1、1第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间D 上是增函数（减函数） ，区间 D 为函数 y=f(x)的增区间（减区间）概括起来，即12121212()()fxfffxffff增 函 数 或“同 增 异 减 ”减 函 数 或（2）函数单调性的证明的一般步骤：设 ， 是区间 D 上的任意两个实数，且12 12x作差 ，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断12()fxf正负的式子；确定 的符号；给
2、出结论12()xf证明函数单调性时要注意三点： 和 的任意性，即从区间 D 中任取 和 ，证明单1x1x2调性时不可随意用量额特殊值代替；有序性，即通常规定 ；同区间性，即 和121x必须属于同一个区间。2x（3）设复合函数 是定义区间 M 上的函数，若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单xgfy调性相反，则 在区间 M 上是减函数；若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单调性相同，则 在区间 M 上是增函数。概括起来，即“同增异减 II 号”xfy（4）简单性质： 与 单调性相同； 与 及 单调性相反()f()f()fx()f1fx在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数
3、是减函数；)(xf)(g)(f)(g增函数 减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数。xxx（5）必须掌握特殊函数单调性 一次函数 ： ykb2 二 次 函 数 ： 2yaxbc 反比例函数 ： k 双 钩 函 数 ： yx注 ： 函 数 的 多 个 单 调 区 间 通常不能用并集联接；单调区间的端点只要在定义域内就要加上增函数在图像上反映出来就是“向上” ，减函数从图像上反映出来就是“向下”函数的最值（1）定义： 的最大值： 最大的函数值； 的最小值： 最小的函数()fx()fx()fx()fx值（2）求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1定义:设 y=f(x)，定义域为 A 且 A 关
4、于原点对称，如果对于任意 A，都有 ，x()fxf称 y=f(x)为偶函数。设 y=f(x) ，定义域为 A 且 A 关于原点对称，如果对于任意 A，都有 ，()(ff称 y=f(x)为奇函数。概括起来，即 ，()() ()fxfxfx定 义 域 关 于 原 点 对 称为 偶 函 数()() ()fxfxf定 义 域 关 于 原 点 对 称为 奇 函 数2 函 数 奇 偶 性 的 判 断 的 步 骤 ： 求 定义域，若 定义域不关于原点对称，则函数()fx既不是奇函数也不是偶函数；若 定义域关于原点对称，则判断 与()fx()f ()fx的关系判断 与 的关系，若 ，则 为偶函数；若 ，()f
5、x)f()fxf()fx()(fxf则 为奇函数；若 且 ，则 既是奇函数又是偶函数；(若 且 ，则函数 既不是奇函数也不是偶函数()fxf)fxf()fx3.性质：（1）若 为奇函数，则： ； 图像关于原点对称；()fx0 在 定义域内时有 ； 在关于原点对称的区间上单调性相同()fx0)f()fx几种特殊的奇函数 ， ， ，yx31ysin3（2）若 为偶函数，则： ； 图像关于 轴对称 在关()fx()fxf()fxy()fx于原点对称的区间上单调性相反；几种特殊的偶函数： ， ，2cos注：若二次函数 为偶函数，则 ；在同一定义域内，2yaxbc0b，=奇 偶 奇， ；既是奇函数又是偶
6、函数的函数只有一个解析式奇 奇 奇 偶 偶 偶 ()0fx二、典例例题解析：题型一 单调性的定义例 1 定义在 R上的函数 ()fx对任意两个不相等的实数 ,ab总有 ()0fb，试判断()fx单调性。例 2 若 ()f在区间 (,)ab上是增函数，在区间 (,)c上也是增函数，则函数 ()fx在区间(,)abc上（ ）A. 必是增函数 B.必是减函数 C.是增函数或减函数 D.无法确定单调性变式训练 下列说法中正确的有个若 12,xI，当 12x时， 12()fxf，则 ()yfx在 I上是增函数函数 y在 R上是增函数；函数 在定义域上是增函数； 1yx的单调区间是 (,0)(,)题型二
7、单调性的证明例 1 证明函数 1yx在区间 (0,)上为减函数例 2 证明函数 2()1fxx在其定义域内是减函数例 3 已知函数 ()yfx在 0,)上为增函数，且 ()0)fx，试判断 1()Fxf在4(0,)上的单调性，并给出证明过程题型三 利用单调性求函数值域和最值例 1 求下列函数的最值 ； ；()2fxx()3fx()1fxx 1f1,f变式 如果函数 ，求 的单调区间和值域 2()-3fx()fx例 2 已知 在 ，上是减函数，求 的取值范围2()(1)2fxax(,4a变式 1 已知 的减区间是 ，求 的值2()(1)fxax(,4a变式 2 函数 f(x)= x 2 + 3x
8、 +2 在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 （ ）A、42,12 B、42，- C、12，- D、无最大值，最小值-141414.变式 3 函数 y2x 2(a1)x3 在(，1 内递减，在(1，)内递增，则 a 的值是 ( )A.1 B.3 C.5 D.15例 3 若 在区间 上是减函数，求 的的取值范围1()2axf(-,)a变式 1 函数 的图象如图所示：则 的单调()yfx12()logxfx减区间是（ ） 2.,.,1.0,2,.,ABCD和 和变式 2、已知 是 R 上的减函数，那么 的取值范围是（ 341logaxfx a）11.0,.,.,.,377ABCD题型四 抽象
9、函数的单调性例 1 已知函数 ()yfx是 ,)上的增函数，且 (23)(56)fxf，求 x的取值范围变式 已知函数 ()yfx的定义域为 ，且 在区间 上是增函数且2,()fx2,(1)(fmf，求 的取值范围例 2 已知函数 ()yfx在 0,)上是减函数，比较 3()4f与 21)a的大小例 3 已知定义在区间 (0,)上的函数 ()fx满足 ()()fxfyy，且当 1x时fx 求 (1)f的值；判定 ()f的单调性；若 (3)1f，求 ()f在 2,9上的最小值XYO126变式 已知定义在区间 上的增函数 ()fx满足 ， ，解(0,)()()ffxyy21f不等式 1()23fx
10、例 4 函数 f(x)是定义在(0，)上的减函数，对任意的 x，y(0，)，都有 f(xy)f(x)f(y)1，且 f(4)5. (1)求 f(2)的值； (2)解不等式 f(m2)3变式 已知函数 ()fx定义域为 R，且对 ,mn，恒有 ()()1fnfmfn，且 1()02f，当 12时， ()0f 求 证明： fx在 上为增函数题 型 五 函 数 的 奇 偶 性 概 念例 1 下列说法中错误的个数为（ ）图像关于坐标原点对称的函数是奇函数图像关于 y轴对称的函数是偶函数奇函数的图像一定过坐标原点偶函数的图像一定与 轴相交A.4 B.3 C.2 D.0变式 下列判断正确的是（ ）A. 定
11、义在 R上的函数 ()fx，若 (1)ff，且 (2)(ff，则 ()fx是偶函数B. 定义在 上的函数 满足 2，则 x在 R上是增函数C. 定义在 上的奇函数 ()fx在区间 (,0上是减函数，则在区间 (0,上也是减函数D. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个题型六 函数奇、偶性的判断7例 1 判断下列函数的奇偶性（定义法） 3()fx1()xfx21()xf2()1fx ()2f22()f 1)(xf 1lg)lxxf例 2 判断下列函数奇偶性（定义法或图像法） (),0()1fxx 230()0xxf ()2,2f例 3 判断下列函数奇偶性（抽象函数） ()()Fxffx()()Fx
12、fx ，其中 为奇函数函数 定义域为 ，并且对任意f R均满足 ，判断 奇偶性，并证明。xyR、 ()()fxyy()fx 设函数 并且对任意非零实数 均满足 ，0y， ()()fxyffy求证： 为偶函数()fx 函数 不恒为 0 ，对任意 均满足()fx()xRxyR、求证： 为偶函数2(fyyf()f题型七 奇偶性的应用1 求函数值例 1 已知 53()8fxabcx且 (3)10f，求 (3)f变式 1 已知 f(x)=x5+ax3+bx6 且， f(3)=10，则 f(-3)的值为 变式 2 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x) g(x) ax a x
13、2(a0，且 a1)若 g(2) a，则 f(2)( )A2 B. C. D a2154 1748变式 3 已知 g(x)为奇函数， ，且 f(-3)= ，求 f(3)；xgxxf 2)(1(log)(2841变式 4 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) 2 x2 x，则 f(1)( )A3 B1 C1 D3变式 5 已知 是定义在 R 上的奇函数，若 ，则 6的值为_2 求解析式例 1 已知 ()fx是奇函数，当 0x时， ()2fx，求 0x时， ()fx解析式变式 1 奇函数 f(x)在(0，)上的解析式是 f(x) x(1 x)，则在(，0)上 f(x)的函
14、数解析式是( )A f(x) x(1 x) B f(x) x(1 x) C f(x) x(1 x) D f(x) x(x1)变式 2 设 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又 f(x)+g(x)= 1求 f(x)和 g(x).例 2 函数 2()=1abfx是定义在 (1,)上的奇函数，且 2()5f，求 ()fx解析式变式 1 若函数 ()3fx是 R上的奇函数，则 )(f的解析式为_变式 2 若函数 (1)yxa为偶函数，求 a3 解不等式例 1 设 ()f为定义在 R上的偶函数，在 (,0)上递增，且 (1)(2)faf，求a的取值范围变式 1 已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递
15、增，则满足 f(2x1) f 的 x 取值范(13)围是( )A. B. C. D.13， 23) (13， 23) (12， 23) 12， 23)变式 2 (fx为偶函数，在 0,上单调递减，且 )()fxf，求 x的取值范围4 奇偶性与单调性的综合应用例 1 设 ()fx是 上的偶函数， ()fx在 上单调递增，试比较 大小R0,)(2),3()ff9例 2 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且 (3)0f， ()fx在 ,)上单调递增，则不等式0的解集为_变式 1定义在 R 上的偶函数 f(x)，对任意 x1， x20，)( x1 x2)，有 ，21()0ffx则( )A f(3)f(2) f(1) B f(1)f(2) f(3)C f(2) f(1)f(3) D f(3)f(1)f(2)变式 2 设 ()x是定义在 R 上的奇函数，且 (2)0f， ()fx在 ,1上单调递增，在1,)上单调递减，则不等式 ()0f的解集为_
