1、12.4 函数的奇偶性学习目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题重点难点：函数奇偶性和周期性的应用一、知识要点1、函数奇偶性定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)= f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数；如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函
2、数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定 f( x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称（2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于 y 轴对称的函数为偶函数3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称
3、的单调区间内有相反的单调性2二、例题精讲题型 1： 函数奇偶性的判定1判断下列函数的奇偶性： , ,xxf1)( 29)(xf 2(0)()xf 221)(xxf变式：设函数 f（ x）在（，+）内有定义，下列函数： y=| f（ x）|； y=xf（ x2） ； y= f（ x） ； y=f（ x） f（ x） 必为奇函数的有_ _（要求填写正确答案的序号）题型 2： 函数奇偶性的证明1已知函数 f(x),当 x,yR 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)求证：f(x)是奇函数3题型 3： 函数奇偶性的应用1设定义在-2，2上的偶函数 f(x)在区间0，2上单调递减，若 f(1-m)f
4、(m)，求实数 m 的取值范围变式 1：已知函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是()fx(0,)()fx,0)增函数还是减函数 变式 2：函数 是 R 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ,则实()yfx(,0()2fa数 的取值范围是 a三、巩固练习1已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 y=f(|x|); y=f(-x); y=xf(x); y=f(x)+x2设函数若函数 2()(1)3fxkx是偶函数，则 )(xf的递减区间是 3已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=x 2-2x，则在 x0 上 f(x)的表达
5、式为 4设 f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c 是常数) 且 ,则 f（7）= ()f5若函数 的图象关于原点对称，则实数 应满足的条件是 )2b6已知函数 ，常数 、 ，且 ，则 3(1fxR(4)0f(4)f7 在 内为减函数，又 为偶函数，则 与 的大小关系)y,0()fx32.54为 8已知函数 是定义在 上的偶函数，则 ，2()fxabca1,2a_b9已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ()fxR0x2()fx(1)f10判断下列函数的奇偶性 ； ； xy13 xxy21 ；411已知函数 是定义在实数集 上的偶函数，当 时，()yfxR0x2()3fx（1）写出函数 的表达式； （2）作出 的图象； ()yfx()yfx（3）指出函数的单调区间及单调性 （4）求函数的最值5
