1、第六章 定积分及其应用定积分是积分学中的另一个重要概念本章首先由曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题引出定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法最后介绍定积分在几何、物理、经济等方面的一些应用第一节 定积分的概念和性质一、定积分举例1 曲边梯形面积设 在区间 上非负、连续由直线 、 、 及曲线)(xfy,baaxb0y所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边，求这个曲边梯形的面积如图 61 所示，若曲边梯形底边上的高 在区间 上的变动，可以看出它的)(f,变动是连续变化的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变因此，如果把区间划分为许多小区间，在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替
2、同一个小区间,ba上的小曲边梯形的变高，那么每一个小曲边梯形就可近似地看成一个小矩形，我们就以这些所有的小矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，并且把区间 无限细分下去，使每个小区间的长度,都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就是这个曲边梯形面积的精确值我们把计算步骤叙述于下：（1）分割 把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，在区间 中任意插入若干个分点,ba，bxxn1210把 分成 个小区间,n , , , ,x,ii,它们的长度记为 ，经过每一个分点作平行于 轴的直线段，1ii )3( y把曲边梯形分成 个小曲边梯形，它们的面积记为 iA),321(n（2）近似代替 在每个小区间 上任取一
3、点 ，用以 为iix,1i )(if高， 为底的小矩形的面积近似代替第 个小曲边梯形的面积，即ixiiifA)(),（3）求和 用这样得到的 个小矩形面积之和近似代替所求整个曲边梯形的面积 ，n A即ni xfxfxf )()()(21 iiixf1)(（4）取极限 设 ，当 愈来愈小（同时小曲边梯形的个数n,ma愈来愈大）时，每个小矩形面积就越来越接近相应的小曲边梯形的面积，从而n就越来越接近曲边梯形的面积当 时，和式 的iiixf)(1 0)(iinixf)(1极限就是所求的曲边梯形的面积即niiixfA1)(0(l2 变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知速度 是时间间隔 上 的连
4、续函数，且)(tv21,Tt，求在这段时间内物体所经过的路积 0)(tv Sa=x0 xn =b xx1 x2 xi-1 xn-1xiyO 1 2 i ny = f(x)图 61在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化的变量，因此所求路程 不能直接按S匀速直线运动的路程公式来计算然而物体运动的速度函数 是连续变化的，在很)(tv短一段时间内，速度的变化很小，近似于匀速因此，如果把时间间隔细分，在小段时间内，以匀速运动代替变速运动，那么就可算出各个部分路程的近似值，再求和，得到整个路程的近似值，最后通过对时间间隔无限细分，这时所有部分路程的近似值之和的极限，就是所求变速直线运动的路程的精确值其
5、计算步骤如下：（1）分割 在 内任意插入若干个分点21,T，2110 Ttttt nii 把 分成 个小的时间间隔21,Tn ， ， ， ，1,2,i,各个小时间间隔的长 ，相应各段的路程为iitt )3( iS),3(i（2）近似代替 在 上任取一个时刻 ，以 时刻的速度i,1 1iitti来代替 上变化的速度 ，则得 的近似值)ivit,1)(tviSiiS),2(n（3）求和 把 段时间上的路程的近似值相加，就得到总路程 的近似值n Sntvtvt)()(21 iitv1(（4）取极限 设 时，得路程 的准确0,max当n )值iintvS1)(0(l二、定积分的定义由上述两例可见，虽然
6、所计算的量具有不同的实际意义，但可以看出它们的计算思想方法与步骤都相同它们都是在小范围内“以不变代变” ，按“分割取近似，求和取极限”的方法将所求的量归结为一个和式的极限，即面积 niiixfA1)(0(lm路程 niitvS1)(0l抽去这些问题的实际意义，抓住特殊和式极限的数学模型的本质，将这种方法加以精确叙述，给出定积分的定义：定义 设函数 在区间 上有定义, 在 中任意插入若干个分点)(xfba,ba ,01121 nii xx b将区间 分为 个小区间：ba,n , , , ,ii,在每一个小区间 上任取一点 ，用函数值1iix)3(n 1()iii与该区间的长度 相乘，作和式 如果
7、不论对区间)(if1iii niiixf1)采用何种分法，也不论在小区间 上 如何选取，记 ，当,ba iix, 1maiinx时, 和式的极限存在，则称函数 在区间 上可积，并将此极限值称为函数0)(f,ba在区间 上的定积分（Definite integral ） 记为 ，即)(xfba, badxf)()bafxdniiif1)(0(lm其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量, 称为积分)(xf xba,区间 称为积分下限, 称为积分上限a按定积分的定义，前面所举例子可表示如下：（1）曲边梯形的面积是曲线 在区间 上的定积分 , 即y)(xfba, badA（2）物体作变速
8、直线运动所经过的路程是速度 在区间 上的定积分, 即)(tv21T21)(TtvS除了这两个可以用定积分表示外，还有类似的表示如：（3）气体（或物体）在外界压强 作用下发生体积变化而与环境交换的功为体积功，p外若体系的体积从 变化到 ，则所需要对体积功为1V2 21VWpd外（4）物体在变力 作用下从 移动到 力对物体所做的功为)(xFabbadxF)(这样的问题还有很多，具体介绍将在本章第六节中描述。注意：1定积分是一个特殊和式的极限值，是一个常量，它只与被积函数 和积f分区间 有关, 而与积分变量用什么字母无关，即有ba badxf)(batf)(2定积分的定义中, 我们假定 , 如果 ，
9、我们规定bfbadxf特别地, 当 时, 有ba 0)(axf3函数 在 上满足什么条件一定可积？这个问题我们不作深入讨论，)(xf,仅给出以下两个充分条件定理 若 在区间 上连续，则 在 上可积 （证明略）b)(f,ba定理 若 在区间 上有界，且仅有有限个第一类间断点，则 在)(f,a )(xf上可积 （证明略）,ba三、定积分的几何意义当 在区间 上连续时，其定积分 可分为三种情形)(xf,babadxf)(1若在 上 ，定积分 在几何上表示由连续曲线 与,0)(xf )(xfy直线 、 及 轴所围成的曲边梯形的面积 （如图 6所示）即A曲边梯形的面积 badf)(2若在 上 ，因 ，从
10、而 ，,0x0)(if0)(1inixf此时 的绝对值与由直线 ， ， 及曲线0)(badxfbadxf)( axb0y所围成的曲边梯形的面积 相等（如图 63 所示） ，即yA（曲边梯形的面积） ()bafA3若在 上 有正有负，则 等于 上位于 轴上方的图形面积,xbadxf)(,bax减去 轴下方的图形面积 （如图 64 所示） ，即x()baf1A23例 1 用定积分表示图 65 中阴影部分的面积：解 （1）中的阴影部分的面积为 ；adxA02（2）中的阴影部分的面积为 ；1（3）中的阴影部分的面积为 20221)()( dx四、定积分的性质在下面讨论中, 我们总假设函数在所讨论的区间
11、上都是可积的性质 1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面, 即( 是常数) badxkf)(bafdxk性质 2 两个函数的代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即 ()bafgbaf)(badxg)(性质 2 可以推广到有限个函数的代数和的情形即ba ndxfxff )()(21 baf1 baf2bandxf)(图 65xO ay = x2 (1) xO 21 y = x2 (2)y yy=(x-1)2 -1O x1 2(3)y图 62Aa b xOy=f (x)y图 63f( i)O x iy=f (x)a by图 64A2A1 A3Oa by=f (x)xy性质 3 如果将区间 分
12、成两个区间 与 ，则ba, ,ca,b)(ca dxf)(caxf)(dxf)这个性质只用几何图形说明由图 66（1）可以看出：曲边梯形 的面积 曲边梯形 的面积 曲边梯形 的面积AabBAacCCcbB这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性推论 对于任意三个数 ，如图 66（2）所示：c, badxf)(caxf)(bcdxf)(性质 4 如果函数 1, 则有 b由定积分几何意义，如图 67 所示， 表示以 为底， 为高的ba,1)(xf矩形面积，因此 badx)(1例 2 已知 ，求 20sin203sindx解 根据定积分的性质 1，2，4，可知2 2000(3i)i31(0)32xd
13、 性质 5 如果函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 与 ，则(fba, Mm( ) ( ) mbdxf)(a其几何意义由图 68 所示，曲边梯形 的面积大于或等于矩形 的面积并且BAabEF小于或等于矩形 的面积aDC这个性质说明,由被积函数在积分区间上的最大值及最小值，可以估计积分值的大致范围图 67xa bOy = 1yy=f (x)x图 68O aCAFbDBEy图 66(1)Aa b xOy=f (x)yBCcA2A1x(2)Aa bOy=f (x)yB CcA2A1例 3 试估计定积分 的值-dx )2cos(解 先求被积函数 的最大值与最小值由于，令 ，)xf 0sin)(xf
14、得驻点为 ，计算函数 在驻点及区间端点处的值，得0x， ，3(1)(f)(f从而， Mm由性质 5，得 ，)(1-dx f)()(3即2- 2cos6性质 6 （积分中值定理） 设函数 在区间 上连续 , 则在 内至少存在一)(xfba,ba,点 ，使()bafxdfb),(成立由定积分几何意义，从图 69 可以看出，在 上至少,a能存在一点 ，使以 为高，以 为底的矩形,)(f面积等于曲边梯形 的面积即 abBA()bafxd()fb此时， 它是连续曲线 在区1()fdxf)(yx间 上的平均高度，又称函数 在区间 上的平均ba, )(f,值，记为 y1badxf例 4 计算函数 在闭区间
15、上的平均值24)(xf1,0解 设函数 的平均值为 ，则201yxd204xd由于在 上以 为曲边的曲边梯形就是以原点为圆心，半径等于 2 的圆0,24在第一象限的部分.因此，22014xd从而y习题训练1利用定积分的几何意义，判断下列定积分的正负：（1） ； （2） ；20cosxd 12dxf ( )a bBx图 69Oy=f (x)Ay（3） ； （4） .02sinxd013dx2利用定积分的几何意义，说明下列等式成立：（1） = ； （2） =2 104cos20xdcos3根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1） ； （2） ；xd1 R2（3） ； （4） cos02 xd14质点以速度 作直线运动，试用定积分表示它在时刻 到ttvin)()/(sm)(0st之间经过的距离)(t5对直流电来讲，电流是常量，电量电流 时间，而对交流电来讲，电流 是时间i的函数， ， （其中 ， 是常数）试用定积分表示在时间 到 通过ttis00i 1t2t电路的电量 q6设 ， ，求下列定积分的值：bapdxf)(baqdxf2)(（1） ； （2） ；34badxf23)(4（3） baf)(27估计下列各积分的值：（1） ； （2） ；42)1(dx452)sin1(dx（3） ； （4） 13502ex8求函数 在闭区间 上的平均值2)(xf,
