点与 B 连起来，即可得到均是钝角三角形的 n 个三角形必要性n=2 时，连 1 条对角线把四边形分成了 2 个三角形，但其中最多只能有 1个钝角三角形n
15、=3 时，无法从同一顶点出发连线段把四边形分成 3 个三角形，现连了 1条对角线 AC 后，再连 B 与 AC 上某点得到线段，此时无法使得到的两个三角形都是钝角三角形当 n=2，3 时无法得到满足题目要求的解只有当 n4 时才有解5已知边长为 4 的正三角形 ABCD、E、F 分别是 BC、CA 、AB 上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结 AD、BE、CF，交成RQS点 P 在 RQS 内及边上移动，点 P 到ABC 三边的距离分别记作 x、y、z 求证当点 P 在 RQS 的顶点位置时乘积 xyz 有极小值； 求上述乘积 xyz 的极小值解： 利用面积，易证： 当点 P 在A
16、BC 内部及边CBADFEG Hl zxyEFB CDAPQRSMNADC BFEPQO10上移动时，x +y+z 为定值 h=2 ；3过 P 作 BC 的平行线 l，交ABC 的两边于 G、H 当点 P 在线段 GH 上移动时，y+z 为定值，从而 x 为定值设 y，m 为定值则函数 u=y(my)在点 y= 或 y= 时取得极小值于是可知，过 R 作 AB、AC 的平行线，过 Q 作 AB、BC 的平行线，过 S 作BC、AC 的平行线，这 6 条平行线交得六边形 STRUQV，由上证，易得只有当点 P 在此六点上时，xyz 取得极小值由对称性易知，xyz 的值在此六点处相等由 =1，得 = ，x = h= h，y = h= h，z= hEAACCDDBBSSE BSBE1213 121334 913 SEBE 113 313 xyz=( )3h3= 313 64821973VUTlSR QAD CBFE
