1、第 1 页 共 6 页“定区间动轴法”求区间最值所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间 （或 ）标在数轴上，无论,ab(,)该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴、 、 三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求0xa0xb0区间最大值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分 和 两02abx0x种情况进行讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行.1条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值例 1 已知 ，函数 、 表示函数 在区间2()43
2、,fxxR()gth()fx上的最小值，最大值，求 、 表达式.,t()t分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间 在数轴上相对固定，让对称,1t轴 的区间 内外移动，即分成 ； ； 三种情况进2x,1t221t行讨论，结合图形便可轻松求出函数 在区间 上的最小值.而只需分 ()fx,t与 两种情况讨论便可求出 在区间 上的最大值.(1)2t()2t()fx,t解：由 ，知图象关于 对称，结合图象知，243()1fxx2当 ，即 时， ；t43gtft而当 ，即 时， ；212()1gf当 ，即 时， .t3t2()168tft .2268,()1, 243,(,)gtt当 ，即 时， ；
3、)tt52(1)68htft当 ，即 时， .(122)43 .2568,()43,(,)2tth xt1txt1t2第 2 页 共 6 页评注：本题采用了“定区间动轴法”， 分 ； ； 三种情2t1t2t况和 ； 两种情况进行讨论，使本来因分类讨论带来的繁琐、2(1)t(1)2t思维混乱，变得脉络清晰、思维流畅、条理性强，降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是：审
4、题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的原因主要有：字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘.在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏.当然，有时也可采用转化思想避开分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识.例 2 已知二次函数 的定义域为 R， 且在 处（ R）取得最值，()yfx(1)2fxt若 为一次函数，且()ygx23gx(1)求 的解析式f(2)若 时， 恒成立，求 的取值范围1,2x()fx1t分析：（2）若 时， 恒成立，条件的实质即为：当 时,()f 1,2x的最小值在于或等于 ，从而将问题归结为区间最值问题.作出函数的
5、大致图象，借()fx助函数图象的直观性让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论.解：(1)设 ， 为一次函数， 2()fxatbgx1a又 ， ， ，122t 1fxt(2)即 min()当 时， = ，得 1tmin()fx()f24t1t34当 时， = ，得 2i 1t3当 时， ，得 tmin()fxftt3由，得： . 13t评注：给定自变量区间求解最值问题时，最重要的策略就是结合二次函数图象，利用对称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值.2通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解例 3 设函数 .2()45fxx=-第 3 页 共 6 页当 时，求证：在区
6、间 上， 的图像位于函数 图像的上2k1,5-3ykx=+()fx方.分析：通过转化思想，将文字语言 的图像位于函数 图像的上方，转()f化为符号语言 ，当 时恒成立.而当2()3)(45)0gxkx=+-+1,5x-时， 恒成立只需 ，所以，1,5x- min()0gx本题的实质为区间最值问题.解：当 时， .,-2()45fxx=-+2()3)gxk=+24(5)xk-， 2036， . 又 ，k41k-当 ，即 时，取 ， .42k-k1x=-min()gx20k由 、可知，当 时， ， .2()0g,5因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方. 1,5-3ykx+()fx评注：因
7、为 条件的限制，降低了问题的难度，使讨论的情况减少.很多问题通过k转化思想都可以达到化生为熟、化未知为已知、化繁杂为简单的目的，体现了转化思想的重要性.本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉.例 4 设 为实数，记函数 的最大值为 a2()11fxax()ga（）设 ，求 的取值范围，并把 表示为 的函数 ，求1tt()ftmt第 4 页 共 6 页和表达式及 的取值范围()mtt（）求 .()ga分析：本题看似与区间最值无关，但通过换元、转化思想，可将问题化归为区间最值.解：（I） ，1tx要使 有意义，必须 且 ，即 0 1
8、x 1x ，224t t， 的取值范围是 由得 ，21xt ， 22mtattat2，（II）由题意知 即为函数 ， 的最大值g1mttat，注意到直线 是抛物线 的对称轴，分以下几种情况1(0)ta2讨论（1）当 时，函数 ， 的图像是开口向上的抛物线的一段，yt，由 知 在 上单调递增， 0tamt2，2gam（2）当 时， ， ， t2（3）当 时，函数 ， 的图像是yt开口向下的抛物线的一段若 ，即 ，则 1(0,2)ta2a2gam若 ，即 ，则 ,t 1,12a若 ，即 ，则 12ta，02a，2ga第 5 页 共 6 页综上有 120122.aga， ， ， ，评注：此题也给我们
9、启发：遇陌生或比较棘手的问题时，可采用化归、转化思想，将其转化为熟知的问题、简单的问题，从“数”方面难以入手时，可考虑借助形来说理.例 5 求函数 的最值.2siniyxpq分析：由已知条件的形式特点，可采用配方法，从而将问题转化为二次函数区间最值问题，但要注意 的条件限制，在此条件限制下，其实质即为区间最值问题，1i采用“定”区间“动”轴法，结合图形便可求出函数 在区间 上的最值.()fx1,解：22 24sini(sin)pqyxpqx(1)若 ，即 ，则当 时， ；最大值1si2min4qpy在 或 时取得.sinxsi(2)若 ，即 ，则当 时， ；当 时，2p2sin1xinsi1x.max1yq(3)若 ，即 ，则当 时， ；当 时，psixminypqsinx.maxy如图所示：评注：数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能xy1O(1)xy1O(2)xy1O(3)第 6 页 共 6 页力.
