函数单调性的判定方法.doc

1、1函数单调性的判定方法摘要：单调性是函数的一个重要性质，其在数学、经济学等诸多学科中均有广泛的应用。本文介绍了判断函数单调性的若干方法及一些结论，首先对于具体函数，由函数 单调性的定 义出发，依次给出了定义法、函数性质法、 图像法、复合函数单调 性判断法、 导 数法；其次对于没有给出具体函数表达式的抽象函数，给出了定义法和列表法，并且对于每种方法本文都给出了应用该方法的例子。对于同一个函数判定其单调性的方法可以有多种，而每种方法都有优缺点，在解 题中应灵活选择 方法，方可使解 题过程更加简单 。关键词：复合函数 抽象函数 函数单调性 导数 Several methods of judging

2、functional monotonicityAbstract: Monotonicity is an important property of the function, and its in mathematics,economics, and so in many disciplines are widely used. This article describes a number of monotone functions to determine methods and some conclusions.For the specific function, by function

3、al monotonicity definition ,it gives gives the definition method, function, properties, image method, the method of composite functional monotonicity judgment method, derivative method in turn .Did not give a specific function for the expression of abstract function, given the definition of law, and

4、 a list of law.Solving the flexibility to choose the appropriate method of problem solving can be more simple and convenient. Keywords: Composite function Abstraction function Monotonicity Derivative.函数的单调性是函数的重要性质，反应了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在比较大小、解决函数图像、值域、最值以及在经济等诸多领域中均有广泛的应用，如：证券市场分析、财务管理等

5、。在高中数学中我们已经学习和掌握了函数单调性的有关知识以及判断函数单调性的方法。学习函数单调性不仅仅是为了判断、证明函数单调性，更多是运用函数单调性解决相关的数学问题。1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：21.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。一般地，设 为定义在 上的函数。若对任何fD、 ，当 时，总有1xD221x(1) ，则称 为 上的增函数，特别当成立严格不等)(fffD时，称 为 上的严格增函数；)(21xf(2) ,则称 为 上的减函数，特别当成立严格不等式)(21fff)(x时，称 为 上的严

6、格减函数。 fD给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数在给定区间 上的单调性的一般步骤：)(xfy（1）设元，任取 , 且 ；1xD221x（2）作差 ；)(ff（3）变形（普遍是因式分解和配方） ；（4）断号（即判断 差与 0 的大小） ；)(21xff（5）定论（即指出函数 在给定的区间 D 上的单调性） 。例 1.用定义证明 在 上是减函数。)()(3Raxf),(证明：设 , ，且 ，则1,221x).)()()( 2121332321 xxxxff 由于 ，0421211 012则

7、，即 ，所以 在)()( 212121xxxff )(21xff)(xf上是减函数。,3例 2.用定义证明函数 在 上的单调性。xkf)()0(),(证明：设 、 ，且 ，则1x,0221)()()( 2121 xkfxf )()(21xk，)()(2121xk )()(2121)(2121又 所以 ， ，10x02x当 、 时 ，此时函数 为减函数；,(2k1kx0)(21ff )(xf当 、 时 ，此时函数 为增函数。1x)2 x综上函数 在区间 内为减函数；在区间 内为增函xf()0(k,(k),(k数。此题函数 是一种特殊函数（对号函数） ，用定义法证明时通常需要进行因)(f式分解，由

8、于 与 0 的大小关系 不是明确的，因此要分段讨论。kx21 )0(k用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数 当21,x时，容易得出 与 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直21x)(1xf)(2f接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：4函数 函数表达式 单调区间 特殊函数图像一次函数 )0(kbxy当 时， 在 R 上是增函数；y当 时， 在 R 上是减函数。二次

9、函数 cbxay2),0(R当 时， 时 单调减,aabx2y时 单调增；y当 时， 时 单调增，0xy时 单调减。abx2y反比例函数 xky且R(0)当 时, 在 时单调减，在k0x时单调减；x当 时, 在 时单调增，在0y时单调增。指数函数 xay)1,0(当 时， 在 R 上是增函数；1a当 ，时 在 R 上是减函数。0y对数函数xyalog)1,0(当 时， 在 上是增函数；1y),0(当 时， 在 上是减函数。0a对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： 与 + 单调性相同。 （ 为常数）)(xffCC5当 时， 与 具有相同的单调性；当 时， 与 具有0k)(xfkf

10、 0k)(xfkf相反的单调性。当 恒不等于零时， 与 具有相反的单调性。)(xf )(xf1f当 、 在 上都是增（减）函数时，则 在 上是增（减）fgD)(xfgD函数。当 、 在 上都是增（减）函数且两者都恒大于 0 时， 在)(xfg )(xfg上D是增（减）函数；当 、 在 上都是增（减）函数且两者都恒小于 0 时，)(xfgD)(xfg在 上是减（增）函数。设 , 为严格增（减）函数，则 必有反函数 ，且 在其定义)(fyf1f1f域 上也是严格增（减）函数。(Df我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下几个例子：例 3.判断 的单调性。5)1(2log

11、)(33 xxf解:函数 的定义域为 ，由简单函数的单调性知在此定义域内,0均为增函数，因为 , 由性质可得 也是增函323log,x1x02 )1(2x数；由单调函数的性质知 为增函数，再由性质知函数23log+5 在 为单调递增函数。)1(2l)(33xxf ),(例 4.设函数 ，判断 在其定义域上的单调性。 0)(baf xf解:函数 的定义域为 .x),(),(b先判断 在 内的单调性，由题可把 转化为 ，)(f),xafbxaf1)(6又 故 由性质可得 为减函数；由性质可得 为减函数；0babx1bxa再由性质可得 在 内是减函数。axf1)(),(同理可判断 在 内也是减函数。

12、故函数 在,bxf)(内是减函数。),(),(b函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。1.3 图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数 的图像在区间 上从左往右逐渐上升则函数 在区间 上是增函数；若)(xfI )(xfI函数 图像在区间 上从左往右逐渐下降则函数 在区间 上是减函数。 、例 5. 如图 1-1 是定义在闭区间-5,5上的函数 的图像，试判断其单调性。)(x

13、fy解：由图像可知：函数 的单调区间有-5,-2） ，-2,1） ，1,3） ，3,5）.)(xfy其中函数 在区间-5,-2） ，1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数)(xfy在区间-5,-2） ，1,3）为减函数；函数 在区间-2,1） ，3,5上的图像f )(xfy是从往右逐渐上升的，则函数 在区间-2,1） ，3,5上是增函数。 )(xfy例 6.利用函数图像判断函数 ； ； 在-3,31xg2)( 12)(xh上的单调性。分析：观察三个函数，易见 ，作图一般步骤为列表、描点、作)()(xfxh图。首先作出 和 的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致1)(xf xg2)(作出

14、 的图像，最后利用图像判断函数 的单调性。2)(xh 12)(xh解:作图像 1-2 如下所示：由以上函数图像得知函数 在闭区间-3,3f上是单调增函数； 在闭区间-3,3上是单调增函数；利用物理上波的叠加xg2)(可以直接大致作出 在闭区间-3,3上图像，即 在1h 12)(xh闭区间-3,3上是单调增函数。事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适

15、用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。1.4 复合函数单调性判断法定理 1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合 ，)(ufyU)g(xuXu)g(x Xx（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函)(fy)(x)(xgfy数。 （2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）ugu函数。归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）7复合函数单调性的四种情形可列表如下：情形函数 单调性第种情形 第种情形 第种情形 第种情形内层函数 )(xgu外层函数 fy 复合函数 )(x显然对于大于 2 次的复合函数此法也成立

16、。推论：若函数 是 K(K2), )个单调函数复合而成其中有)(fyNK个减函数：Km ；是 减 函 数时 ， 则当 )(12xfk 。是 增 函 数时 ， 则当 y判断复合函数 的单调性的一般步骤：)(xgf合理地分解成两个基本初等函数 ；)(),(xgufy分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减） ；)(xgfy )(xgfy求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。以上步骤可以用八个字简记“一分” ， “二求” ， “三定” ， “四交” 。利用“八字”求法

17、可以解决一些复合函数的单调性问题。下面我们就用“八字”求法来判断函数的单调性。例 7.求 （ 且 ）的单调区间。)253(log)(2xxfa0a1解：由题可得函数 是由外函数 和内函数)253(log2xf uyalog符合而成。由题知函数 的定义域是 。内函数2532xu f ),31()2,(在 内为增函数，在 内为减函数。),31(),(8若 ，外函数 为增函数，由同增异减法则，故函数 在 上1auyalog )(xf),31是增函数；函数 在 上是减函数。)(xf2,若 ，外函数 为减函数，由同增异减法则，故函数 在10auyalog )(xf上是减函数；函数 在 上是增函数。),3

18、()(xf,1.5 导数法我们在前面也曾利用函数图像的特点判断函数的增减性，图像上升则递增，图像下降则递减用定义法、 图像法等这些初等方法来判断函数的单调性，一般比较繁杂，下面我们将以导数为工具来判断函数的单调性。函数 的导数 反映了)(xf)(xf函数增加或减小的快慢，即变化率因此我们可以利用导数判断函数的单调性这种用导数的符号来判断函数单调性的方法叫导数法。在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来判断函数单调性。为此先看如下定理：定理2：设 在区间 I 上可导，则 在 I 上递增（减）的充要条件是：)(xf )(xf.0f即 在区间 I 上可导，且 在 I 上递增（减） 。)(xf

19、 )(x)0(xf导数法判断函数 单调性的一般步骤： fy(1)首先确定函数 的定义域(判断函数的单调性，必须首先考虑其定义域)；x(2)求导数 ；)(f(3)在 的定义域内 与0的大小关系；x)(xf(4)写出 的单调区间)(f下面我们来看下面几个例题：例8.确定函数 的单调区间32)(xf解： 的定义域为 R， ，解不等式 得2x 2)( xf 02x所以 在(1，)内是增函数；解不等式 得 所1x)(xf 1以 在( ，1)内是减函数。32)(f9显然这里我们用定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法都能判断其单调性。利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，在解题过程

20、中容易忽略函数的定义域，应予以重视再求导数 ，通过判断函数定义域被)(xf导数为零的点所划分的各区间内 的符号来确定函数 在该区间上的单调)(xf性例 9.确定函数 （ 且 ）的单调区间xaf)(01a解：函数 的定义域为 R， ，axaf xxx ln)()lnl)( 当 时， 即 ，故函数 在 上是增函数；1a,0lnx (f,当 时， 即 ，故函数 在 上是减函数。00a)(xf )x)(综上可得当 时函数 在 上是增函数。当 时函数 在1)(f,10a)(xf上是减函数。),(例 10.（同例 7）解：由题可得函数 的定义域是 ， 且)(xf ),31()2,()(3log562532

21、53log)(2 xexef aa若 ，则当 时， ，即 ，1 0)2(13,0,l xa 0)(xf故函数 在 上是增函数；当 时， ，故函数 在)(xf),32x)f上是减函数2,若 ，则当 时， ，故函数 在 上是减函数；当10a3x0)(xf )(xf),31时， ，故函数 在 上是增函数2x)(ff2,导数法通过判断函数定义域被导数为零的点和导数不存在的点所划分的各区间内 的符)(xf号来确定函数 在该区间上的单调性导数法判断函数单调性主要适用于函数 在其定)(xf义域内可导并且容易判断其导函数与零的大小关系时的情况。导数法是解决诸多问题的有力工具，它既给学生提供了一种重要的解题思想，又给学生提供了一种解题方法。