1、第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/流体力学连续方程推导的巧方法施春华, 高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院, 江苏南京 210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下流体力学中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程, 该过程物理意义明确、数学算法简单, 有助于学生理解。关键词:连续方程; 柱坐标系
2、;球坐标系在大学流体力学教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂, 理解相对困难。目前 ,很多参考书123对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此 ,笔者结合教学中的实际经验 ,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终
3、由这些流点构成,因此它的质量不变。由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑, 某个别流体微团(质量体)在运动过程中, 其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反, 如体积膨胀,它的密度减小, 体积收缩,则密度增大。其算子形式的通用表达式1(1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体) 来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系, 如质量往外流,它的密度减小, 反之则增大。其算子形式的通用表达式1(2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些
4、困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体 (图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/(3)2 柱坐标系欧拉连续方程基于柱坐标系把“质量通量”整体作为一物理量的考虑,物理意义明确,数学理解简
5、单的欧拉连续方程的推导见图 1。如图 1 所示, 柱坐标系体积元控制体 ABCDEFGH,径向方向 r,圆周切向方向 ,垂直方向 z,径向速度 Vr,圆周切向速度 V,垂直速度 w,则径向线微元 AB 表达为 dr,切向线微元 AD 表达为 rd ,垂直微元 GC 为 dz,体积微元 dV=rddrdz。由径向速度 Vr 垂直穿越面元 ADHE 和 BCGF(面积 rddz)所引起的质量通量均可表达为Vr* rddz,但 r 坐标值在两个面元处有差异。这使得质量通量沿径向 r 方向不尽相同就表达了质量通量在穿越面元 ADHE 和 BCGF 时沿径向 r 方向的梯度,乘以dr 后得 它表示了径向
6、速度 Vr 垂直穿越面元 ADHE 和 BCGF 后导致体积元 ABCDEF2GH 内质量通量的变化量( 略去高阶小量, 下同),即径向速度 Vr 引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。同理, 由切向速度 V垂直穿越面元 DCGH 和 ABFE(面积 rddr)所引起的质量通量均可表达为 Vdrdz,但 坐标值在两面元处不同,质量通量沿切向 方向的梯度描述为(Vdrdz)/ ,而（ (Vdrdz)/ ）d 则描述了切向速度 V垂直穿越面元 DCGH 和 ABFE 后导致体积元 ABCDEF2GH 内质量通量的变化量, 即切向速度 V引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出
7、的质量。同理, 垂直速度 w 垂直穿越面元 EFGH 和 ABCD(面积 rddr)所引起的质量通量均可表达为 wrddr,但 z 坐标值在两面元处不同,质量通量沿 z 方向的梯度描述为 (wrddr)/ z,第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/而（ (wrddr)/ z）dz 则描述了垂直速度 w 垂直穿越面元 EFGH 和 ABCD 后导致体积元ABCDEFGH 内质量通量的变化
8、量,即垂直速度 w 引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。该柱坐标中,流体所有运动可以分解为在 3 个正交的方向 r、 和 z 上运动,所以流体单位时间净流出控制体 ABCDEFGH 的质量就表达为 ,式中 r、 和 z 相互独立 ,密度 则是空间的函数,体积微元 dV=rddrdz,故有(4)对于该控制体单位时间的质量变化,又可以描述为（ / ）dV,由于在质量通量的表达中,t把流出控制体的方向作为正方向,和实际控制体内质量变化的符号相反,但两者的量值相等,因此即 (5)表达式(5)即柱坐标系下欧拉形式的连续方程。3 球坐标系欧拉连续方程球坐标系中取一体积元控制体 ABCD
9、EFGH 如图 2 所示4 。坐标系中经度 ,纬度 , 球径向 r;沿纬圈方向线微元 AB 为 rcosd,速度为 u;沿经圈方向线微元 DA 为 rd,速度为 v;球径向线微元为 dr,速度为 w。体积元 ABCDEFGH 为d=r2*cos dddr。沿纬圈方向穿越面元 AEHD 和 BFGC 的质量通量均可表达为urddr,这两个面元上质量通量沿 方向的梯度表示为 (urddr)/ ,乘以 d 后（ (urddr)/ ）d 就描述了纬圈速度 u 穿越面元 AEHD 和 BFGC 后导致体积元ABCDEFGH 内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元
10、ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/由于 、 和 r 相互独立,且体积元 ABCDEFGH 为 d=r2*cosdddr,故沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量为(6)同理,沿经圈方向的质量通量所引起的体积元 ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量为(7)沿径向的质量通量所引起的体积元 ABCDEFG
11、H 内单位时间净流出的质量为(8)根据质量守恒,整个体积元单位时间内净流失的质量是沿 3 个方向流失质量之和, 应等于该体积元单位时间的质量减小量（ / ）d，故t第 31 卷 第 2 期 气象教育与科技 2008 年 总第 83 期 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/即 (9)表达式(9)即球坐标系中欧拉连续方程的表达式。4 小结通过欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一个物理量,在各独立方向上偏微分推导后,可以便捷地得到柱坐标和球坐标下欧拉形式的连续方程,该方法过程简单,物理意义明确,有利于对连续方程的理解。
