1、第 1 页 共 10 页八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 ，即 ，求出22)(cbR22cbaRR例 1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 ，体积为 ，则这个球的表面积是（ C 416）A B C D6203（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 9解：（1） ， ， ， ，选 C； 162haV 2416422haRS（2） ，934R9S（3）在正三棱锥 A
2、BC中， MN、 分别是棱 SCB、 的中点，且 ,若侧棱 23SA,则MNA正三棱锥 外接球的表面积是 。S36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取 的中点 ，连接 ， 交于 ，连接 ，则 是底面正三,ED,A,DE,HS角形 的中心， 平面 ， ，ABCSHBCBSH， ， ， 平面 ， C，同理： ， ，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ， ，MNAS/， ， 平面 ，SBAMSCBA， ， ， ，C平面 ， ，故三棱锥 的三棱条侧棱两两互相垂直，S，即 ，36)2()3()2() R3642R正三棱锥 外接球的表面积是ABC(3)图-1HEDBA
3、CS(3)图-2MNABCS第 2 页 共 10 页（4）在四面体 SABC中， ， 则该四面体的外接ABCS平 面,1,2,120ABCS球的表面积为（ D ） 1.7.3.340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 、 、 ，那么它的外接球的表面积是 6（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 的等腰直角三角形和边长为 的正方形，则该几11何体外接球的体积为 解析：（4）在 中， ，ABC 720cos22 BCA， 的外接球直径为 ，7B 32sinr， ，选 D340)72()2(SArRS（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 （ ） ，则cba,R
4、,， ， ， ， ， ，6812acb4bc3a4229)(22cba294RS，（6） ， ，3)2(22cbR42R23，834V类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图 5， 平面PABC解题步骤：第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径 ，连接 ，则 必过球心 ；DDO第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半1O1AB1径 （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r） ， ；rCcBbAa2sinisinP1图5ADPO1CBCAPB第 3 页 共 10 页第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ；22)()(rPAR2)(rPAR
5、 212OrR21OrR2题设：如图 6，7，8， 的射影是 的外心 三棱锥 的三条侧棱相等PABCBC三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点ABC图6PADO1CB图7-1PAO1CB图7-2PAO1CB图8PAO1CB图8-1DPO2ABC 图8-2PO2AB C 图8-3DPO2AB解题步骤：第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；OABC1O1,P第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高） ；1r1 h第三步：勾股定理： ，解出222)(rR方法二：小圆直径参与构造大圆。例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为(
6、)CA 3 B C 316 D以上都不对解：选 C， , , ,22)(R221R034,32R3164S第 4 页 共 10 页类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 图9-1ACBP图9-2AO1CBP图9-3PAO1CB图9-4AO1CBP1题设：如图 9-1，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径）P第一步：易知球心 必是 的外心，即 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 ；APA rA2第二步：在 中，可根据正弦定理 ，求出CRCcBba2sinisin2如图 9-2，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径）BC21O21OrR21OA3如图 9-3，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径） ，
7、且 的射影是 的PAPABC外心 三棱锥 的三条侧棱相等 三棱 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是BCPA圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；BC11,第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高） ；1OrA1 hPO第三步：勾股定理： ，解出222)(rR4如图 9-3，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径） ，且 ，则PCBCAACP利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ；22)()(P2)(r 212OrR21OrR例 3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为 ，则该球的表面积为 32。（2）正四棱锥 的
8、底面边长和各侧棱长都为 ，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ABCDS2解：（1）由正弦定理或找球心都可得 ， ，72R49S（2）方法一：找球心的位置，易知 ， ， ，故球心在正方形的中心 处， ，1rhrABCD1R34V方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是 的外接圆，此处特殊， 的斜边是球半径，SACSRt第 5 页 共 10 页， ，2R134V（3）在三棱锥 中， ,侧棱 与底面 所成的角为 ，则该三棱锥ABCP3PCABC60外接球的体积为（ ） A B. 3 C. 4 D. 43解：选 D，圆锥 在以 的圆上，CB,2r1R（4）已知三棱锥 SA的所有顶点都在球 O的求
9、面上, ABC是边长为 1的正三角形, SC为球 O的直径,且 2，则此棱锥的体积为（ ）AA 6B 36 C 3D 2解： ， ，6)(1221 rROh623413ShV类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 图10-C1B1AA1O1O2BC图10-2C1B1AA1 O1O2BC图10-3C1B1AA1 O1O2BC题设：如图 10-1，图 10-2，图 10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；O1ABC1OABC第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高） ；1rh21第三步：
10、勾股定理： ，解出212)(rR2)(hrRR例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 ，则这个球的体积为 893解：设正六边形边长为 ，正六棱柱的高为 ，底面外接圆的关径为 ，则 ，ahr21a第 6 页 共 10 页底面积为 ， ， ， ，83)21(46S 893hSV柱 31)2(2R，球的体积为1R（2）直三棱柱 1ABC的各顶点都在同一球面上，若 1ABC, 10BAC，则此球的表面积等于 。解： ， ， ， ，3420sin3r2r5R20S（3）已知 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直，
11、EABABCD，则多面体 的外接6,DE球的表面积为 。 1解析：折叠型，法一： 的外接圆半径为 ，31r，1O；法二： ， ， ， ，23R231MO2Dr 413R2R16S（4）在直三棱柱 中， 则直三棱柱 的外接1CBA,6,41A1CBA球的表面积为 。 360解析： ， ， ， ，28412BC73742r2r，308)2(12ArR16S类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图 11)图1H1EA COBDA2O2M DBACEO1第 7 页 共 10 页第一步：先画出如图所示的图形，将 画在小圆上，找出 和 的外心 和 ；BCDBCDA1H2第
12、二步：过 和 分别作平面 和平面 的垂线，两垂线的交点即为球心 ，连接 ；1H2 A OCE,第三步：解 ，算出 ，在 中，勾股定理：1OE11OHRt212OH例 5 三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为边长为 的正三角形，则三棱ABCPPBCPABC锥 外接球的半径为 .解析： ， ， ，3460sin221r321r3， ；5212HORR法二： ， ， ，321AH，352122OAHOR1R类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ ， ，CDABB）BDC第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体
13、的长宽高分别为 ， ， ， ，列方程cba,xBCADyz组，2222zacybx2)(22zyxcR补充： abbcVBCDA3146第三步：根据墙角模型， ，2222 zyxcR， ，求出 ，822zyxR82zyxR例如，正四面体的外接球半径可用此法。例 6（1）棱长为 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的2一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 的球面上，其中底面的三个顶点1yxabczzyx图12DCAB(1)图OHBA CP21(1)图CPBO1O2AB第 8 页 共 10 页在该球的一个大圆上，则该正三棱锥
14、的体积是（ ）A 43 B 3 C 43 D 123 解：（1）截面为 ，面积是 ；1PCO2（2）高 ，底面外接圆的半径为 ，直径为 ，Rh1R设底面边长为 ，则 ， ， ，a60sin2a3432aS三棱锥的体积为 431ShV（3）在三棱锥 中， 则三棱锥 外接球的表BCDA ,4,3,2BDACDBCDA面积为 。 29解析：如图 12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 ，则cba,，92ba， ， ，4c162a29164)(22cb 29164)(22ca， ，22 9RS（4）如图所示三棱锥 ABCD，其中 5,7,ACBDAC则该三棱锥外接球的表面积为
15、 . 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 ，cba， ， ，10493625)(22cba 22cba542RS【55 ；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为 ，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中， ，3， ，23R2384V类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 图13OA CBP题设： ，求三棱锥 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 ，连接90ACBPP O第 9 页 共 10 页，则 ， 为三棱锥 外接球球心，然后在 中求出OCP, ABOPC
16、BA21ABCPOCP半径） ，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例 7（1）在矩形 中， ， ，沿 将矩形 折成一个直二面角 ，D43DDAB则四面体 的外接球的体积为（ ）A B C D25912561253125解：（1） ， ， ，选 CCR83RV（2 ）在矩形 中， ， ，沿 将矩形 折叠，连接 ，所得三棱锥DABAA的外接球的表面积为 B解析：（2） 的中点是球心 ， ， ；O12D1342RS类型八、锥体的内切球问题1题设：如图 14，三棱锥 上正三棱锥，求其外接球的半径。ABCP第一步：先现出内切球的截面图， 分别是两个三
17、角形的外心；HE,第二步：求 ， ， 是侧面 的高；DH31rODABP第三步：由 相似于 ，建立等式： ，解出PEOr2题设：如图 15，四棱锥 上正四棱锥，求其外接球的半径ABC第一步：先现出内切球的截面图， 三点共线；HP,第二步：求 ， ， 是侧面 的高；FH21rOFPCD第三步：由 相似于 ，建立等式： ，解出PGOG3题设：三棱锥 是任意三棱锥，求其的内切球半径ABC方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 ，建立等式：r PBCOAPBOABCP VVV rSSrSrSVACPABAB
18、CABP )(313131第三步：解出 PBCOAPBOABr 习题：1若三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ， ，则该三棱锥的外接球半径为（ S2S4S）图14HDABCPOE图15FEHDBACPOG第 10 页 共 10 页A. B. C. D.36369解：【A】 ，14)2(RR【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】 【共两种】2 三棱锥 中，侧棱 平面 ，底面 是边长为 的正三角形， ，则该ABCSSABC332SA三棱锥的外接球体积等于 . 32解析： ， ， ， ，外接球体积260sin3r 164)(2R42R384【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3正
19、三棱锥 中，底面 是边长为 的正三角形，侧棱长为 ，则该三棱锥的外接球体积ABCS32等于 .解析： 外接圆的半径为 ，三棱锥 的直径为 ，外接球半径 ，ABCS3460sin 32R或 ， ，外接球体积 ，1)3(22R3 27834RV4三棱锥 中，平面 平面 ， 边长为 的正三角形， ，则三棱锥ABCPPPBCA外接球的半径为 .解析： 的外接圆是大圆， ， ，60sin2R35 三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱锥ABC2AC外接球的半径为 .ABP解析： ， ， ，973242cos PC8126)97(sinP924sinP，4942R8R6 三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱锥ABABC2CAB外接球的半径为 .CP解： 是公共的斜边， 的中点是球心 ，球半径为O1R
